一種求解線性約束的非線性規(guī)劃神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法

1、計算機工程與應(yīng)用，（）一種求解線性約束的非線性規(guī)劃神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法申蕓，呂詠梅，周永權(quán)，廣西民族大學數(shù)學與計算機科學學院，南寧，（）：，：，：；摘要：針對線性約束的非線性規(guī)劃的求解問題，利用罰函數(shù)求解優(yōu)化問題的思想將其轉(zhuǎn)化為二次凸規(guī)劃，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)實驗仿真結(jié)果表明，該方法是特性，定義所需的能量函數(shù)，從而使網(wǎng)絡(luò)收斂于唯一穩(wěn)定點最終實現(xiàn)線性約束的非線性規(guī)劃的求解。有效和正確的，且能推廣到含參的非線性規(guī)劃和多目標規(guī)劃中去。關(guān)鍵詞：線性約束；非線性規(guī)劃；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；穩(wěn)定點：文章編號：（）文獻標識碼：中圖分類號：引言考慮下述線性約束的非線性規(guī)劃：（，），則，使得，其中，原非線性規(guī)劃問題式（）轉(zhuǎn)化為與它等

2、價的：（）#（），%（），定義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的能量函數(shù)：!（）（）其中，是×（），（，矩陣，且秩，），（）是上的連續(xù)可微函數(shù)。式二次規(guī)劃和網(wǎng)絡(luò)（）代表了一大類優(yōu)化問題，如線性規(guī)劃、流問題等，因此實時求解它具有非常重要的應(yīng)用。近年來，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解優(yōu)化問題已取得了一些很好的成果，如文獻基于（）!"，"，"，"，"），"式中：是懲罰因子，（，），（）的最是的范數(shù)。顯然，式小值對應(yīng)于原非線性規(guī)劃的最優(yōu)解。因此，原非線性規(guī)劃等價于下列二次凸規(guī)劃：乘數(shù)方法建立了解約束優(yōu)化問題的網(wǎng)絡(luò)模型，該模型總能收斂于一個可行解但不能保證問題的最優(yōu)性；文獻

3、基于最優(yōu)性的充要條件來建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型；文獻基于罰函數(shù)求解約束優(yōu)化問題的網(wǎng)絡(luò)模型。本文擬在文獻的模型和方法的基礎(chǔ)上，提出一種解線性約束非線性凸規(guī)劃問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，基于罰函數(shù)求解優(yōu)化問題的思想對其轉(zhuǎn)化為二次凸規(guī)劃，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)特性，定義所需的能量函數(shù)，從而使網(wǎng)絡(luò)收斂于唯一的穩(wěn)定點。%!（）（）要使網(wǎng)絡(luò)全局漸進收斂于線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，首先保證網(wǎng)絡(luò)的能量函數(shù)是凸函數(shù)，其次保證網(wǎng)絡(luò)有唯一的、全局吸引的平衡點。為滿足第二項的要求，對能量函數(shù)做下述變換!（）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)考慮采用罰函數(shù)方法，首先，引進個新的變量，（）則凸規(guī)劃式（）變?yōu)椋夯痦椖浚簢易匀豢茖W基金（）；廣西自然科學基金（）。作者

4、簡介：申蕓（），女，主要研究方向：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用；呂詠梅（），女，碩士，主要研究方向：計算智能及其應(yīng)用；周永權(quán)（），男，博士，教授，主要研究方向：計算智能、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及應(yīng)用。收稿日期：修回日期：，（）計算機工程與應(yīng)用"（）（）加入松弛變量，則：（，），（，），故神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程：于是，構(gòu)造非線性規(guī)劃的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程：）（）（）!（）（）（），（）式中：是迭代步長，激勵函數(shù)保證了網(wǎng)絡(luò)輸出，能量函!。數(shù)中引理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式（）的平衡點是非線性規(guī)劃式（）的最優(yōu)解。引理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式（）是漸進穩(wěn)定的，能唯一收斂到。由網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程知，網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)矩陣。根據(jù)文獻知，若（），則能量函數(shù)是函數(shù)，是全局吸引的，

5、其中表示權(quán)矩陣中元素絕對值的最大值。經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，本神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型同樣適用于線性約束的參數(shù)非線性規(guī)劃的求解問題，即：&()"（），（），（）。），模型取初始點：（，），（）。模型迭代次后收斂于（，），目標值（，）。本例的理論值為（，）。圖給出、隨迭代次數(shù)的變化情況。例關(guān)于線性約束含有參數(shù)的非線性規(guī)劃：（，），（，）（）（，），-.式中：是×（），（，矩陣，且秩，），（，），+，（，）是（，）。初始化：（，）取任意的初值，模型迭代次后收斂，（）。（，（，）。圖給出目，），最小目標值為標值隨的變化曲線，圖給出能量函數(shù)隨的變化曲線。上的連續(xù)可微函數(shù)。要運用本文中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

6、，只需把的每一個分量看作變量的一個分量，則（，），同時轉(zhuǎn)化到大于零的區(qū)間上求解即可。在多目標規(guī)劃的眾多方法中有一個叫功效系數(shù)法，這個方法中的系數(shù)（權(quán)重），（，），是不容易確定的，大多情況下是必須事先給定的，而且必須滿足（,結(jié)論非線性規(guī)劃的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求法的關(guān)鍵是模型的算法是否收），斂。本文正是利用線性約束條件，建立相應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，針對線性約束的非線性規(guī)劃的求解問題，利用罰函數(shù)求解優(yōu)化問題的思想對其轉(zhuǎn)化為二次凸規(guī)劃，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特性，定義所需的能量函數(shù)，從而使網(wǎng)絡(luò)收斂于唯一的穩(wěn)定點最終實現(xiàn)線性約束的非線性規(guī)劃的求解。但對于非線性約束的非線性規(guī)劃，本神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法是不適用的，如何改進將是人們下

7、一步所要做的研究工作。但是如果將其權(quán)重看成參數(shù)，則多目標問題就轉(zhuǎn)化為單目標參數(shù)非線性規(guī)劃問題，故本文的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同樣適用于多目標規(guī)劃，但是約束條件必須是線性的。數(shù)值仿真例采用文獻中的例子：（，）（）參考文獻：，：，（下轉(zhuǎn)頁），張華：基于的等角插補明暗處理的軟件實現(xiàn)，（）坐標，進而完成渲染管道中所有的變換運算。然后在偽像素級利用等角插補公式計算等角插補明暗處理。渲染管道的計算由于渲染管道的各級運算類似，故本文舉透視投影變換為例，設(shè)前一級變換的結(jié)果坐標為（，），根據(jù)文獻，透視變換投影矩陣為：!"""""""""

8、""""""""#其中：、分別是遠近裁剪平面的坐標；、分別是上下裁剪平賣的坐標，、分別是右左裁剪平面的坐標。那么透視投影變換的變換運算為：!$""%（）%""%""%$""%!%""%"%"%""%（）%"%""%"%""%""%"%（）"%"%"%"

9、;"%"%"%"（）%"%""%"%"%""%#&""%""%""%#&&其代碼如下所示。（，）$%&其中為漫反射系數(shù)，為簡化起見，本文假設(shè)為常數(shù)，且設(shè)光源為平行光（如太陽光）。（）計算由第章的方法，可以得到相應(yīng)的插補角，那么據(jù)文獻的等角插補明暗處理公式，得到插補點的法向量：（）（）因此。（）實驗由于三角形是渲染的基本單元，本文以三角形的三個頂點（，），（，）和（，）為例，通過上述渲染管道和等角插補明暗處理的運算，得到如圖所示的實驗結(jié)果。另外由得出的實驗結(jié)果如圖所示，可以看出兩圖視覺效果相同。輸入?yún)?shù)分別透視投影變換矩陣，前一級變換的結(jié)果坐標，輸出參數(shù)存入；，；臨時變量，暫存變換結(jié)果；（；）結(jié)語本文通過分析渲染管道和等角插補明暗處理，用語言實現(xiàn)了渲染管道的硬件計算部分，同時用語言實現(xiàn)了等角插補明暗處理，并給出了實驗結(jié)果。本文的實現(xiàn)可為渲染算法的研究和實現(xiàn)提供參考。參考文獻：，（）：，；輸出結(jié)果等角插補明暗處理給定一光照模型和光源，然后用掃描線和等角插補公式來，（）：，計算等角插補明暗處理。光照模型及光源本文采用簡單的光照模型，其模型示意圖