高數(shù)--考研經(jīng)典題目

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 考研數(shù)學(xué) 1 . 設(shè)，問和為何值時，可導(dǎo)，且求解：時，時， 由處連續(xù)性，可知再由處可導(dǎo)性，存在存在且根據(jù)洛必達法則， 于是例2 設(shè)為周期是5的連續(xù)函數(shù)，在鄰域內(nèi)，恒有。其中，在處可導(dǎo)，求曲線在點（）處的切線方程。解：由題設(shè)可知，故切線方程為 所以關(guān)鍵是求出和 由連續(xù)性 由所給條件可知， 再由條件可知令，又 上式左邊= =則 所求切線方程為 即 例2 設(shè)，求 （正整數(shù)）解： 微分中值定理一、用羅爾定理的有關(guān)方法例1 設(shè)在0，3上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且，. 試證：必存在，使 證： 在0，3上連續(xù)， 在0，2上連續(xù)，且有最大值和最小值.于是；，故. 由連續(xù)函數(shù)介值定

2、理可知，至少存在一點使得，因此，且在，3上連續(xù)，（，3）內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在使得。例2 設(shè)在0，1上連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且求證：存在使證：由積分中值定理可知，存在，使得得到 對在0，c上用羅爾定理，（三個條件都滿足）故存在，使例3 設(shè)在0,1上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，對任意，有求證存在使證：由積分中值定理可知存在使得令，可知這樣，對在上用羅爾定理（三個條件都滿足）存在，使而 又，則在例3的條件和結(jié)論中可以看出不可能對用羅爾定理，否則結(jié)論只是，而且條件也不滿足。因此如何構(gòu)造一個函數(shù)，它與有關(guān)，而且滿足區(qū)間上羅爾定理的三個條件，從就能得到結(jié)論成立，于是用羅爾定理的有關(guān)證明命題中，如何根

3、據(jù)條件和結(jié)論構(gòu)造一個合適的是非常關(guān)鍵，下面的模型，就在這方面提供一些模型：設(shè)在上連續(xù)，（）內(nèi)可導(dǎo)，則下列各結(jié)論皆成立。（1）存在使（為實常數(shù)）（2）存在使（為非零常數(shù)）（3）存在使（為連續(xù)函數(shù)）證：（1）令，在上用羅爾定理 存在使消去因子，即證.（2）令，在上用羅爾定理 存在使 消去因子，即證。（3）令，其中 由 清去因子，即證。例4 設(shè)在上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，試證： （1）存在，使。（2）對任意實數(shù)，存在，使得證明：（1）令，顯然它在0, 1上連續(xù)，又，根據(jù)介值定理，存在使即（2）令，它在上滿足羅爾定理的條件，故存在，使，即從而 （注：在例4（2）的證明中，相當(dāng)于模型中（1）的情形，其

4、中取為，取為）模型：設(shè)，在上皆連續(xù)，（）內(nèi)皆可導(dǎo)，且，則存在，使證：令，則，顯然在上滿足羅爾定理的條件，則存在，使，即證.例5 設(shè)在0, 1上連續(xù)，（0, 1）內(nèi)可導(dǎo)，為正整數(shù)。 求證：存在使得 證：令，則，用模型，存在使得故則例6 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證在內(nèi)任意兩個零點之間至少有一個的零點 證：反證法：設(shè)，而在內(nèi)，則令在上用羅爾定理（不妨假設(shè)否則結(jié)論已經(jīng)成立）則存在使，得出與假設(shè)條件矛盾。所以在內(nèi)至少有一個零點例7 設(shè)在二階可導(dǎo)，且，又 求證：（1）在（）內(nèi)；（2）存在，使 證：（1）用反證法，如果存在使，則對分別在和上用羅爾定理，存在使，存在使，再對在上用羅爾定理存在使與假設(shè)條件矛盾。所以在

5、內(nèi)（2）由結(jié)論可知即，因此令，可以驗證在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，滿足羅爾定理的三個條件故存在，使于是成立二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理例1 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且， 求的值解：由條件易見，由拉格朗日中值定理，有其中介于與之間，那么 于是，則例2 設(shè)是周期為1的連續(xù)函數(shù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且，又設(shè)是在1，2上的最大值，證明：存在，使得。 證：由周期性可知，不妨假定而，對分別在1, 和, 2上用拉格朗日中值定理， 存在，使得 存在，使得 如果，則用式，得；如果，則用式，得；因此，必有，使得例3 設(shè)在0, 1上連續(xù)，（0, 1）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明： （）存在，使得 （）存在，使證：（）令，則在0, 1上連續(xù)

6、，且，用介值定理推論存在，使，即 （）在0, 和，1上對用拉格朗日中值定理，存在，使得存在，使 例4 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間（）內(nèi)可導(dǎo)，且，若極限存在，證明： （1）在內(nèi)； （2）在內(nèi)存在，使； （3）在內(nèi)存在與（2）中相異的點，使證：（1）因為存在，故，由在上連續(xù)，從而. 又知在內(nèi)單調(diào)增加，故 （2）設(shè)， 則，故，滿足柯西中值定理的條件，于是在內(nèi)存在點，使 ，即 （3）因，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在內(nèi)存在一點，使，從而由（2）的結(jié)論得， 即有 .三、泰勒公式（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二）例1 設(shè)在-1，1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，. 求證：，使. 證：麥克勞林公式 其中，介于0與之間。 后式減

7、前式，得 在上連續(xù)，設(shè)其最大值為，最小值為.則再由介值定理，使例2 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，試證：在內(nèi)至少存在一點，使成立。分析：因所欲證的是不等式，故需估計，由于一階泰勒公式，（其中在之間）含有，因此應(yīng)該從此入手. 再由知，應(yīng)在兩個區(qū)間上分別應(yīng)用泰勒公式，以便消去公式中的項，同時又能出現(xiàn)項.證：在與上分別用泰勒公式，便有.兩式相減，得.所以至少存在一點，使得 不定積分例、求下列不定積分（1） （2） （a）（3）（） （4）解：（1） =（2） （3）= =（4）=例、 求解： 6 662=2-3例、求解一：=-(這里已設(shè)x>0)解二：倒代換 原式=(x>0)例 求解一

8、：x(arcsinx)=x2 =x+2 = x+2 = x+2 = x+2arcsinx2x+C解二：令arcsinxt，則xsint ， 2tcost2sint +C =x+2例 設(shè)f（x）的一個原函數(shù)F（x），求I解：Ixf（x）x = C例 設(shè)，當(dāng)x時 f(x)F(x) ，又F(0)1，F(xiàn)(x)>0， 求f（x）（x解：22而 =+ C ，C=0，又，因此 則 f（x）例8、設(shè)，求I解一：令u=，則sinx，xarcsin，f(u)=則 I2 222C解二：令x，則，dx2costsintdt，則I 2tcost22tcost2sintC 22C積分證明題例1、設(shè)f（x）在0,上連

9、續(xù)，求證存在證：令F（x） 則F(0)0，F(xiàn)()0，又0如果F(x)sinx在（0,）內(nèi)恒為正，恒為負 則也為正或為負，與上面結(jié)果矛盾，故存在使，而sin，所以F（）0 于是在區(qū)間上分別用羅爾定理，則存在使，存在0，其中例2、設(shè)在0,1上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且f（0）f（1）0，試證：，其中M證：用拉格朗日中值定理f（x）f（x）f（0），其中f（x）f（x）f（1）=,其中由 題設(shè)可知; 又因此M例3設(shè)f（x），g（x）在上連續(xù)，證明證一：（引入?yún)?shù)法）設(shè)t為實參數(shù)， 則2作為t的一元二次不等式 A2BtC，則AC0即,因此證二：（引入變上限積分）令F（u）于是2f（u）g（u） 則 F（u）

10、在上單調(diào)不增 故即證三： （化為二重積分處理）令 I ， 則I，其中區(qū)域D：，同理 I 2I，故2I因此，I例4設(shè)f（x）在上連續(xù)，證明證：在例3中，令g（x）1，則于是例5設(shè)在上連續(xù)，且>0，證明證：在例3柯西不等式中，取f(x)為 ，g(x)為則 ，而因此例6、設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且0，求證：證：在例3柯西不等式中取f(x)為，g（x）為x于是= 定積分的應(yīng)用例1、求曲線 處法線與曲線所圍成圖形的面積解： 先找出法線方程 法線方程 y1（1）（x） xy曲線和法線xy的另一交點為 所求面積 S例2、設(shè)f(x)在上連續(xù)，在（a, b）內(nèi)，證明，且唯一，使得yf（x），yf，xa，所圍面

11、積是yf（x），yf，xb 所圍面積的三倍。證：令F（t） 由連續(xù)函數(shù)介值定理的推論可知使F0再由，可知f（x）的單調(diào)增加性，則唯一例3、設(shè)yf（x）在上為任一非負連續(xù)函數(shù)。（1）試證：，使上以f（x）為高的矩形面積等于上以yf（x）為曲邊的曲邊梯形面積。（2）又設(shè)f（x）在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明（1）中唯一。（1）證：設(shè)，則，且，對F(x)在上用羅爾定理，使，即證畢（2）證：令 2f(x)<0(由（2）的已知條件)因此在（0，1）內(nèi)， 單調(diào)減少，是唯一的例4 求由曲線y和直線y0，x1，x3 所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 解一：平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積平

12、面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積27所求體積=+=9解二： = =例5、設(shè)是由拋物線和直線x=a, x=2 及y=0 所圍成的平面區(qū)域; 是由拋物線和直線x=a, y=0所圍成的平面區(qū)域, 其中0<a<2.(1) 試求繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積;繞y軸而成的旋轉(zhuǎn)體體積(如圖)(2)問當(dāng)a為何值時, +取得最大值? 試求此最大值解 (1) = =或 =(2) V=+=由=0,得區(qū)間 (a,2) 內(nèi)的唯一駐點 a=1.又因此a=1 是極大值點, 也是最大值點. 此時+的最大值為二 物理和力學(xué)方面應(yīng)用(數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二)例 為清除井底的污泥, 用纜繩將抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口,

13、 已知井深30m, 抓斗自重400N, 纜繩每米重 50N, 抓斗抓起污泥重2000N, 提升速度 3m/s, 提升過程中污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉, 現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口, 問克服重力需作多少焦耳的功?說明：(1) 1N1m=1J; m, N, s, J 分別表示米, 牛頓, 秒, 焦耳. (2)抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計.解：所需作功 W= 是克服抓斗自重所作的功=40030=12000 是克服纜繩重力作的功=是提取污泥所作的功=所以 W=91500(J) 用特殊方法計算定積分例1、計算下列定積分（1） I（f為連續(xù)函數(shù)，f（sinx）f（cosx）（2） I（3） I（a常數(shù)）（）（4） I解：（1）令x，則I， 2I， I（2）令x ，則I I ， 2I， I（3）令x，則I，2I，I（4）令9xt3，則 x39t，于是I因此，2I ，則I1例1、 設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）滿足f（x）lnx，求解：令A(yù)，則f（x）lnxA，兩邊從1到e進行積分，得（xlnxx）A（e1）于是Ae（e1）A（e1），eA1，A，則例2、 設(shè)f（x）連續(xù)，且，f（1）1，求解：變上限積分的被積函數(shù)中出現(xiàn)上限變量必須先處理，令u2xt，則2x（u>0）代入條件方程后，兩邊對x求導(dǎo)，得三、遞推方法例1、設(shè)（n0，1，2，）（1）