因式分解的教材分析

1、因式分解的教材分析 塘沽十五中 王守娟一、 知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理 定義 整 因 提公因式法 式 式 兩項(xiàng)式平方差公式 方法 完全平方公式 公式法乘 分 三項(xiàng)式 十字相乘法法 解 多余三項(xiàng)的多項(xiàng)式分組分解法 一“提” 二“套”步驟 三“分” 四“查”二、 本章在代數(shù)中的地位和作用因式分解是代數(shù)中又一種重要的恒等變形，而本章的因式分解的內(nèi)容是多項(xiàng)式因式分解中一部分最基本的知識(shí)和基本方法，它包括因式分解的概念，整式乘法與因式分解的區(qū)別和聯(lián)系；因式分解的四種基本方法，即提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法（本書(shū)中只介紹了二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法）多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)中一部分重要內(nèi)容，

2、它是在學(xué)完有理數(shù)和整式乘法之后給出的，它與前一章整式乘除和后一章分式聯(lián)系極為密切。這部分內(nèi)容在將分式通分和約分時(shí)有著直接應(yīng)用，在解方程以及將三角函數(shù)進(jìn)行恒等變形等方面也經(jīng)常涉及到它的應(yīng)用，因此本章內(nèi)容對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有重要的作用。三、 教學(xué)目標(biāo)1、通過(guò)學(xué)習(xí)因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系，提高對(duì)代數(shù)式的辨別能力。2、學(xué)習(xí)提公因式法，了解提公因式法分解因式是乘法對(duì)加法的分配律的逆用；學(xué)習(xí)了公式法，進(jìn)一步明確公式法分解因式是乘法公式的逆用。從而提高代數(shù)式的恒等變形能力。3、在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)分解質(zhì)因數(shù)是為分?jǐn)?shù)運(yùn)算打基礎(chǔ)，進(jìn)而計(jì)算算術(shù)應(yīng)用題。同樣道理，在代數(shù)中學(xué)習(xí)因式分解是為后面學(xué)習(xí)分式運(yùn)算打

3、基礎(chǔ)，進(jìn)而可以列方程解應(yīng)用題，從而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。4、通過(guò)分組分解法提高學(xué)生觀(guān)察問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。注意觀(guān)察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提高合理選擇式子變形的方法，注意提高綜合處理因式分解的能力。5、加強(qiáng)把一個(gè)式子看作一個(gè)字母的換元思想的練習(xí)，在因式分解時(shí)對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題能夠通過(guò)變形整理使之轉(zhuǎn)化為所熟悉的因式分解的基本形式或把某一部分式子看作一個(gè)整體以適應(yīng)某種基本方法，從而了解等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和方法。6、尋求因式分解的方法具有探索性，要有猜想、試探、思辨的過(guò)程，所以要培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和探索能力，提高解題的靈活性和創(chuàng)造性。四、 教學(xué)重點(diǎn)：多項(xiàng)式的因式分解的四種方法。五、 教學(xué)難點(diǎn)

4、：多項(xiàng)式因式分解方法靈活多變，分組方案的篩選技巧六、 教學(xué)建議1、對(duì)因式分解這一概念本人認(rèn)為不宜要求學(xué)生一次了解徹底，可以通過(guò)舉例及后面的幾節(jié)課的因式分解過(guò)程逐步加深理解。特別是講授四個(gè)因式分解的基本方法時(shí)，結(jié)合具體例題的分析過(guò)程、分解結(jié)果，說(shuō)明因式分解的概念，以達(dá)到明確這個(gè)概念的目的。2、提公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的方法，它的理論依據(jù)是乘法分配律。在講解時(shí)可以先復(fù)習(xí)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再把它逆轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)運(yùn)算就是提公因式法。用這個(gè)方法，首先對(duì)要分解的多項(xiàng)式認(rèn)真觀(guān)察，確定公因式是至關(guān)重要的。3、運(yùn)用公式法的關(guān)鍵是熟悉各公式的形式和特點(diǎn)。對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，如何根據(jù)要分解的多項(xiàng)式的形式特點(diǎn)

5、（項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、指數(shù)）來(lái)選擇用什么公式，往往不是很容易，這也是運(yùn)用公式的難點(diǎn)。因此在教學(xué)中應(yīng)注意分析實(shí)例，指明思路、交待方法，以便克服難點(diǎn)。4、分組分解法是前兩種方法的綜合。教材中分兩類(lèi)：一類(lèi)是分組后能直接提公因式的；一類(lèi)是分組后能運(yùn)用公式的。由于多項(xiàng)式的形式各異，分組的方法也比較靈活，要具體問(wèn)題具體分析，并且要預(yù)見(jiàn)到分組后是否能將整個(gè)多項(xiàng)式繼續(xù)分解，相對(duì)來(lái)說(shuō)分組分解法比前兩種方法難，教學(xué)時(shí)要根據(jù)教材的層次，先易后難，最后講綜合性的因式分解。5、運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解，讓學(xué)生注意觀(guān)察該二次三項(xiàng)式的特征：二次項(xiàng)系數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)能分解成；恰好為一次項(xiàng)系數(shù)，則一定能分解為的形式，只有滿(mǎn)足這樣特征的二次三

6、項(xiàng)式才能用它進(jìn)行正確的因式分解。6、綜合運(yùn)用以上四種方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解安排在本章的最后，對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)要根據(jù)不同的題目，進(jìn)行具體分析，靈活地運(yùn)用各種方法來(lái)分解因式。通過(guò)這部分內(nèi)容可綜合地培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。這部分內(nèi)容又是教學(xué)的難點(diǎn)，要從教學(xué)要求學(xué)生水平出發(fā)安排這部分的例題和練習(xí)。7、因式分解的一般步驟是總結(jié)各種分解方法后講述的，教學(xué)時(shí)要強(qiáng)調(diào)結(jié)合題目的形式和特點(diǎn)來(lái)選擇，確定采用哪種方法分解。四種方法是彼此聯(lián)系的，并不是一種類(lèi)型的多項(xiàng)式只能用一種方法來(lái)分解因式，教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生學(xué)會(huì)具體問(wèn)題具體分析的方法。8、先分組分解，再最后完成整個(gè)分解的方法，既依賴(lài)于解題能力的提

7、高，也是解題能力的培養(yǎng)。要認(rèn)真組織學(xué)生討論，發(fā)揮實(shí)驗(yàn)探索精神，養(yǎng)成探索習(xí)慣，以尋求分組途徑，所以這種解法應(yīng)在學(xué)生的研討中產(chǎn)生，而不宜簡(jiǎn)單地“傳授”給學(xué)生，讓學(xué)生不僅享受正確分組的成功，也要經(jīng)歷錯(cuò)誤分組的失敗，然后從失敗中走向成功。七、 課時(shí)安排：§8.1 提公因式法（5課時(shí)）§8.2 運(yùn)用公式法（8課時(shí)）§8.3 分組分解法（8課時(shí)）八、 具體安排：§8.1 提公因式法（第一課時(shí)）引出因式分解這一概念的方法很多。本人在課前先讓學(xué)生完成如下的題目（課本第7頁(yè)練習(xí)）（ ）（ ）（ ）（ ）更能體會(huì)整式乘法與因式分解互為逆變形，同時(shí)也為提公因式法作準(zhǔn)備。提公因

8、式法分解因式的關(guān)鍵是確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，即當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)為整數(shù)時(shí)，應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)與各項(xiàng)相同因式的最低次冪的積。此種方法分解的步驟是：確定公因式，把它放在括號(hào)前。確定另一個(gè)公因式（用提出的公因式去除原多項(xiàng)式，把所得的商作為另一個(gè)因式，并把它寫(xiě)在括號(hào)里）。安排例1、（含一個(gè)字母）例2、（含兩個(gè)字母）例3、（含三個(gè)字母）顯然例題是由易到難，這樣安排符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也使學(xué)生易于掌握。（第二課時(shí)）講解課本上的例3、（易出現(xiàn)漏“1”的問(wèn)題，此時(shí)可用整式乘法來(lái)檢驗(yàn)）。 補(bǔ)充：已知，求的值。 分析：學(xué)生先階段還不能從已知中求出、的值，因此就需要學(xué)生探索求解的方法，即先把多項(xiàng)式分解因式得，再

9、把代入。（第三課時(shí)）添括號(hào)法則及例5（將多項(xiàng)式的后兩項(xiàng)添括號(hào)）例6、將多項(xiàng)式分解因式（在這里又一次應(yīng)用了添括號(hào)法則，即多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，在分解之前應(yīng)先提出“”號(hào)，再對(duì)對(duì)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，這樣比較簡(jiǎn)單）補(bǔ)充：按要求對(duì)多項(xiàng)式添括號(hào) 將多項(xiàng)式的中間兩項(xiàng)放到前面帶有“”的括號(hào)里； 將多項(xiàng)式的四次項(xiàng)放到前面帶有“+”的括號(hào)里，二次項(xiàng)放到前面帶有“”的括號(hào)里。（例5之后練習(xí)）（第四課時(shí)）公因式是多項(xiàng)式（這里滲透換元思想） 例7、把分解因式 例8、把分解因式（課本例9） （兩個(gè)例題中括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式是相同的）（第五課時(shí)）公因式仍是多項(xiàng)式，但需在分解前變形，這也是學(xué)生容易錯(cuò)的地方?；谶@樣在講例題

10、之前讓學(xué)生先完成P12的練習(xí)第1題，并通過(guò)此題的練習(xí)讓學(xué)生歸納出與的關(guān)系： 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)= 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)=從而為例9、把分解因式例10、把分解因式作了鋪墊。 （在這里盡量讓學(xué)生用不同的方法來(lái)分解）§8.2運(yùn)用公式法（這種方法的關(guān)鍵是弄清公式的形式和特點(diǎn)，熟練地掌握公式）平方差公式的特點(diǎn)：左邊：多項(xiàng)式為二項(xiàng)式；兩項(xiàng)的符號(hào)相反；每項(xiàng)都可化為某數(shù)（或某式）的平方形式。右邊：這兩個(gè)數(shù)（或式）的和與這兩個(gè)數(shù)（或式）的差的積。即：（）2（）2=（+）（）（第一課時(shí)）應(yīng)充分重視引例與的因式分解過(guò)程的分析。在講解例題之前先完成課后練習(xí)1、練習(xí)4（判斷能否用平方差公式分解，從而加深對(duì)公式的理解，同時(shí)也有助

11、于學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)）。例1、 把下列各多項(xiàng)式分解因式：（1） （2） （3）通過(guò)例題的講解歸納步驟先判斷能否用此公式，并確定、；再套用公式分解；化簡(jiǎn)。（第二課時(shí)）相當(dāng)于公式中的、是多項(xiàng)式，又一次體現(xiàn)了換元的思想，分析時(shí)就可以采用換元法。例2、 把下列多項(xiàng)式分解因式： （分解時(shí)讓學(xué)生注意系數(shù)、指數(shù)的變化）。（第三課時(shí)）綜合運(yùn)用提公因式法和公式法分解多項(xiàng)式（有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題能力）初次讓學(xué)生體會(huì)到因式分解方法的考慮順序是一“提”二“套”。例3、 分解下列多項(xiàng)式： （兩次運(yùn)用公式，強(qiáng)調(diào)分解要徹底。這里又一次體現(xiàn)換元的思想）（第四課時(shí)）完全平方公式：公式特點(diǎn)：（左邊）、多項(xiàng)式為三項(xiàng)式；、有兩

12、個(gè)平方項(xiàng)且同號(hào)，又能寫(xiě)成兩數(shù)（或式）的平方形式；、另一項(xiàng)是這兩數(shù)（或式）的積的二倍，符號(hào)可正可負(fù)。（右邊）這兩數(shù)（或式）的和或差的平方形式。運(yùn)用此公式的關(guān)鍵是會(huì)判斷一個(gè)三項(xiàng)式是否為完全平方式即：（）2±2*+（）2補(bǔ)充下面的練習(xí)：1、 下列各式是否為完全平方式： 2、 填空： 完成以上練習(xí)后再講例1把多項(xiàng)式分解因式及引例和的分解因式。（第五課時(shí)）例5、（首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，先提出“”，使字母的平方項(xiàng)系數(shù)為正）（）例6、（含公因式的）（又一次體現(xiàn)一“提”二“套”的步驟）（第六課時(shí)）例7、把分解因式（此題中既含有公因式2，又把看作整體，進(jìn)一步滲透換元思想）補(bǔ)充：分解 （第七課時(shí)）補(bǔ)充因式分解的

13、一些應(yīng)用（如簡(jiǎn)便計(jì)算： 證明數(shù)的整除：為整數(shù)，則）能被8整除等問(wèn)題）（第八課時(shí)）公式法的小結(jié)課，綜合運(yùn)用兩個(gè)公式和提公因式法。從而培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。§8.3分組分解法（關(guān)鍵是分組后能繼續(xù)分解）一） 分組后直接提公因式（等項(xiàng)分組）分組的原則是：可按相同的系數(shù)或相同的系數(shù)比進(jìn)行分組如：多項(xiàng)式可有兩種分組方法，（方法一）（也可說(shuō)是按、分組）（方法二）（也可說(shuō)是按、分組）可根據(jù)字母的次數(shù)來(lái)分組（如可把二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別分組即，當(dāng)然它還有其它的分組方法這里就不介紹了） （第一課時(shí)）例1、 例2、（第二課時(shí)） 例3、 例4、 （例1例4由同學(xué)們互相討論尋求）二） 分組后直

14、接運(yùn)用公式（第三課時(shí)） 例5、（還是分組后提公因式，只是前兩項(xiàng)為一組需用平方差公式） （第四課時(shí)） 例7、 （啟發(fā)學(xué)生用多種方法分解）（第五課時(shí)）分組分解法的小結(jié)課補(bǔ)充打散原有組合重新分組例如，要想對(duì)它分解須先去掉括號(hào)得，再按前面的例1那樣類(lèi)似地分組。（書(shū)中這樣的題目還有如P37 B組的第3題、P43的第6題）三） 十字相乘法形如形式，若且則=（）（）（第六課時(shí)）常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)例8、把下列各式分解因式：（1） （2）（第七課時(shí)）常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)例9、把下列各式分解因式：（1） （2） （3）由此總結(jié)分解因式的規(guī)律即、與常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系（盡量由學(xué)生說(shuō)出）：0，0時(shí)，、同為正；0，0時(shí)，、同為負(fù)

15、；0，0時(shí)，、異號(hào)且絕對(duì)值較大的數(shù)為正；0，0時(shí)，、異號(hào)且絕對(duì)值較大的數(shù)為負(fù)。（第八課時(shí)）通過(guò)例題綜合運(yùn)用前面幾種方法及前幾節(jié)的學(xué)習(xí)總結(jié)步驟如下（P34黑體字），本人把它總結(jié)成如下“順口溜”：首先要提公因式，然后考慮用公式；十字相乘試一試，分組分得要合適；四種方法反復(fù)試，結(jié)果應(yīng)是連乘式。補(bǔ)充說(shuō)明：1對(duì)形如型的多項(xiàng)式分解因式的方法（十字相乘法應(yīng)給學(xué)生介紹）其原理：且 則=通常借助十字交叉線(xiàn)： 代數(shù)學(xué)習(xí)質(zhì)量監(jiān)測(cè)P17第8題（這種方法需要大膽嘗試）2配方法（P37讀一讀應(yīng)給予重視，因在今后的二次函數(shù)中仍有應(yīng)用）3拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法（1） 拆項(xiàng)法（即把某一項(xiàng)拆成兩個(gè)同類(lèi)項(xiàng)）例如：然后分組分解（2） 添項(xiàng)法（添出兩個(gè)系數(shù)互為相反數(shù)的同類(lèi)項(xiàng)）例如： 4待定系數(shù)法 5因式分解的應(yīng)用整除性（例如P43B組的1、2等）對(duì)某些