第三章導數(shù)的應用

1、導數(shù)的應用應用數(shù)學精品課程教案第三章 導數(shù)的應用第一節(jié) 中值定理教學目標：1了解羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理；2掌握中值定理的簡單應用教學重點：羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理教學難點：中值定理的簡單應用共2學時一、 拉格朗日中值定理定理1（羅爾中值定理）：設函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內可導；（3）。則在內至少存在一點，使得（）。定理2（拉格朗日中值定理）：設函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內可導。則在內至少存在一點，使得，拉格朗日中值定理的意義：由， 得，即曲線上至少有一點M處的切線的斜率與過兩點的直線的斜

2、率相同。函數(shù)在區(qū)間上的增量可用區(qū)間內某點的導數(shù)與區(qū)間長度的乘積表示。例1、 設函數(shù)在區(qū)間上是否否滿足拉格朗日中值定理的條件？若滿足，求適合定理的值。解：因為是初等函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)，且在開區(qū)間內可導，且所以函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件。由拉格朗日中值定理得， 即 ， 解得推論：在區(qū)間I內，若，則證明：任取，不妨設，則函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理的條件，則至少存在一點，使得 由于，故所以 ，即 。這說明在內的任意兩點的函數(shù)值相等，所以在區(qū)間內是一個常數(shù)。第二節(jié) 洛必達法則教學目標：1.掌握洛必塔法則； 2.會運用洛必塔法則求不定式的極限；3.了解運用洛必塔法則可化為不定式的極限

3、0;教學重點：洛必塔(LHospilal)法則  教學難點：洛必塔(LHospilal)法則的應用；未定式極限共4學時定理1、設函數(shù)、滿足：（1）、，；（2）、在的某去心鄰域內，與存在，且；（3）、存在或為無窮大，則 。證明從略。定理1的意義：時，未定式型在符合定理條件下，可以通過分子、分母分別求導后再求極限，這種確定未定式的值的方法稱為洛必達法則。例1、 求例2、 求.例3、 求例4、 求解： =即：在使用洛必達法則時，若還是型未定式，且函數(shù)與仍滿足洛必達法則的條件，則可繼續(xù)使用洛必達法則：=。例5、 求；二、型未定式的極限定理2、設函數(shù)、滿足：（1）、，；（2）、在的某

4、去心鄰域內，與存在，且；（3）、存在或為無窮大，則 。對于有類似的結論。例6、求下列極限（1）、求（2）；（2）、；（3）、（，n為正整數(shù)）；三、其它未定式的極限對于等未定式，可以通過適當?shù)淖冃螌⑺鼈兿绒D化為型或型的未定式，再用洛必達法則計算。例7、求下列極限（1）（n>0）；（2）；（3）；注意：定理中的條件對于結論來講是充分的，即若存在，則存在，而當不存在時則未必不存在。這時洛必達法則失效，改用其它方法求極限。對于有相應的洛必達法則。例3求；例4；作業(yè)：P103T（1）（4），T3（1）（2），T4。第三節(jié) 函數(shù)的極植與最大值、最小值 教學目標： 1了理解函數(shù)的極值概念；2

5、. 掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求極值的方法；3掌握較簡單的最大值和最小值的應用問題的求解教學重點：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求極值教學難點：簡單的最大值和最小值的應用問題函數(shù)的極值及其求法共4學時一 函數(shù)的單調性的判定定理1（函數(shù)單調性的判定定理）設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，（1） 如果在內，則函數(shù)在上單調增加；（2） 如果在內，則函數(shù)在上單調減少。證明：任取，不妨設，則函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理的條件,則有 若在內，則，且，于是 ，即 。這就是說，在上單調增加。同理，若在內，則，于是，即 。這就是說，在上單調減少。注：若將定理中的閉區(qū)間換成開區(qū)間或無窮區(qū)間，判定定理的結論仍然成

6、立。例2、 判別函數(shù)的單調性。解：因為，且只有當時，所以函數(shù)在定義域內是單調增加的。由例2知：當在某區(qū)間內的有限個點處為零，其余各點處均為正（負）時，函數(shù)在該區(qū)間內仍為單調增加（減少）的。例3、 討論函數(shù)的單調性。例4、 討論函數(shù)的單調性。解：函數(shù)在內連續(xù)，當時，沒有使導數(shù)等于零的點，但當時不存在。在內，函數(shù)單調減少；內，函數(shù)單調增加。由此可見，導數(shù)不存在 的點也可能是函數(shù)增減區(qū)間的分界點。結論：討論連續(xù)函數(shù)的單調性時，先求也使導數(shù)為零的點和導數(shù)不存在的點，用這些點將定義域劃分為若干個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上根據(jù)導數(shù)的正負來確定函數(shù)的單調性。二、函數(shù)的極值定義1、函數(shù)在點的某鄰域內有定義，若對于

7、該鄰域內的任一點，均有，則稱是的一個極大值，稱為函數(shù)的極大值點；若對該鄰域內的任一點，均有，則稱是的一個極小值，稱為函數(shù)的極小值點。函數(shù)的極大值與極小值勤統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點。定理1、（極值的必要條件）設在點處具有導數(shù)，且在處取得極值，那么定理1證明從略。導數(shù)為零的點，稱為駐點。定理2、（極值的第一充分條件）設函數(shù)在點的某一鄰域內可導，且，那么，在此鄰域內有：（1） 若當時，當時，則在處取得極大值；（2） 若當時，當時，則在處取得極小值；（3） 若當時的符號符號保持不變，則在處沒有極值。即：當在的鄰近漸增地經過時，如果的符號由正變負，那么在處取得極大值；如果的符號由負變正

8、，那么在處取得極小值；如果的符號并不改變，那么在處沒有極值。例1、求函數(shù)的極值。解：函數(shù)的定義域為，令，即，解得駐點用把定義域分成三個部分區(qū)間，列表討論如下：所以，函數(shù)的極大值為 函數(shù)的極小值為 13+00+極大值極小值例2、求的極值。解：函數(shù)的定義域為，令解得駐點，不可導點，這兩個點把定義域分成三個部分區(qū)間，。+不存在+極大值極小值列表討論如下：所以，函數(shù)的極大值為 函數(shù)的極小值為 。定理3、（極值的第二充分條件）設在處有二階導數(shù)，且則（1）、當時，為極大值；（2）、當時，為極小值。例3、求函數(shù)的極值。解：，令，得駐點 ， ，沒有不可導點，因此，可用第二充分條件判斷， 所以，函數(shù)的極大值為

9、函數(shù)的極小值為 求函數(shù)極值的步驟：（1）、求出函數(shù)的定義域及導數(shù)；（2）、求出的駐點與不可導點；（3）、考察的符號在每個駐點或不可導點的左、右鄰近的情形，用第一充分條件判定該點是否為極值點及極大值點、極小值點；或用第二充分條件判定駐點是哪種極值點。（4）、求出各極值點的函數(shù)值，就得函數(shù)的全部極值。三、函數(shù)的最值極值是一個發(fā)展局部部概念，是與極值點鄰近的所有點的函數(shù)值相比而言的，而最大值、最小值是一個整體概念，是函數(shù)在整個區(qū)間上全部數(shù)值中的最大者、最小者。下面分別就兩種情況討論最大值、最小值的存在性及求法：（1）、為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的性質定理知，在上存在最大值與最小值。又由函數(shù)極值

10、的討論，的最大值、最小值只能在區(qū)間端點、駐點及不可導點處取得。因此，只須將上述特殊點的函數(shù)值進行比較，其中最大者就是在上的最大值（記作），最小者就是在上的最小孩子值（記作）。例1、求在區(qū)間上的最大值與最小值。解：，令，得駐點，其函數(shù)值為 區(qū)間端點處的函數(shù)值為 ，。故函數(shù)在上最大值最小值。（2）、函數(shù)在內只有一個駐點，并且是函數(shù)的極值點，那么，當是極大值時，也是在內的最大值；當是極小值時，也是在內的最小值。例5 設有一塊邊長為的正方形鐵皮，從四個角截去同樣大小的正方形小方塊，做成一個無蓋的方盒子，小方塊的邊長為多少才能使盒子容積最大？解：設小塊的邊長為，則方盒的底邊長為方盒容積 ， ， 令，得函

11、數(shù)有內的唯一駐點，又 ， 所以是函數(shù)在內的唯一極大值點，故當剪去的小方塊的邊長為時，盒子的容積最大。作業(yè)第四節(jié) 曲線的凹凸性與拐點教學目標：1了解凹凸性和拐點的概念2掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點的方法 3初步掌握描繪較簡單的函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸近線)教學重點：利用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點；描繪函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸近線)教學難點：描繪函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸近線)共4學時一、 曲線的凹凸性與拐點定義：設曲線在內各點都有切線，如果曲線上每一點處的切線都在它的下方，則稱曲線在內是凹的，也稱為曲線的凹區(qū)間；如果曲線上每一點處的切線都在它的上方，則稱曲線在內是凸的，也

12、稱為曲線的凸區(qū)間。如何判定曲線的凹凸呢？定理 設函數(shù)在內具有二階導數(shù)，那么：（1） 如果在內，則曲線在內是凹的；（2） 如果在內，則曲線在內是凸的。例1、 討論曲線的凹凸性。解 函數(shù)的定義域為，當時，曲線在區(qū)間內是凸的；當時，曲線在區(qū)間內是凹的。當時，時，且點是曲線上由凹變凸的分界點。例2、 求曲線的凹凸區(qū)間。解 函數(shù)在定義區(qū)間內連續(xù)，當時， ，所以，當時，為函數(shù)的凹區(qū)間；當時，為函數(shù)的凸區(qū)間。顯然，是不存在的點，且點是曲線上由凹變凸的分界點。一般地，連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點。曲線拐點求法步驟：(1)、確定函數(shù)的定義域，并求；(2)、求出和的不存在的點，設它們?yōu)?3)、對于步

13、驟（2）中求出的每一個點考察在兩側近旁是否變號，如果變號，則點是曲線的拐點。例3、求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點。解 （1）函數(shù)的定義域為；（2），令（3） 列表考察的符號：（4） 由表討論可知，函數(shù)在內是凹的。在是凸的，曲線的拐點為，+_+凹拐點凸拐點凹二、 簡單的函數(shù)作圖舉例曲線的漸近線如果，則稱直線為曲線的水平漸近線；如果，則稱直線為曲線的鉛直漸近線。描繪函數(shù)的一般步驟：（1） 確定函數(shù)的定義域，并考察函數(shù)的奇偶性與周期性；（2） 求出方程 ，在函數(shù)定義域內的全部實根，以及，不存在的點，記為并將由小到大排列，將定義域劃分為若干小區(qū)間；（3） 確定在這些區(qū)間內和的符號，從而確定函數(shù)的單調性、凹凸性

14、、極值點、拐點；（4） 考察曲線的漸近線及其它變化趨勢；（5） 由曲線的方程計算出一些點的坐標，如極值點和極值、拐點，圖形與坐標軸的交點的坐標，有時還需取某些輔助點，然后綜合上述討論的結果畫出函數(shù)的圖形。例4 作函數(shù)的圖形。作業(yè)： 習題課基本內容一、 中值定理1、 羅爾定理：如果（1）、（2）、（3），則2、 拉格朗日中值定理：如果（1）、（2），則使二、 洛必達法則 “”型未定式的極限、“”型未定式的極限：如果（1）、（2）、（3），則。應用時注意：對于類似的洛必達法則。如果仍是或型的未定式，只要滿足洛必達法則的條件，可重復使用洛必達法則，多次使用洛必達法則時應及時化簡，使得運算簡單。對于對

15、于等未定式，將它們先轉化為型或型的未定式，再用洛必達法則計算。如果不存在，只是不能用洛必達法則求此極限，而不能斷言此極限不存在，而應改用其它方法求此極限。三、導數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)的應用1、函數(shù)的單調性的判定；2、函數(shù)的極值、極值點的概念，極值的必要條件、駐點，極值的第一、二充分條件。初等函數(shù)極值的求法步驟：求出導數(shù)；求出的駐點及不可導點；根據(jù)極值的第一充分條件或第二充分條件對上述各點逐個進行判斷；求出各極值點的函數(shù)值，即為極值；函數(shù)的最值求法：（1）如果函數(shù)在上連續(xù)，求出駐點、導數(shù)不存在點及區(qū)間端點的函數(shù)值，將它們進行比較，其最大者為在上的最大值，其最小者為在上的最小值。（2）如果函數(shù)在內連續(xù)且

16、只有一個駐點，當是函數(shù)的極大值時，也是在內的最大值，當是函數(shù)的極小值時，也是在內的最小值。3、 曲線的凹凸性與拐點的概念，凹凸性的判定定理：時曲線是凹的，時曲線是凸的。拐點的判定方法：或處不存在，在兩側近旁異號，則點是曲線的拐點，在兩側近旁同號，則點不是曲線的拐點。4、 函數(shù)作圖：函數(shù)作圖的五個步驟：（1）確定的定義域，考察函數(shù)的奇偶性與周期性；（2）求出方程 ，在函數(shù)定義域內的全部實根，以及，不存在的點，記為并將由小到大排列，將定義域劃分為若干小區(qū)間；（3）確定在這些區(qū)間內和的符號，從而確定函數(shù)的單調性、凹凸性、極值點、拐點；（4）考察曲線的漸近線及其它變化趨勢；（5）由曲線的方程計算出一些點的坐標，如極值點和極值、拐點，圖形與坐標軸的交點的坐標，有時還需取某些輔助點，然后綜合上述討論的結果畫出函數(shù)的圖形。例題、習題選講：例1、 驗證拉格朗日中值定理對于函數(shù)在區(qū)間上的正確性。例2、 證明：若在區(qū)間內有，則（C為常數(shù)）。例3、 求例4、 驗證極限存在，但不能用洛