一類高階非線性系統(tǒng)的混合自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制

1、2007年11月系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐第11期文章編號(hào):100026788(2007)1120104207一類高階非線性系統(tǒng)的混合自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制孫云平,李俊民,王元亮(西安電子科技大學(xué)理學(xué)院,西安710071)摘要:針對(duì)含有時(shí)變和時(shí)不變未知參數(shù)的高階非線性系統(tǒng),應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,該方法結(jié)合了反饋線性化,性系統(tǒng),通過引進(jìn)微分-差分參數(shù)自適應(yīng)律,范數(shù)意義下漸近收斂于零,通過構(gòu)造.實(shí)例仿真結(jié).關(guān)鍵詞:;Lyapunov函數(shù):ARepetitiveLearningControlforaClassofHighOrderNonlinearTime2VaryingSystemswithMixedParam

2、etersSUNYun2ping,LIJun2min,WANGYuan2liang(SchoolofScience,XidianUniversity,Xian710071,China)Keywords:mixedparametric;nonlinearsystem;adaptivecontrol;repetitivelearningcontrol;Lyapunovfunction1引言自適應(yīng)控制可以有效地處理線性和非線性系統(tǒng)中含有常值參數(shù)或慢時(shí)變參數(shù)的不確定性,而對(duì)含有14時(shí)變參數(shù)的不確定系統(tǒng),實(shí)施自適應(yīng)控制還是一個(gè)公開的難題.文獻(xiàn)5解決了含有慢時(shí)變參數(shù)不確2的參數(shù)周期自適應(yīng)律,解決了一階混合

3、參數(shù)不確定性系統(tǒng)的周期自適應(yīng)控制問題;使得跟蹤誤差在LT2范數(shù)意義下漸近收斂,但其僅對(duì)不確定參數(shù)滿足匹配條件的情況作了研究;文獻(xiàn)11針對(duì)不確定非線性系統(tǒng),基于觀測(cè)器給出了一種自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,需要系統(tǒng)參數(shù)為時(shí)間的周期函數(shù);文獻(xiàn)12針對(duì)一收稿日期:2006209215資助項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金(60374015)作者簡(jiǎn)介:孫云平(1966-),男,四川江津人,博士研究生,研究方向是學(xué)習(xí)控制,自適應(yīng)控制和魯棒控制;李俊民(1965-),男,陜西岐山人,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向是自適應(yīng)控制與學(xué)習(xí)控制,最優(yōu)控制與算法,混合系統(tǒng)理論和網(wǎng)絡(luò)化控制等;王元亮(1983-),男,福建莆田人,碩士研究生

4、,研究方向是自適應(yīng)控制,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊控制.第11期一類高階非線性系統(tǒng)的混合自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制105類含非參數(shù)化不確定的非線性系統(tǒng),提出了一種重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,但要求目標(biāo)軌線是周期函數(shù);文獻(xiàn)13對(duì)具有周期和擬周期時(shí)變參數(shù)不確定系統(tǒng),利用Backstepping方法給出了魯棒學(xué)習(xí)控制策略;文獻(xiàn)14對(duì)一類既有完全未知的虛擬控制系數(shù)又有時(shí)變參數(shù)不確定性的不匹配的非線性系統(tǒng),給出一種自適應(yīng)魯棒重復(fù)學(xué)習(xí)控制策略,把Nussbaum2type函數(shù)與Backstepping方法相結(jié)合,能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)一致最終有界;文獻(xiàn)15針對(duì)含有時(shí)變和時(shí)不變未知參數(shù)的二階非線性系統(tǒng),結(jié)合Backstepping方法,提出了

5、一種新的自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,使跟蹤誤差平方在一個(gè)周期上的積分范數(shù)漸近收斂于零.本文在文獻(xiàn)10的基礎(chǔ)上,研究了含有時(shí)變和時(shí)不變參數(shù)化高階非線性系統(tǒng),提出了微分2,利用反饋線性2化方法,通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù),設(shè)計(jì)了混合自適應(yīng)控制律T斂于零,并給出了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件.在本文中,函數(shù)f(s)的LT2范數(shù),st-T=X(t).2t-t),其中T為有限正常數(shù).記X2:(m)0T01T1x-(t)(X,t)-()(X,t)=bu(t)X(0)=X0,()(1)m-1Tm其中x1=x,x2= x,xm=x,X(t)=(x1(t),x2(t),xm(t)R是可測(cè)的系統(tǒng)狀態(tài),X(0)=X00是系

6、統(tǒng)的初值,u(t)R是系統(tǒng)的控制輸入,b是符號(hào)已知的未知輸入增益,不失一般性,設(shè)b>0,(t)00T111T0=(是未知連續(xù)的時(shí)變參數(shù)向量,=(是未知的時(shí)不變參數(shù)向量,(X,t)1(t),p(t)1,n)00T111T=(,(X,t)=(分別是已知的向量值函數(shù).Xr(t)=(xr1(X,t),p(X,t)1(X,t),n(X,t)m-1(t), (t)TRm表示參考模型的狀態(tài),目標(biāo)軌線為xr(t).在本文中,系統(tǒng)(1)及目標(biāo)軌線xr(t),xr()xr(t)滿足下列假設(shè):(t)是周期為T的連續(xù)向量函數(shù),(t)=(t-T),且在某個(gè)緊集內(nèi)變化,即存在一個(gè)正假設(shè)1000(t)數(shù)M,使得M.j

7、j(X,t)(j=0,1)關(guān)于X是李普希茨連續(xù),關(guān)于t是分段連續(xù),即對(duì)X1,X2Rm,使得假設(shè)2j(X1,t)-(X2,t)ljX1-X2,lj(j=0,1)是未知李普希茨常數(shù).000假設(shè)3目標(biāo)軌線xr(t)和它的一階到m-1階導(dǎo)數(shù)均在LT2范數(shù)意義是有界的.即2t-Tt(xrk()2d<(k=0,1,m-1).()注1假設(shè)1限定了快速時(shí)變參數(shù)是周期性的,并且在一個(gè)未知緊集內(nèi)變化.需要注意的是,連續(xù)函00數(shù)在左閉右開的區(qū)間上不一定有界,因此該假設(shè)中只要求這樣的緊集存在,即存在M即可,而M可以未知.注2假設(shè)2以及(t)是連續(xù)向量函數(shù),確保了系統(tǒng)方程(1)的解存在惟一并連續(xù);假設(shè)3是為了保2

8、證系統(tǒng)的所有信號(hào)均在LT2范數(shù)意義下是有界的而給出的.m0定義廣義跟蹤誤差(t)=xr(i-1)i=1ce(t),(ciim=1),ci(i=1,m)是霍爾維茨多項(xiàng)式系數(shù),其中ei(t)(t)-xi(t).2控制目標(biāo)是在周期自適應(yīng)控制機(jī)理下,保證廣義跟蹤誤差(t)在LT2范數(shù)意義下漸近收斂于零,并且確保閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)均在LT2范數(shù)意義下有界.3控制律和周期自適應(yīng)律的構(gòu)造(t)關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)為:m-1(t)= i=1ciei+1(t)+xr(m)001T1(t)-(t)T(X,t)-()(X,t)-bu(t)(2)106系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐2007年11月根據(jù)高階非線性系統(tǒng)(1)式和(2)式的特點(diǎn)

9、,構(gòu)造的學(xué)習(xí)控制律為:T0T(t)-u(t)=K(t)(X,t)-(t)(X,t)(3)TT-10l其中K>0是反饋增益,(t)=(1(t),p(t)是(t)=(的估計(jì)量,1(t),p(t)l(t)=bTT-1(t),(l=1,p),(t)=(0(t),1(t),n(t)是=(0,1,n)的估計(jì)量,0=-b,j-11=bj(j=1,n),m-1(X,t)=i=1ciei+1(t)+xr(m)111(t),1(X,t),2(X,t),n(X,t)TTT注3顯然(t)=(是周期為T(0,n)是1(t),p(t)未知的時(shí)不變參數(shù)向量.時(shí)變參數(shù)周期校正律為:t)=,t),-T)-0t)(X,t)

10、(t),)tT,t0,T)(4)t)=0,t-T,0)其中,Q=diag(q1,q2,qp)>0是正定對(duì)角的常數(shù)增益矩陣;對(duì)任意t0,T),Q0(t)=diag(q1(t),qp(t)的對(duì)角線上每個(gè)元素qs(t)是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù),滿足qs(0)=0,qs(T)=qs,(s=1,p),Q(t)的這樣選取,是為了保證(4)式中(t)的連續(xù)性,t=kT,kZ+=0,1,2,.00時(shí)不變參數(shù)校正律為:(X,t)(t)(t)=-R(5)這里,R是正定對(duì)稱矩陣.注4(4)式中增益矩陣選擇為正定對(duì)角矩陣,并且滿足在第一個(gè)周期內(nèi)Q0(t)的對(duì)角元素是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù),而在第二個(gè)周期以后Q0

11、(t)的對(duì)角元素變?yōu)槌?shù),并且該常數(shù)就是對(duì)角元素在第一個(gè))上的連續(xù)性,進(jìn)而保證了我們構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)周期末的值.增益矩陣這樣選擇,確保了(t)在0,)處的連續(xù)性就可以了,在一個(gè)周期內(nèi)的有界性.為了說明這一點(diǎn),我們只需明確(t)在kT(k=0,1,2,在T處的連續(xù)性是顯然的,而在2T處的連續(xù)性可從以下的式子中得出:0(X(t),t)(t)lim(t)=lim(t-T)-Qt2T-t2T-00(X(t),t)(t)=lim-(-Q0(t-T)(X(t-T),t-T)(t-T)-Qt2T(X(2T),2T)(2T)=-Q(T)(X(T),T)(T)-Qt2T00(X(t),t)(t)lim

12、+(t)=lim(t-T)-Q+t2T00(X(t-T),t-T)(t-T)-Q(X(t),t)(t)=lim+(t-2T)-Qt2T(X(T),T)(T)-Q(X(2T),2T)(2T)=-Q)處的連續(xù)性類似地可因此,lim-(t)=lim(t),從而得到(t)在2T處是連續(xù)的,而在kT(k=1,2,+t2Tt2T00以得出.把(3)式代入(2)式:(t)=b(-K(t)-<T(t)(X,t)-T(t)(X,t)其中,<(t)=(t)-(t),(t)=-(t).(6)4收斂性分析)定理1系統(tǒng)(1)在假設(shè)1假設(shè)3條件下,學(xué)習(xí)控制律(3)式,周期校正律(4)式和(5)式保證了:(廣義

13、跟蹤誤差(t)在LT2范數(shù)意義下漸近收斂于零,即lim2tt-Tt2()d=0.()閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)均在第11期一類高階非線性系統(tǒng)的混合自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制107LT2范數(shù)意義下有界.2證明構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)為:-12E(t)=b(t)+22t-tT)Q-1<()d+T(t)R-1(t)<(2T(7)其中,Q,R分別是正定對(duì)角矩陣,正定對(duì)稱矩陣.1)對(duì)tT,E(t)在一個(gè)周期t-T,t)內(nèi)的差分為:E(t)=E(t)-E(t-T)-122=b(t)-(t-T)+22+t-Tt(<T()-1<()<T(-T)d(8)T(t)R-1(t)-T(t-T)-1T2利

14、用以下關(guān)系:-12(tT(<()Q<()-<(-T)Q<(-T)d2)(X,)()d-=<(2(X,)Q(X,)()d(t)R(t)-(t-T)R(t-T)=()(X,)()d2=t-Tt20K()-<T()(X,)()-T()(X,)()d(9)tT-1T-1t-TtT0t0T02t-Tt-T(10)(11)T-1T-1tTt-T注5(9)式,(10)式和(11)式的證明類似于文獻(xiàn)10.把(9)式,(10)式和(11)式分別代入(8)式,得:tt0202E(t)=()d-(X,)TQ(X,)()d-Kt-Tt-T2()d<0-Kt2t-T(12),顯

15、然當(dāng)t2)收斂性:對(duì)tiT,(i+1)T,記t=iT+t0,t00,T),(i=1,2,時(shí),有i,i-1重復(fù)利用(8)式,得E(t)=E(t0)+j=0E(t-t0,TjT),當(dāng)t00,T)時(shí),兩端取極限,又利用(12),得:limE(t)<tmax)E(t0)-Klimij=1i-1t-jTt-(j+1)T2()d.2因?yàn)镋(t)0,若E(t0)在區(qū)間0,T)有界,依據(jù)級(jí)數(shù)收斂性定理,由上式可得,廣義跟蹤誤差(t)在LT2范數(shù)意義下漸近收斂于0,即limt0,Ttt-Tt2()d=0.3)以下證明max)E(t0)的有限性.在區(qū)間0,T)內(nèi),因?yàn)?t)=-Q0(t)(X,t)(t)是連

16、續(xù)的,而系統(tǒng)(1)關(guān)于自變量X是李普希茨連續(xù)的,根據(jù)微分方程解的存在性定理,在區(qū)間0,T1)<0,T)上,系統(tǒng)(1)有唯一連續(xù)解,其中T1>0是有限正常數(shù).因此只需證明當(dāng)tT1,T)時(shí),maxE(t0)的有限性.)t0,T0因?yàn)镼=diag(q1,q2,qp)>0是正定對(duì)角的常數(shù)增益矩陣,Q0(t)=diag(q1(t),qp(t)的對(duì)角000線上的每個(gè)元素qs(t)是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù),滿足qs(0)=0,qs(T)=qs,(s=1,p).因而可得Q00-1-1Q0(t)Q0(T1)>0,進(jìn)一步得到2QQ0(t)>0,因此,P(t)=Q0(t)-Q>0

17、是正定對(duì)角矩陣,對(duì)2tT1,T),由(4)式,(5)式和(6)式知,TT-1-1-1T-1(t)+(t) E(t)=(t)b <(t)Q<(t)-<(t-T)Q<(t-T)+(t)R22108系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐2-1(t)-<T(t)Q0-1(t)<(t)+<T(t)Q0(t)(t)+=-K2007年11月T-1<(t)Q<(t)2-T-1<(t-T)Q<(t-T)2(13)Tyy(c>0)對(duì)(13)式的交叉項(xiàng)進(jìn)行放大,從而消去交叉項(xiàng),得4c2(t)+<T(t)Q0-1(t)(t)-<T(t)P(t)<(

18、t)=-K利用Youngs不等式xycxx+TTTT-1T-12<(t)Q0(t)(t)c<(t)<(t)+(t)0(t).4T2(t)-<T(t)(P(t)-cI)<(t)(t0-1()2(tP(t)>0,再進(jìn)一步所以, E(t)-Kc假定P(t)-cI>0, E(t.T因?yàn)?t),maxt0,T)M=(M1,MP)MS=Ss=1,PTTT-1-1(t),使得(t0,T,所以,(t)2(t)2(t),由QQ0MMM(Q0M(t)(Q04c4cT-1(t)Q0(T1)>0可知,(T1)2M(Q0M為正常數(shù),因而在區(qū)域4c(t),<(t)T2

19、M(Q0-1(T)2(t)+<T(t)(P(t)-cI)<(t)MK4c的外部, E(t)是負(fù)定的.從而,E(t)在有限區(qū)間T1,T)是有界的.由E(t)的有界性和定義(7),可以知道2(t)在L2T2范數(shù)意義下是有界的.由E(t)的有界性可得(t)在LT2范數(shù)意義下是有界的.由(3)可知,控制輸入u(t)在LT2范數(shù)意義下是有界.由假設(shè)3以及(1),(5)易得其它信號(hào)在LT2范數(shù)意義下的有界性.225實(shí)例仿真考慮如下:一個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)器人操作臂方程:x1x=001x1x0+ml+2(u-glcosx1+1)23其中x1是關(guān)節(jié)角度,x2是角速度,m是質(zhì)量,l是長(zhǎng)度,I是慣性矩,u是關(guān)節(jié)

20、輸入,t)是外1=5x1sin(5部干擾.在仿真中,取b=ml+I2>0為時(shí)不變參數(shù)時(shí),系統(tǒng)參數(shù)是m=3kg,l=1m,I=015kgm,參考軌跡T2xr(t)=2sin2t,系統(tǒng)的初始條件為:x1(0)=0,x2(0)=0.系統(tǒng)的不確定性能表示為(t)(X,t)+()(X,t),其中(t)=1T103t)-5sin(015sup,=1-glb0,(X,t)=x1,(X,t)=1cosx1,廣義跟蹤誤差(t)=3e1+e2,用|i|表示在第i個(gè)周期廣義跟蹤誤差的最大絕對(duì)值.利用本文設(shè)計(jì)的周期自Q,K=650,R=70.利用MATLAB編程仿真,T適應(yīng)控制律,周期T=4s,Q=011I(I

21、為單位矩陣),Q0(t)=得到仿真結(jié)果如圖所示.圖1說明了第i個(gè)周期廣義跟蹤誤差的最大絕對(duì)值,圖2表明第50個(gè)周期廣義誤差(t)曲線已經(jīng)小于2%,由圖3圖4可以看出,控制曲線u(t)是有界的,由圖4進(jìn)一步看出控制曲線是令人滿意的;圖5圖8說明了時(shí)變參數(shù)的估計(jì)曲線(t)和時(shí)不變參數(shù)的估計(jì)曲線(t)的有界性,這與理論分析結(jié)果是相符的.以上仿真結(jié)果表明所提的方法是可行的.6結(jié)論針對(duì)一類混合型參數(shù)的高階非線性系統(tǒng),利用反饋線性化方法,引進(jìn)微分2差分參數(shù)周期自適應(yīng)律,設(shè)計(jì)了一種周期自適應(yīng)控制策略.通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù),證明了廣義跟蹤誤差在LT2范數(shù)意義下漸近收斂2第11期一類高階非線性系統(tǒng)的混合

22、自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制109于零,實(shí)例仿真結(jié)果說明了該方法的可行性.圖1|i圖2第50個(gè)周期廣義誤差曲線(t)圖3控制曲線u(t)圖4第50個(gè)周期控制曲線u(t)圖5時(shí)變參數(shù)的估計(jì)曲線1(t)圖6時(shí)變參數(shù)的估計(jì)曲線2(t)圖7時(shí)不變參數(shù)的估計(jì)曲線0(t)圖8時(shí)不變參數(shù)的估計(jì)曲線1(t)110參考文獻(xiàn):系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐2007年11月1NarendraKS,AnnaswamyAM.StableAdaptiveSystemsM.EnglewoodCliffs,NJ:Prentice2Hall,1989.2KokotovicPV.FoundationsofAdaptiveControlM.NewYor

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