四元數(shù)微分方程的推導(dǎo)

1、1、四元數(shù)定義包括一個(gè)實(shí)數(shù)單位 1 和三個(gè)虛數(shù)單位 i, j, k 2、旋轉(zhuǎn)四元數(shù)一個(gè)有固定點(diǎn)的剛體通過(guò)繞該點(diǎn)的某個(gè)軸轉(zhuǎn)過(guò)特定角度可達(dá)到任何姿態(tài)轉(zhuǎn)軸的方向可以表示成一個(gè)單位矢量: 則描述該轉(zhuǎn)動(dòng)的四元數(shù)可以表示成:（規(guī)范化四元數(shù)）四元數(shù)既反映了轉(zhuǎn)動(dòng)的方向又反映了轉(zhuǎn)動(dòng)的幅值。3、四元數(shù)性質(zhì)（1）矢量旋轉(zhuǎn)：在坐標(biāo)系中，向量繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)角度得到向量，則（2）為的共軛四元數(shù)（3）與互逆，（4）四元數(shù)的范數(shù)：（5）規(guī)范化四元數(shù)：（6）坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)：矢量固定不動(dòng)，坐標(biāo)系按照四元數(shù)Q轉(zhuǎn)動(dòng)，得到新坐標(biāo)系，設(shè)矢量在兩坐標(biāo)系中的映像分別為、，則4、四元數(shù)方向余弦矩陣一個(gè)矢量相對(duì)于坐標(biāo)系固定：；坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)了得到一個(gè)新坐標(biāo)

2、系：設(shè)四元數(shù)、則 設(shè)則將地理坐標(biāo)系利用四元素轉(zhuǎn)換為載體坐標(biāo)系時(shí)，其方向余弦矩陣為捷聯(lián)慣導(dǎo)中的姿態(tài)更新實(shí)質(zhì)上是如何計(jì)算四元數(shù)。5、四元數(shù)微分方程由于載體的運(yùn)動(dòng)，四元數(shù)是變量，即、是時(shí)間的函數(shù)。剛體繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)角，其角速度為：（式1）設(shè)這個(gè)運(yùn)載體坐標(biāo)系（b系）和地理坐標(biāo)系（n系）之間的變換四元數(shù)的三角形式為：角對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)（式2）對(duì)式2求導(dǎo)可得：（式3）前導(dǎo)后不導(dǎo)加上后導(dǎo)前不導(dǎo)因?yàn)樾D(zhuǎn)軸未變化則即：有 由于捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的慣性器件是直接固聯(lián)在運(yùn)載體上的，所以陀螺測(cè)量得到的角速度是沿運(yùn)載體坐標(biāo)系的絕對(duì)角速度，因此上式應(yīng)用式不方便，需要進(jìn)行進(jìn)一步變換。由性質(zhì)（6）可知：又因?yàn)?則將式10寫成矩陣形式為：（式11）（式12）式中，分別表示載體坐標(biāo)系相對(duì)于地理坐標(biāo)系沿各個(gè)軸向的角速度分量，