第三章量子統(tǒng)計(jì)理論

1、第三章 量子統(tǒng)計(jì)理論第一節(jié) 從經(jīng)典統(tǒng)計(jì)到量子統(tǒng)計(jì) 量子力學(xué)對(duì)經(jīng)典力學(xué)的改正波函數(shù)代表狀態(tài) (來(lái)自實(shí)驗(yàn)觀測(cè))能量和其他物理量的不連續(xù)性 （來(lái)自Schroedinger方程的特征）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系（來(lái)自物理量的算符表示和對(duì)易關(guān)系）全同粒子不可區(qū)分 （來(lái)自狀態(tài)的波函數(shù)描述）泡利不相容原理 （來(lái)自對(duì)易關(guān)系）正則系綜不是系統(tǒng)處在某個(gè)的概率，而是處于某個(gè)量子態(tài)的概率，例如能量的本征態(tài)。配分函數(shù)為第n個(gè)量子態(tài)的能量，對(duì)所有量子態(tài)求和（不是對(duì)能級(jí)求和）。平均值量子力學(xué)的平均值第二節(jié) 密度矩陣量子力學(xué)波函數(shù) 歸一化平均值 統(tǒng)計(jì)物理 系綜理論：存在多個(gè)遵從正則分布的體系假設(shè)系綜的各個(gè)體系獨(dú)立，理解：是對(duì)所有狀態(tài)平均，假

2、設(shè)每個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率為 ，對(duì)固定m，和以相同概率出現(xiàn)，所以如果選取能量表象，假設(shè)按正則分布，重新記為 這里 引入密度矩陣算符顯然， 歸一化條件一般地 這樣，計(jì)算可以在任何表象進(jìn)行微正則系綜 ( E)巨正則系綜n 為N固定的量子態(tài)第三節(jié) 玻色愛(ài)因斯坦分布(BE)和費(fèi)米狄拉克分布（FD）體系：N個(gè)獨(dú)立的全同粒子，N可變單粒子能級(jí)巨正則分布量子態(tài)：粒子按單粒子量子態(tài)的分布注意：i 不是粒子的指標(biāo)，而是態(tài)的指標(biāo) N可變的分布這里 i 記單粒子態(tài)例：?jiǎn)瘟Ｗ觾赡芗?jí)系統(tǒng)，玻色子，沒(méi)簡(jiǎn)并計(jì)算平均粒子數(shù)（i） 玻色愛(ài)因斯坦情形（ii） 費(fèi)米狄拉克情形只能取0，1兩個(gè)值若第個(gè)能級(jí)有個(gè)簡(jiǎn)并量子態(tài)，則共有粒子， 平均

3、粒子數(shù)若足夠大，漲落相對(duì)可忽略，N可認(rèn)為常數(shù)。第四節(jié) 理想玻色氣體和Bose-Einstein凝聚由于泡利不相容原理，玻色和費(fèi)米氣體低溫下差別較大玻色氣體的性質(zhì)1、選，由 (這里是與能量零點(diǎn)有關(guān))2、BE凝聚單分子氣體，分析表明 ，為自旋簡(jiǎn)并度設(shè)，不斷降溫，為保證對(duì)的積分為常數(shù)，必須增加（即趨向于零）當(dāng) 稱之為凝結(jié)溫度為自旋如果進(jìn)一步降溫，使 ，似乎出現(xiàn)矛盾，因?yàn)椴荒茉僭黾樱?又要保持為常數(shù)。問(wèn)題產(chǎn)生于這一過(guò)程近似略去了的貢獻(xiàn)，而當(dāng) 的粒子貢獻(xiàn)極大。 (*)只計(jì)算了的粒子數(shù) 當(dāng) ,這并不奇怪 當(dāng) , 是個(gè)大數(shù)這現(xiàn)象稱之為BE凝聚，是動(dòng)量空間的凝聚。討論（i） 顯然，F(xiàn)ermi體系不會(huì)凝聚，因

4、為Pauli原理。（ii） 對(duì)理想或排斥勢(shì)的玻色體系，會(huì)發(fā)生凝聚但對(duì)吸引勢(shì)的玻色體系，則不會(huì)發(fā)生凝聚，因?yàn)閼?yīng)為，但吸引勢(shì)體系無(wú)法保證這點(diǎn)。（iii） 凝聚是一種相變，像是二級(jí)相變，因?yàn)?是冪次行為第五節(jié) 理想費(fèi)米氣體和費(fèi)米球 假設(shè) 1、粒子的排列遵從 粒子按能級(jí)從低到高，每個(gè)能級(jí)兩個(gè)自旋取向排列。設(shè)最高能量為,對(duì)應(yīng)動(dòng)量大小。在動(dòng)量空間看，費(fèi)米子的等能面為球面。時(shí)，全部費(fèi)米子處于半徑為球內(nèi)，這球稱費(fèi)米球。用周期邊界對(duì)自由粒子求解Shroedinger方程量子態(tài)求和考慮到簡(jiǎn)并，在動(dòng)量的量子態(tài)數(shù)目為 稱費(fèi)米能量，對(duì)應(yīng)的等能面稱費(fèi)米面討論設(shè) 這表明是個(gè)階梯函數(shù) 思考題： 的物理意義 時(shí)的能量 單粒子平

5、均能量 當(dāng),對(duì)費(fèi)米氣體，粒子仍然運(yùn)動(dòng)，例如，對(duì)電子氣，這種運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的壓強(qiáng) 個(gè)大氣壓。2、 但 是從量子氣體轉(zhuǎn)變?yōu)榻?jīng)典氣體的溫度。 表明量子效應(yīng)顯著。 熱運(yùn)動(dòng)能量的數(shù)量級(jí)為,它使費(fèi)米面變厚，厚度 。 選為獨(dú)立變數(shù)，巨正則系綜的特性函數(shù)是熱力熱 分部積分 是典型的費(fèi)米積分當(dāng)T 小 時(shí) ,可以作低溫展開(kāi),對(duì)，練習(xí)：試計(jì)算I的一級(jí)近似。 (T=0, ; T0, ) 平均粒子數(shù)假設(shè) 費(fèi)米體系的粒子數(shù)不隨溫度而變 （練習(xí)：試推導(dǎo)）內(nèi)能 （由上面得到的表達(dá)式）定容熱容量稱費(fèi)米溫度第六節(jié) 能斯脫定理和絕對(duì)熵?zé)崃W(xué)第二定律和熱力學(xué)基本方程只定義了兩個(gè)狀態(tài)的熵之差。l 能斯脫定理設(shè)為可逆等溫過(guò)程的熵變，則即 l這便是熱力學(xué)第三定律經(jīng)典統(tǒng)計(jì)：可能狀態(tài)數(shù) 量子統(tǒng)計(jì)： 量子態(tài)數(shù)T=0K時(shí)，等于基態(tài)的簡(jiǎn)并度,若 G=1,自然S=0;若G1,但一般G N則 S ,所以單粒子熵 對(duì)近獨(dú)立的粒子體系，熵 練 習(xí) 對(duì)玻色子， 0對(duì)費(fèi)米子，由于在費(fèi)米球內(nèi)為1，在球外為0，S = 0第三定律的否定表述:絕對(duì)零度不能用有限手續(xù)達(dá)到熱力學(xué)過(guò)程：吸熱 溫度會(huì)增加，不可能 放熱 要求環(huán)境為低溫，也不可能絕熱 唯一選擇，可逆絕熱過(guò)程，因?yàn)榭赡孢^(guò)程效率最