2016-2017學年人教A版選修2-1___241__拋物線及其標準方程學案1

1、24 拋物線2.4.1拋物線及其標準方程拋物線的定義如圖，我們在黑板上畫一條直線EF，然后取一個三角板，將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點，將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上，在拉鎖D處放置一支粉筆，上下拖動三角板，粉筆會畫出一條曲線問題1：畫出的曲線是什么形狀？提示：拋物線問題2：|DA|是點D到直線EF的距離嗎？為什么？提示：是AB是直角三角形的一條直角邊問題3：點D在移動過程中，滿足什么條件？提示：|DA|DC|.拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線

2、.拋物線的標準方程平面直角坐標系中，有以下點和直線：A(1,0)，B(1，0)，C(0,1)，D(0，1)；l1：x1，l2：x1，l3：y1，l4：y1.問題1：到定點A和定直線l1距離相等的點的軌跡方程是什么？提示：y24x.問題2：到定點B和定直線l2距離相等的點的軌跡方程是什么？提示：y24x.問題3：到定點C和定直線l3，到定點D和定直線l4距離相等的點的軌跡方程分別是什么？提示：x24y，x24y.拋物線標準方程的幾種形式圖形標準方程焦點坐標準線方程y22px(p>0)(，0)xy22px(p>0)(，0)xx22py(p>0)(0，)yx22py(p>0)

3、(0，)y1拋物線定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點，設為M；一個定點F，即拋物線的焦點；一條定直線l，即為拋物線的準線；一個定值，即點M與點F的距離和M到l的距離之比等于1.定點F不能在直線上，否則，動點M的軌跡就不是拋物線2拋物線的焦點坐標、準線方程以及開口方向取決于拋物線的標準方程形式，規(guī)律是：焦點取決于一次項，開口取決于正負號，即標準方程中，如果含的是x的一次項，則焦點就在x軸上，并且焦點的橫坐標為(或)，相應的準線是x(或x)；如果含的是y的一次項，有類似的結(jié)論3拋物線標準方程中的參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的距離求拋物線的標準方程例1分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程：(1

4、)準線方程為2y40；(2)過點(3，4)；(3)焦點在直線x3y150上思路點撥精解詳析(1)準線方程為2y40，即y2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設其方程為x22py(p>0)又2，所以2p8，故拋物線的標準方程為x28y.(2)點(3，4)在第四象限，設拋物線的標準方程為y22px(p>0)或x2x2p1y(p1>0)把點(3，4)的坐標分別代入y22px和x22p1y，得(4)22p·3,322p1·(4)，即2p，2p1.所求拋物線的標準方程為y2x或x2y.(3)令x0得y5；令y0得x15.拋物線的焦點為(0，5)或(15,0)所求拋物線

5、的標準方程為x220y或y260x.一點通求拋物線方程的主要方法是待定系數(shù)法，若已知拋物線的焦點位置，則可設出拋物線的標準方程，求出p值即可；若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論另外，焦點在x軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設成y2ax(a0)，焦點在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設成x2ay(a0)1以雙曲線1的右頂點為焦點的拋物線的標準方程為()Ay216xBy216xCy28x Dy28x解析：由雙曲線方程1，可知其焦點在x軸上由a216，得a4，該雙曲線右頂點的坐標是(4,0)，拋物線的焦點為F(4,0)設拋物線的標準方程為y22px(p>0)，則由4，得p8，故所求拋物線的標準方程為y21

6、6x.答案：A2已知拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(3，m)到焦點的距離是5.(1)求拋物線方程和m的值；(2)求拋物線的焦點和準線方程解：(1)法一：拋物線焦點在x軸上，且過點M(3，m)，設拋物線方程為y22px(p>0)，則焦點坐標F(，0)由題意知解得或所求拋物線方程為y28x，m±2.法二：設拋物線方程為y22px(p>0)，則焦點坐標F(，0)，準線方程x.由拋物線定義知，點M到焦點的距離等于5，即點M到準線的距離等于5，則35，p4，拋物線方程為y28x.又點M(3，m)在拋物線上，m224，m±2，所求拋物線方程為y28x，m±2

7、.(2)p4，拋物線的焦點坐標為(2,0)，準線方程是x2.拋物線定義的應用例2已知拋物線的方程為x28y，F(xiàn)是焦點，點A(2,4)在此拋物線上求一點P，使|PF|PA|的值最小思路點撥精解詳析(2)2<8×4，點A(2,4)在拋物線x28y的內(nèi)部如圖，設拋物線的準線為l，過點P作PQl于點Q，過點A作ABl于點B.由拋物線的定義可知：|PF|PA|PQ|PA|AQ|AB|，當且僅當P，Q，A三點共線時，|PF|PA|取得最小值，即為|AB|.此時P的橫坐標為2，代入x28y得yP.故使|PF|PA|的值最小的拋物線上的點P的坐標為(2，)一點通利用拋物線的定義可實現(xiàn)拋物線上的

8、點到焦點和到準線距離的相互轉(zhuǎn)化解此類最值、定值問題時，首先要注意拋物線定義的轉(zhuǎn)化應用；其次是注意平面幾何知識的應用，如兩點之間線段最短，三角形中三邊間的不等關系，點與直線上點的連線中垂線段最短等3點P為拋物線y22px上任一點，F(xiàn)為焦點，則以PF為直徑的圓與y軸()A相交B相切C相離D位置由F確定解析：如圖，拋物線的焦點為F(，0)，M為PF的中點，準線是l：x.作PHl于H，交y軸于Q，那么|PF|PH|，且|QH|OF|.作MNy軸于N，則MN是梯形PQOF的中位線，即|MN|(|OF|PQ|)|PH|PF|，故以PF為直徑的圓與y軸相切答案：B4已知點P是拋物線y22x上的一個動點，則點

9、P到點(0,2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為()A. B3C. D.解析：由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準線的距離等于到焦點的距離由圖可知，P點，A(0,2)點，拋物線的焦點F(，0)三點共線時距離之和最小所以最小距離d|AF| .答案：A與拋物線有關的應用問題例3某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米現(xiàn)有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18米，目前吃水線上部中央船體高5米，寬16米，且該貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1 000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米若不考慮水下深度， 問：該貨

10、船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設法通過該橋孔？為什么？思路點撥精解詳析如圖所示，以拱頂為原點，過拱頂?shù)乃街本€為x軸，豎直直線為y軸，建立直角坐標系拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米，A(10，2)設橋孔上部拋物線方程是x22py(p>0)，則1022p(2)，p25，拋物線方程為x250y，即yx2.若貨船沿正中央航行，船寬16米，而當x8時，y×821.28，即船體在x±8之間通過，B(8，1.28)，此時B點距水面6(1.28)4.72(米)而船體高為5米，無法通行又54.720.28(米)，0.28÷0.047，150×71 050(噸)，所以若船

11、通過增加貨物通過橋孔，則要增加1 050噸，而船最多還能裝1 000噸貨物，所以貨船在現(xiàn)有狀況下不能通過橋孔一點通涉及橋的高度、隧道的高低等拋物線型問題，通常用拋物線的標準方程解決建立直角坐標系后，要結(jié)合點的位置分析坐標的符號，根據(jù)實際問題中的數(shù)據(jù)準確寫出點的坐標，再結(jié)合實際問題求解5探照燈反光鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點處已知燈口直徑是60 cm，燈深40 cm，則光源到反光鏡頂點的距離是()A11.25 cm B5.625 cmC20 cm D10 cm解析：如圖，建立直角坐標系，設拋物線方程是y22px(p>0)A(40,30)在拋物線上，3022p×4

12、0，p，光源到反光鏡頂點的距離為5.625 (cm)答案：B6一輛卡車高3 m，寬1.6 m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱口寬為a m，求使卡車通過的a的最小整數(shù)值解：以隧道頂點為原點，拱高所在直線為y軸建立直角坐標系，則點B的坐標為(，)，如圖所示設隧道所在拋物線方程為x2my，則()2m·()，ma，即拋物線方程為x2ay.將(0.8，y)代入拋物線方程，得0.82ay，即y.欲使卡車通過隧道，應有y()>3，即>3.解得a>12.21或a<0.21(舍去)使卡車通過的a的最小整數(shù)值為13.1求拋物線的標準方程時，由于其標準

13、方程有四種形式，易混淆，解題時一定要做到數(shù)形結(jié)合，按照“定型”(確定焦點位置)定量(參數(shù)p的值)的程序求解2應用定義可以解決兩類問題：求拋物線的方程；涉及拋物線的最值問題，通常將到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，充分利用直角梯形的性質(zhì)解題1拋物線y4x2的焦點坐標是()A(0,1)B(1,0)C(0，) D(，0)解析：由y4x2得x2y，拋物線焦點在y軸正半軸上且2p，p，焦點為(0，)答案：C2若拋物線y22px的焦點與橢圓1的右焦點重合，則p的值為()A2 B2C4 D4解析：由橢圓方程可知a，b，c2，橢圓右焦點為(2,0)，2，p4.答案：D3(2011·遼寧高考)已知F是拋

14、物線y2x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|BF|3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為()A. B1C. D.解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為(|AF|BF|).答案：C4設拋物線y28x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF|()A4 B8C8 D16解析：由拋物線的定義得|PF|PA|，由直線AF的斜率為，可知PAF60°.PAF是等邊三角形，|PF|AF|8.答案：B5已知拋物線y22px(p0)的準線與圓(x3)2y216相切，則p的值為_解析：由拋物線方程y22px(p>0)，

15、得其準線方程為x.又圓的方程為(x3)2y216，圓心為(3,0)，半徑為4.依題意，得3()4，解得p2.答案：26(2012·陜西高考)右圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬_米解析：以拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸建立直角坐標系設拋物線方程為x22py(p>0)，則點(2，2)在拋物線上，代入可得p1，拋物線方程為x22y.當y3時，x26，所以水面寬為2米答案：27根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程(1)拋物線的焦點是雙曲線16x29y2144的左頂點；(2)拋物線的焦點在x軸上，直線y3與拋物線交于點A，|AF|5.解：(1)雙曲線方程化為1，左頂點為(3,0)由題意設拋物線方程為y22px(p>0)且3，p6，方程為y212x.(2)設所求焦點在x軸上的拋物線方程為y22px(p0)，A(m，3)由拋物線定義得5|AF|m|.又(3)22pm，p±1或p±9，故所求拋物線方程為y2±2x或y2±18x