四邊支承矩形薄板自振頻率計算

1、四邊支承矩形薄板自振頻率計算1. 基本假定及振動微分方程彈性板是假定其厚度遠小于其他兩尺寸的板，且材料假設(shè)為各向同性。板的振動理論是以以下幾個假定為基礎(chǔ)的：1）板中原來在中面法線上的各點，在板彎曲變形后仍在中面的法線上。這個假設(shè)稱為直法線假設(shè)，表示橫向剪切變形忽略不計。2）板的撓度比板厚小很多，板彎曲時中面不產(chǎn)生變形，即中面為中性面。3）板的橫向正應(yīng)力與其他兩個方向正應(yīng)力相比較，可以忽略不計。在此基礎(chǔ)上，若假定板的撓度不從平面位置算起，而從平衡位置算起，對板內(nèi)平行六面體進行微元分析，由平衡條件、變形協(xié)調(diào)條件和物理方程得板的彎曲平衡方程式，然后分析板在振動過程中的動力平衡，可得板的自由振動微分方

2、程1： （1）等式中，式中： 為板的單位面積的質(zhì)量；為板的彎曲剛度,分別為板的彈性模量和泊松比，為板的厚度。微分方程(1)的解答形式為薄板上每一點的撓度。被表示成無數(shù)多個簡諧振動下的撓度相疊加，而每一個簡諧振動的圓頻率是。另一方面，薄板在每一瞬時的撓度，則表示成為無數(shù)多種振形下的撓度相疊加，而每一種振形下的撓度是由振形函數(shù)表示的，為求出各種振形下的振形函數(shù)，以及與之相應(yīng)的圓頻率，我們?nèi)〈敕匠蹋?）消除因子得到振形微分方程： (2)2. 邊界條件振形函數(shù)需要滿足各邊界條件，板的邊界一般有固支邊，簡支邊，自由邊三種情況，這里以x=0的邊為例，其相應(yīng)的邊界條件為：固定邊：沿固定邊的位移和轉(zhuǎn)角為0，

3、即，；簡支邊：沿簡支邊的位移和彎矩為0，即，；自由邊：沿自由邊的彎矩和剪力為0，即，對于四邊支承板有如下6中不同邊界條件： （a） （b） （c） （d）（e） （f）一般而言，假定合適的位移函數(shù)，利用邊界條件可以求解上述微分方程。對于四邊簡支矩形板板，一對邊簡支，另兩邊任意的矩形板，可以采用C.L.Navier的重三角級數(shù)和M.Levy的單三角級數(shù)經(jīng)典解法，但代數(shù)運算和數(shù)值計算都比較繁瑣。在工程應(yīng)用時仍然不是很方便。由于最低自振頻率對應(yīng)的振形比較易于假定。因此能量法在工程中經(jīng)常用來計算最低自振頻率值。本文采用能量法推導(dǎo)出不同邊界條件下最低自振頻率計算公式。3.能量法能量法是由D.C.L.Ra

4、yleigh提出的一個計算薄板最低自然頻率的近似方法。其基本原理如下：當(dāng)板以某一圓頻率及其振形進行自由振動時它的瞬時撓度可以表示成為： （3）這里研究自振頻率為主，假定不受外荷載作用；薄板發(fā)生自由振動時，當(dāng)板經(jīng)過平衡位置時，我們有，速度達到最大值為，這時板的形變勢能為零，動能達到最大值，即： （4）當(dāng)薄板振動距離平衡位置最遠時，我們有，這時板的動能為零，而板的形變勢能為最大，即： （5）按照格林定理：可以推導(dǎo)出 （6）對于一個矩形薄板沒有自由邊，而只有簡支邊和固支邊，則在x為常量的邊界上有及，在y為常量的邊界上有及，則（6）可簡化為得到 （7）根據(jù)能量守恒定理，最大動能等于最大勢能，即 （8）

5、利用該等式就可以求出自振頻率。4. 矩形薄板自振頻率計算公式推導(dǎo)采用能量法在工程中計算最低自振頻率。一般來說，設(shè)定的振形函數(shù)只須滿足位移邊界條件，而不一定要滿足內(nèi)力邊界條件，因為內(nèi)力邊界條件是平衡條件，而在能量法中，已經(jīng)用能量關(guān)系代替了平衡條件。當(dāng)然，如果能夠同時滿足一部分或全部內(nèi)力邊界條件，則求得的最低自振頻率可以具有較好的精度。如果振形曲線是精確的，相應(yīng)的振動頻率也是精確值。如果振形曲線是近似值，相應(yīng)的頻率也是近似值。本文將根據(jù)假定振型函數(shù)推導(dǎo)6種不同邊界條件的四邊支承矩形板的自振頻率計算公式1）四邊簡支矩形板四邊簡支板如圖（a）；取振形函數(shù)為C.L.Navier提出的重三角級數(shù)：可以滿足

6、位移邊界條件（同時也能滿足內(nèi)力邊界條件），代入公式（4）（7）可以得到，求最低頻率，可以令由得到：。四邊簡支板采用的振形函數(shù)是精確的，振形函數(shù)不僅能滿足位移邊界條件，還滿足內(nèi)力邊界條件；計算得到的振動頻率也是精確解。2三邊簡支一邊固支三邊簡支一邊固支如圖（b），振形函數(shù)滿足x=a邊固支，x=0，y=0，y=b三邊簡支支邊界條件。由公式（4）（7）（8）得：3 相鄰邊簡支，另相鄰邊固支相鄰邊簡支，另相鄰邊固支如圖（c），取振形函數(shù)滿足x=0，y=0相鄰邊簡支，x=a，y=b相鄰邊固支邊界條件。由公式（4）（7）（8）得： 4 一對邊簡支，一對邊固支一對邊簡支，一對邊固支如圖（d），取振形函數(shù)，滿足x=0，x=a邊簡支，y=0，y=b邊固支邊界條件，由公式（4）（7）（8）得： 5三邊固支一邊簡支三邊簡支一邊固支如圖（e），取振形函數(shù)滿足x=0邊固支，x=a，y=0，y=b三邊簡支邊界條件。由公式（4）（7）（8）得：6.四邊固支矩形板四邊固支矩形板如圖（f），矩形板的的邊長分別為2a和2b，四邊固支時振形函數(shù)為假定只取一個系數(shù)，即可以滿足位移邊界條件，由公式（4）（7）（8）得： 對于四邊固支矩形板還可以滿足邊界條件的采用振形函數(shù)求解自振頻率。通過上述分析，得到四邊支承6種不同邊界條件矩形板自振頻率計算公式。假定矩形邊長a=b，自振頻率寫為，不同邊界條件下