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文檔簡介
1、北京朝陽區(qū) 2019 屆高三數(shù)學上學期期中試卷(文科附解析)北京市朝陽區(qū) 20192019 屆高三上學期期中考試數(shù)學文試題第I卷一、選擇題:本大題共 8 8 個小題,每小題 5 5 分, ,共 4040 分. . 在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. .已知集合,貝 U UA.B.c.D.A.B.c.D.【答案】B B【解析】【分析】先把集合 A A 解出來,然后求 A AUB B 即可.【詳解】因為集合合,所以,故選:B B.【點睛】本題主要考查集合的交集,屬于基礎(chǔ)題.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點的是A.B.c.D.A.B.c.D.【答案】D D【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)
2、的定義以及零點的定義判斷.【詳解】選項 A,A,是非奇非偶函數(shù),且沒有零點,選項 B,B, 沒有零點,選項 c,c,是奇函數(shù),選項 D,D,是偶函數(shù),又有解,既是偶函數(shù)又存在零點.故選D D【點睛】本題考查偶函數(shù)和零點的概念.設(shè)平面向量,則實數(shù)的值等于A.B.c.OD.A.B.c.OD.【答案】A A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算與共線定理,列方程求出的值.【詳解】向量,故選 A.A.【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算與共線定理的 應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的值為A.-10B.-2C.2D.10A.-10B.-2C.2D.10【答案】c c【解析】【分析】由已知
3、中的程序語句可知:該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量 S S 的值,模擬程序的運行過程,可得答案.【詳解】模擬程序的運行過程,次運行:,第二次運行:第三次運行:第四次運行:此時,推出循環(huán),輸出輸出故選 c.c.【點睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,解題時應(yīng)模 擬程序框圖的運行過程,以便得出正確的結(jié)論,是基礎(chǔ)題.設(shè)、為非零向量,貝廿“”是“”的A.A.充分而不必要條件 B.B.必要而不充分條c.c.充分必要條件 D.D.既不充分也不必要條【答案】A A【解析】【分析】根據(jù)向量共線的含義及向量共線的條件,結(jié)合充要條件的概念即可得出結(jié)論. .【詳解】由能夠推出,但由不能推出,所以選 A.A.【
4、點睛】本題考查向量共線的含義, 向量共線的條件以 及充要條件的概念. .設(shè),是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,有以下 四個命題:若,則若,則若,則若,則其中真命題的序號為A.A.B.B.c.c.D.D.【答案】D D【解析】【分析】構(gòu)造正方體模型,觀察正方體中的線面關(guān)系可以得出結(jié) 論. .【詳解】對于,觀察正方體,知與可以平行,可以在內(nèi),不符 合;對于,與內(nèi)任意一條直線都垂直,又,與內(nèi)任意一條直線都垂直,成立;對于,觀察正方體,知與可以平行,可以在內(nèi),不符 合;對于,觀察正方體,知成立,這也可以作為兩個平面 平行的判定. .因此選 D.D.【點睛】構(gòu)造正方體模型,觀察正方體中的線面關(guān)系,抽象
5、的推理再結(jié)合直觀的判斷,常有四兩撥千斤的效果. .某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積等于A.B.2C.D.6A.B.2C.D.6【答案】A A【解析】【分析】觀察三視圖,可知三棱錐的形狀如圖所示.【詳解】觀察三視圖,可知三棱錐的直觀圖如圖所示,【點睛】由三視圖推出三棱錐的形狀,畫出三棱錐的直 觀圖是解題的關(guān)鍵.已知定義域為的奇函數(shù)的周期為2 2,且時,若函數(shù)在區(qū)間上至少有 5 5 個零點,則的最小值為A.2B.3C.4D.6A.2B.3C.4D.6【答案】A A【解析】【分析】在同一坐標系中作出函數(shù)和的圖像,觀察圖像分析即可注意點,也是函數(shù)圖像上的點. .【詳解】因為是奇函數(shù),所以又因
6、為函數(shù)的周期為2,2,所以在同一坐標系中作出函數(shù)和的圖像,觀察圖像可知和的圖像在-3,2-3,2上有五個交點,從而函數(shù)在區(qū)間上有 5 5 個零點. .【點睛】數(shù)形結(jié)合是很重要的數(shù)學方法,本題在同一坐標系中作出函數(shù)和的圖像,借助函數(shù)圖像求解,直觀高效. .第口卷二、填空題已知,貝 U U.【答案】-【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導公式可解【詳解】由題,貝 U U即答案為.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導公式, 屬基礎(chǔ)題. .0.0.已知等差數(shù)列的公差,且滿足,則 _ .【答案】2 2【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式為即得 . .【詳解】, ,以【點睛】本題考查等
7、差數(shù)列基本量的計算. .1.1.已知,滿足則的最大值為 _ .【答案】【解析】【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域,得如圖的ABcABc 及其內(nèi)部,再將目標函數(shù) z=x+2yz=x+2y 對應(yīng)的直線進行平移,可得 當 x=3x=3,y=1y=1 時,z=x+2yz=x+2y 取得最大值為 5 5.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的 ABcABc 及其內(nèi)部,其中 A A, B,B, c c設(shè) z=x+2yz=x+2y,將直線 I I : z=x+2yz=x+2y 進行平移,當 I I 經(jīng)過點 A A 時,目標函數(shù) z z 達到最大值z z 最大值=3=3故答案為:3 3【點睛】本題
8、給出二元一次不等式組, 求目標函數(shù) z=x+2yz=x+2y 的最大值,著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和 簡單的線性規(guī)劃等知識,屬于基礎(chǔ)題.如圖,甲、乙、丙三人在同一個圓形跑道上運動,計時 開始時,甲、乙、丙分別從、三點出發(fā),三個人的前進方 向相同,甲在乙后面圈,乙在丙后面圈,甲以圈/ /分鐘的速度慢跑,乙以圈/ /分鐘的速度快走,丙以圈/ /分鐘的速度慢走. . 那么經(jīng)過_ 分鐘,甲和乙兩人次相遇;3030 分鐘之內(nèi),甲、乙、丙三人_同時相遇【答案】4 4 不能【解析】【分析】在環(huán)形相遇問題中,甲乙兩人相距 x x 圈,甲的速度快于乙 的速度,兩人同時同向出發(fā),第 n n 次相遇,
9、則甲比乙多跑圈. . 甲和乙兩人次相遇,甲比乙多跑圈,設(shè)經(jīng)過 t t 分鐘,甲和乙兩 人次相遇,可列方程;,設(shè)經(jīng)過 t t 分鐘,甲、乙、丙同時相遇, 則方程組有解. .【詳解】甲和乙兩人次相遇,甲比乙多跑圈,設(shè)經(jīng)過 t t 分鐘,甲和乙兩人次相遇,可列方程,解得:;設(shè)經(jīng)過 t t 分鐘,甲、乙、丙同時相遇,則方程組有解,即有解,易知,三個方程 不可能同時成立,從而甲、乙、丙三人不能同時相遇 . .【點睛】本題屬于相遇問題中的追及問題,對學生的邏輯推理思維有一定的要求. .3.3.海水受日月的引力,在一定的時候發(fā)生的漲落現(xiàn)象叫 潮. .港口的水深會隨潮的變化而變化 . .某港口水的深度是時 刻
10、的函數(shù),記作. .下面是該港口某日水深的數(shù)據(jù):0369121518212403691215182124011.07.95.08.011.08.05.08.0011.07.95.08.011.08.05.08.0經(jīng)長期觀察,曲線可近似地看成函數(shù)的圖象,根據(jù)以上 數(shù)據(jù),函數(shù)的近似表達式為 _.【答案】【解析】【分析】設(shè)出函數(shù)解析式,據(jù)最大值與最小值的差的一半為A A;最大值與最小值和的一半為 h h;通過周期求出3,得到函數(shù) 解析式.【詳解】根據(jù)已知數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)可以得出A=3A=3, b=8b=8, T=12T=12,0=0=0,由,得3= =,所以函數(shù)的近似表達式即答案為【點睛】本題考查通過待定系數(shù)
11、法求函數(shù)解析式、屬基 礎(chǔ)題. .已知函數(shù). .若,則關(guān)于的方程的根的個數(shù)為 _.若,且,則的取值范圍是_ .【答案】.1.1.【解析】【分析】在同一坐標系中作出函數(shù)和函數(shù)y=y=的圖像,觀察圖像分析即可;不妨設(shè),則有, ,利用均值不等式求解. .【詳解】在同一坐標系中作出函數(shù)和函數(shù) y=y=的圖像,觀 察圖像,可知直線 y=y=與函數(shù)的圖像有且只有一個交點 ,因此 關(guān)于的方程的根的個數(shù)為 1,1,不妨設(shè),由得,又【點睛】在同一坐標系中作出函數(shù)和函數(shù)y=y=的圖像,利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵. .三、解答題已知函數(shù). .求的最小正周期和最大值;求的單調(diào)遞增區(qū)間. .【答案】最小正周期為,最大值1
12、1 ;,. .【解析】【分析】先”降次”,再利用輔助角公式將化成的形式,求最小正 周期和最大值;利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式求單調(diào)增區(qū)間. .【詳解】. .所以,的最小正周期為. .令,可得,所以,當,時,取最大值 1.1.由,可得:所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,. .【點睛】逆用倍角公式及輔助角公式將化成的形式,是解題的關(guān)鍵,在三角函數(shù)問題中,求最小正周期、值域和單調(diào) 區(qū)間, ,是常見的題型,一定要重視. .設(shè)是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,求的通項公式;若,求. .【答案】,. .【解析】【分析】設(shè)為首項為,公比為,則依題意,解得,即可得到的通項公式;因為,利用分組求和法即可得到 . .【詳解】設(shè)為
13、首項為,公比為,則依題意,解得,所以的通項公式為,. .因為,所以【點睛】本題考查等比數(shù)列的基本量計算,以及分 組求和法屬基礎(chǔ)題. .我國古代數(shù)學中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂 直的四棱錐稱為陽馬. .如圖,在陽馬中,側(cè)棱底面,是的中 點,連接, . .求證:為直角三角形;求證:平面;若,求多面體的體積. .【答案】見解析;見解析;. .【解析】【分析】由直線與平面垂直的判定定理容易證明平面,再由直線與平面垂直的性質(zhì)定理,可知, ,從而為直角三角形;連接,設(shè),連接,則,由直線與平面平行的判定定理 ,可 知平面;, ,利用錐體的體積公式來解決. .【詳解】證明:因為四邊形為矩形,所以 .
14、.又因為平面,所以. .所以平面,所以. .所以為直角三角形. .證明:連接,設(shè),連接. .因為四邊形為矩形,所以為中點,又因為為中點,所以. .因為平面,平面,所以平面 . .解:過點作于. .因為平面,所以平面平面. .因為平面平面,且平面,所以平面,即為三棱錐的高,且. .因為為中點,所以. .又因為,所以. .于是【點睛】直線和直線垂直,直線與平面垂直,直線與平面 平行,是空間線面關(guān)系中最重要的幾種關(guān)系,熟練掌握直線和直線垂直,直線與平面垂直, ,直線與平面平行的判定和性 質(zhì)是解決立體幾何問題的關(guān)鍵 . .求多面體的體積常見的有割 補法, ,等體積法,再利用錐體的體積公式來解決. .在
15、中,角,的對邊分別為,. .求;求點到邊的距離. .【答案】;. .【解析】【分析】由,及, ,聯(lián)立解得的值,再利用正弦定理求的值 ;由求出 的值,代入得點到的距離. .【詳解】因為,即,又,為鈍角,所以. .由,即,解得. .在中,由知為鈍角,所以. .點到的距離為. .【點睛】有關(guān)解三角形問題,正弦、余弦定理是基礎(chǔ),靈活運用正弦、余弦定理把邊、角之間的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化,是解題的關(guān)鍵. .已知函數(shù). .若,求曲線在點處的切線方程;若在上無極值點,求的值;當時,討論函數(shù)的零點個數(shù),并說明理由. .【答案】;時函數(shù)在上無零點;當時,函數(shù)在上有一個 零點;當時,函數(shù)在上有兩個零點 . .【解析】【分析
16、】由導數(shù)的幾何意義,切線的斜率,先求,利用直線方 程的點斜式求解. .因為,所以若在上無極值點,貝畀即,解 得. .討論當時,在上的符號,函數(shù)的單調(diào)性、極值情況,從而 分析函數(shù)的圖像與 x x 軸的交點個數(shù),得出函數(shù)的零點個數(shù). .【詳解】當時,所以曲線在點處的切線方程為. .依題意有,即,解得. .時,函數(shù)在上恒為增函數(shù)且,函數(shù)在上無零點時: 當,函數(shù)為增函數(shù);當,函數(shù)為減函數(shù);當,函數(shù)為增函數(shù). .由于,此時只需判定的符號:當時,函數(shù)在上無零點;當時,函數(shù)在上有一個零點; 當時,函數(shù)在上有兩個零點. .綜上,時函數(shù)在上無零點; 當時,函數(shù)在上有一個零點; 當時,函數(shù)在上有兩個零點. .【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,結(jié)合函數(shù)的大致圖像判斷零點的個數(shù).0.0.已知函數(shù). .求證:當時,;設(shè),. .試判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明;若恒成立,求實數(shù)的最小值. .【答案】見解析;在上遞減;. .【解析】【分析】求導, ,考查函數(shù)的單調(diào)性和最小值;求導, ,考查的符號; 恒成立,等價于,恒成立,問題轉(zhuǎn)化 為求,的最值,求, ,分和討論. .【詳解】因為在
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