幾類不同的增長函數(shù)模型1

1、幾類不同增長的函數(shù)模型幾類不同增長的函數(shù)模型生態(tài)故事：生態(tài)故事：“一群兔子引發(fā)的一群兔子引發(fā)的危機(jī)危機(jī)” 18591859年，當(dāng)澳大利亞的一個(gè)農(nóng)夫?yàn)榱舜颢C而從外國弄來幾只年，當(dāng)澳大利亞的一個(gè)農(nóng)夫?yàn)榱舜颢C而從外國弄來幾只兔子后，一場可怕的生態(tài)災(zāi)難爆發(fā)了。兔子是出了名的快速繁殖兔子后，一場可怕的生態(tài)災(zāi)難爆發(fā)了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亞它沒有天敵，數(shù)量不斷翻番。者，在澳大利亞它沒有天敵，數(shù)量不斷翻番。19501950年，澳大利亞年，澳大利亞的兔子的數(shù)量從最初的五只增加的兔子的數(shù)量從最初的五只增加到了五億只，這個(gè)國家絕大部分到了五億只，這個(gè)國家絕大部分地區(qū)的莊稼或草地都遭到了極大地區(qū)的莊稼

2、或草地都遭到了極大損失。絕望之中，人們從巴西引損失。絕望之中，人們從巴西引入了多發(fā)黏液瘤病，以對付迅速入了多發(fā)黏液瘤病，以對付迅速繁殖的兔子。整個(gè)繁殖的兔子。整個(gè)2020世紀(jì)中期，世紀(jì)中期，澳大利亞的滅兔行動(dòng)從未停止過澳大利亞的滅兔行動(dòng)從未停止過。 假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：你選擇，這三種方案的回報(bào)如下： 方案一方案一：每天回報(bào)：每天回報(bào)4040元；元； 方案二方案二：第一天回報(bào)：第一天回報(bào)1010元，以后每天比前一天多回報(bào)元，以后每天比前一天多回報(bào)1010元；元； 方案三方案三：第一天回報(bào)：第一天回報(bào)

3、0.40.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。 請問，你會(huì)選擇哪種投資方案呢？請問，你會(huì)選擇哪種投資方案呢？投資方案選擇原則：投資方案選擇原則：投入資金相同，回報(bào)量多者為優(yōu)投入資金相同，回報(bào)量多者為優(yōu). .(1)(1)比較三種方案每天回報(bào)量；比較三種方案每天回報(bào)量；(2)(2)比較三種方案一段時(shí)間內(nèi)的累計(jì)回報(bào)量比較三種方案一段時(shí)間內(nèi)的累計(jì)回報(bào)量. 我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型，我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù)。再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù)。解：解：設(shè)第設(shè)第x天所得回報(bào)

4、為天所得回報(bào)為y元，則元，則方案一：每天回報(bào)方案一：每天回報(bào)40元。函數(shù)關(guān)系為元。函數(shù)關(guān)系為y=40 (xN*) ；方案二：第一天回報(bào)方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)元，以后每天比前一天多回報(bào) 10元。函數(shù)關(guān)系為元。函數(shù)關(guān)系為y=10 x (xN*)；方案三：第一天回報(bào)方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天元，以后每天的回報(bào)比前一天 翻一番。函數(shù)關(guān)系為翻一番。函數(shù)關(guān)系為y=0.42x-1 (xN*)。下面利用圖象從整體上把握不同函數(shù)模型的增長下面利用圖象從整體上把握不同函數(shù)模型的增長三個(gè)函數(shù)的圖象三個(gè)函數(shù)的圖象我們看到，底數(shù)我們看到，底數(shù)為為2 2的指數(shù)函數(shù)的指數(shù)函

5、數(shù)模型比線性函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要模型增長速度要快得多快得多. .從中你從中你對對“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”的含義有什么新的含義有什么新的理解？的理解？x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增長量增長量/元元y/元元增長量增長量/元元y/元元增長量增長量/元元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.43040300214748364.80000000001010101010101010100.40.81.63.26.412.825.651.2107374182.4除

6、了要考慮每天的回報(bào)量之外，還得考慮回報(bào)的累積值除了要考慮每天的回報(bào)量之外，還得考慮回報(bào)的累積值. .你能你能把前把前11天回報(bào)的累積值算出來嗎天回報(bào)的累積值算出來嗎?累計(jì)回報(bào)表累計(jì)回報(bào)表 天數(shù)天數(shù)方案方案1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111一一40408080120120160160200200240240280280320320360360400400440440二二101030306060100100150150210210280280360360450450550550660660三三0.40.41.21.22.82.86 612.412.425.225

7、.250.850.8102102204.4204.4409.2409.2816.8816.8投資投資1 16 6天，應(yīng)選擇方案一；投資天，應(yīng)選擇方案一；投資7 7天，應(yīng)選擇方案一或方案二天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資投資8 81010天，應(yīng)選擇方案二；天，應(yīng)選擇方案二；投資投資1111天天(含含1111天天)以上，應(yīng)選擇方案三。以上，應(yīng)選擇方案三。比較函數(shù)的增長情況？比較函數(shù)的增長情況？常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)一次函數(shù)一次函數(shù)指數(shù)指數(shù)型型函數(shù)函數(shù)指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸沒有增長沒有增長勻速增長勻速增長急劇增長急劇增長某公司為了實(shí)現(xiàn)某公司為了實(shí)現(xiàn)10001000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定

8、一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到1010萬元時(shí)，按萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y( (單位：萬元單位：萬元) )隨著銷售利潤隨著銷售利潤x ( (單位：萬元單位：萬元) )的增加而增加，但資金數(shù)不超過的增加而增加，但資金數(shù)不超過5 5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的金不超過利潤的25%25%?，F(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：。現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y= =0.250.25x，y= =log7 7x+1+1，y= =1.0021.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求呢？，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求呢？ 本題中涉及了哪幾類函數(shù)

9、模型本題中涉及了哪幾類函數(shù)模型? ?實(shí)質(zhì)是什么實(shí)質(zhì)是什么? ? 本例涉及了一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)三類函本例涉及了一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型數(shù)模型, ,實(shí)質(zhì)是比較三個(gè)函數(shù)的增長情況。實(shí)質(zhì)是比較三個(gè)函數(shù)的增長情況。思考思考 怎樣才能判斷所給的獎(jiǎng)勵(lì)模型是否符合公司怎樣才能判斷所給的獎(jiǎng)勵(lì)模型是否符合公司的要求呢的要求呢? ? 要對每一個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型的獎(jiǎng)金總額是否超出要對每一個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型的獎(jiǎng)金總額是否超出5 5萬元萬元, ,以及獎(jiǎng)勵(lì)比例是否超過以及獎(jiǎng)勵(lì)比例是否超過25%25%進(jìn)行分析進(jìn)行分析, ,才能做出正確才能做出正確選擇。選擇。 由于公司總的利潤目標(biāo)為由于公司總的利潤目標(biāo)為100010

10、00萬元，所以人員萬元，所以人員銷售利潤一般不會(huì)超過公司總的利潤。于是只需在銷售利潤一般不會(huì)超過公司總的利潤。于是只需在區(qū)間區(qū)間10,100010,1000上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司的要上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司的要求即可。求即可。借助計(jì)算機(jī)作出三個(gè)函數(shù)的圖象借助計(jì)算機(jī)作出三個(gè)函數(shù)的圖象三個(gè)函數(shù)的圖象如下三個(gè)函數(shù)的圖象如下可以看到：在可以看到：在區(qū)間區(qū)間10,100010,1000上只有模型上只有模型y=log=log7 7x+1+1的的圖象始終在圖象始終在y=5=5的下方的下方通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷 對于模型對于模型y=0.250.25x，它在區(qū)間，它在區(qū)間10,100

11、010,1000上遞上遞增，當(dāng)增，當(dāng)x=2020時(shí)，時(shí)， y=5 5 ，因此，因此x(20,1000)(20,1000)時(shí)，時(shí)，y5 5，因此該模型不符合要求。，因此該模型不符合要求。 對于模型對于模型y=1.002=1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間算器，可知在區(qū)間(805,806)(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0 0滿足滿足1.0021.002x0 0 =5=5，由于它在，由于它在10,100010,1000上遞增，因此上遞增，因此當(dāng)當(dāng)xx0 0時(shí)，時(shí)，y5 5，因此該模型也不符合要求。，因此該模型也不符合要求。對于模型對于模型y=log7

12、7x+1 1(1) (1) 由函數(shù)圖象可以看出，它在區(qū)間由函數(shù)圖象可以看出，它在區(qū)間10,100010,1000上上遞增，而且當(dāng)遞增，而且當(dāng)x=10001000時(shí)，時(shí)，y=loglog7 710001000+1 14.554.555,5,所以它符合獎(jiǎng)金不超過所以它符合獎(jiǎng)金不超過5 5萬元的要求。萬元的要求。(2) (2) 再計(jì)算按模型再計(jì)算按模型y=loglog7 7x+1 1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過利潤的過利潤的25%25%，即當(dāng)，即當(dāng)x 10,1000 10,1000時(shí)，是否有時(shí)，是否有l(wèi)og.xyxx710 25成立。成立。 令令 f( (x) )= log log7

13、7x+1-0.251-0.25x，x10,1000.10,1000.利用計(jì)算機(jī)利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)作出函數(shù)f( (x) )的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f( (x) ) f(10)(10) -0.3167-0.31670 0,即即 loglog7 7x+1+10.250.25x所以，當(dāng)所以，當(dāng)x 10,1000 10,1000，時(shí)時(shí)說明按模型說明按模型y=loglog7 7x+1+1獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金不會(huì)超過利潤的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金不會(huì)超過利潤的25%.25%.log.xx710 25綜上所述，模型綜上所述，模型y=loglog7 7x+1+1確實(shí)能符合公司要求確實(shí)能符合公

14、司要求. .觀察圖像比較三種函數(shù)的增長情況觀察圖像比較三種函數(shù)的增長情況指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸對數(shù)平穩(wěn)對數(shù)平穩(wěn)直線增長直線增長1.當(dāng)當(dāng)x越來越大時(shí)，增長速度最快的是越來越大時(shí)，增長速度最快的是( )xyDxyCxyBxyA2100.ln100.100.100D 2.一次實(shí)驗(yàn)中，一次實(shí)驗(yàn)中，x,y函數(shù)關(guān)系與下列哪函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近類函數(shù)最接近( )x123456y0.250.490.7611.261.51xbayDbaxyCbayBbkxyAx.2A 3.假如某公司每天給你投資假如某公司每天給你投資1萬元，共投資萬元，共投資30天。公司天。公司要求你給他的回報(bào)是：第一天給公司要求你給他的回報(bào)是：第一天給公司1分錢，第二天分錢，第二天給公司給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，倍，共共30天，你認(rèn)為這樣的交易對你有利嗎？天，你認(rèn)為這樣的交易對你有利嗎？你你30天內(nèi)給公司的回報(bào)為天內(nèi)給公司的回報(bào)為:0.01+0.012+0.0122+0.01229=10737418.231074(萬元萬元)30萬元萬元解答如下：公司解答如下：公司30天內(nèi)為你的總投資為天內(nèi)為你的總投資為:小結(jié)小結(jié)1 1. . 幾類不同增長的函數(shù)模型（幾類不同增長的函數(shù)模型