北京朝陽(yáng)區(qū)2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷(文科附解析)

1、北京朝陽(yáng)區(qū) 2019 屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（文科附解析）北京市朝陽(yáng)區(qū) 20192019 屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文試題第I卷一、選擇題：本大題共 8 8 個(gè)小題，每小題 5 5 分, ,共 4040 分. . 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. .已知集合，貝 U UA.B.c.D.A.B.c.D.【答案】B B【解析】【分析】先把集合 A A 解出來(lái)，然后求 A AUB B 即可.【詳解】因?yàn)榧虾希?，故選：B B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集，屬于基礎(chǔ)題.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是A.B.c.D.A.B.c.D.【答案】D D【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)

2、的定義以及零點(diǎn)的定義判斷.【詳解】選項(xiàng) A,A,是非奇非偶函數(shù)，且沒(méi)有零點(diǎn)，選項(xiàng) B,B, 沒(méi)有零點(diǎn)，選項(xiàng) c,c,是奇函數(shù)，選項(xiàng) D,D,是偶函數(shù)，又有解，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn).故選D D【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)和零點(diǎn)的概念.設(shè)平面向量，則實(shí)數(shù)的值等于A.B.c.OD.A.B.c.OD.【答案】A A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線(xiàn)定理，列方程求出的值.【詳解】向量，故選 A.A.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線(xiàn)定理的 應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為A.-10B.-2C.2D.10A.-10B.-2C.2D.10【答案】c c【解析】【分析】由已知

3、中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量 S S 的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，可得答案.【詳解】模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，次運(yùn)行：，第二次運(yùn)行：第三次運(yùn)行：第四次運(yùn)行：此時(shí)，推出循環(huán)，輸出輸出故選 c.c.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模 擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.設(shè)、為非零向量，貝廿“”是“”的A.A.充分而不必要條件 B.B.必要而不充分條c.c.充分必要條件 D.D.既不充分也不必要條【答案】A A【解析】【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)的含義及向量共線(xiàn)的條件，結(jié)合充要條件的概念即可得出結(jié)論. .【詳解】由能夠推出，但由不能推出，所以選 A.A.【

4、點(diǎn)睛】本題考查向量共線(xiàn)的含義， 向量共線(xiàn)的條件以 及充要條件的概念. .設(shè)，是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，有以下 四個(gè)命題：若，則若，則若，則若，則其中真命題的序號(hào)為A.A.B.B.c.c.D.D.【答案】D D【解析】【分析】構(gòu)造正方體模型，觀察正方體中的線(xiàn)面關(guān)系可以得出結(jié) 論. .【詳解】對(duì)于，觀察正方體，知與可以平行，可以在內(nèi)，不符 合；對(duì)于，與內(nèi)任意一條直線(xiàn)都垂直，又，與內(nèi)任意一條直線(xiàn)都垂直,成立；對(duì)于，觀察正方體，知與可以平行，可以在內(nèi)，不符 合；對(duì)于，觀察正方體，知成立，這也可以作為兩個(gè)平面 平行的判定. .因此選 D.D.【點(diǎn)睛】構(gòu)造正方體模型，觀察正方體中的線(xiàn)面關(guān)系，抽象

5、的推理再結(jié)合直觀的判斷，常有四兩撥千斤的效果. .某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積等于A.B.2C.D.6A.B.2C.D.6【答案】A A【解析】【分析】觀察三視圖，可知三棱錐的形狀如圖所示.【詳解】觀察三視圖，可知三棱錐的直觀圖如圖所示，【點(diǎn)睛】由三視圖推出三棱錐的形狀，畫(huà)出三棱錐的直 觀圖是解題的關(guān)鍵.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的周期為2 2,且時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上至少有 5 5 個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為A.2B.3C.4D.6A.2B.3C.4D.6【答案】A A【解析】【分析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖像，觀察圖像分析即可注意點(diǎn),也是函數(shù)圖像上的點(diǎn). .【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以又因

6、為函數(shù)的周期為2,2,所以在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖像，觀察圖像可知和的圖像在-3,2-3,2上有五個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)在區(qū)間上有 5 5 個(gè)零點(diǎn). .【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是很重要的數(shù)學(xué)方法，本題在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖像，借助函數(shù)圖像求解，直觀高效. .第口卷二、填空題已知，貝 U U.【答案】-【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式可解【詳解】由題，貝 U U即答案為.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式， 屬基礎(chǔ)題. .0.0.已知等差數(shù)列的公差，且滿(mǎn)足，則 _ .【答案】2 2【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為即得 . .【詳解】, ,以【點(diǎn)睛】本題考查等

7、差數(shù)列基本量的計(jì)算. .1.1.已知，滿(mǎn)足則的最大值為 _ .【答案】【解析】【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的ABcABc 及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù) z=x+2yz=x+2y 對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)進(jìn)行平移，可得 當(dāng) x=3x=3，y=1y=1 時(shí)，z=x+2yz=x+2y 取得最大值為 5 5.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的 ABcABc 及其內(nèi)部，其中 A A, B,B, c c設(shè) z=x+2yz=x+2y，將直線(xiàn) I I : z=x+2yz=x+2y 進(jìn)行平移，當(dāng) I I 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A A 時(shí)，目標(biāo)函數(shù) z z 達(dá)到最大值z(mì) z 最大值=3=3故答案為：3 3【點(diǎn)睛】本題

8、給出二元一次不等式組， 求目標(biāo)函數(shù) z=x+2yz=x+2y 的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和 簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.如圖，甲、乙、丙三人在同一個(gè)圓形跑道上運(yùn)動(dòng)，計(jì)時(shí) 開(kāi)始時(shí)，甲、乙、丙分別從、三點(diǎn)出發(fā)，三個(gè)人的前進(jìn)方 向相同，甲在乙后面圈，乙在丙后面圈，甲以圈/ /分鐘的速度慢跑，乙以圈/ /分鐘的速度快走，丙以圈/ /分鐘的速度慢走. . 那么經(jīng)過(guò)_ 分鐘，甲和乙兩人次相遇；3030 分鐘之內(nèi)，甲、乙、丙三人_同時(shí)相遇【答案】4 4 不能【解析】【分析】在環(huán)形相遇問(wèn)題中，甲乙兩人相距 x x 圈，甲的速度快于乙 的速度，兩人同時(shí)同向出發(fā)，第 n n 次相遇，

9、則甲比乙多跑圈. . 甲和乙兩人次相遇，甲比乙多跑圈，設(shè)經(jīng)過(guò) t t 分鐘，甲和乙兩 人次相遇，可列方程；，設(shè)經(jīng)過(guò) t t 分鐘，甲、乙、丙同時(shí)相遇， 則方程組有解. .【詳解】甲和乙兩人次相遇，甲比乙多跑圈，設(shè)經(jīng)過(guò) t t 分鐘，甲和乙兩人次相遇，可列方程，解得：；設(shè)經(jīng)過(guò) t t 分鐘，甲、乙、丙同時(shí)相遇，則方程組有解，即有解，易知，三個(gè)方程 不可能同時(shí)成立，從而甲、乙、丙三人不能同時(shí)相遇 . .【點(diǎn)睛】本題屬于相遇問(wèn)題中的追及問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的邏輯推理思維有一定的要求. .3.3.海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生的漲落現(xiàn)象叫 潮. .港口的水深會(huì)隨潮的變化而變化 . .某港口水的深度是時(shí) 刻

10、的函數(shù)，記作. .下面是該港口某日水深的數(shù)據(jù)：0369121518212403691215182124011.07.95.08.011.08.05.08.0011.07.95.08.011.08.05.08.0經(jīng)長(zhǎng)期觀察，曲線(xiàn)可近似地看成函數(shù)的圖象，根據(jù)以上 數(shù)據(jù)，函數(shù)的近似表達(dá)式為 _.【答案】【解析】【分析】設(shè)出函數(shù)解析式，據(jù)最大值與最小值的差的一半為A A;最大值與最小值和的一半為 h h;通過(guò)周期求出3，得到函數(shù) 解析式.【詳解】根據(jù)已知數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)可以得出A=3A=3, b=8b=8, T=12T=12,0=0=0,由，得3= =，所以函數(shù)的近似表達(dá)式即答案為【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)待定系數(shù)

11、法求函數(shù)解析式、屬基 礎(chǔ)題. .已知函數(shù). .若，則關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為 _.若，且，則的取值范圍是_ .【答案】.1.1.【解析】【分析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和函數(shù)y=y=的圖像，觀察圖像分析即可；不妨設(shè)，則有, ,利用均值不等式求解. .【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和函數(shù) y=y=的圖像，觀 察圖像，可知直線(xiàn) y=y=與函數(shù)的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn) ，因此 關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)為 1,1,不妨設(shè)，由得,又【點(diǎn)睛】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和函數(shù)y=y=的圖像，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵. .三、解答題已知函數(shù). .求的最小正周期和最大值；求的單調(diào)遞增區(qū)間. .【答案】最小正周期為，最大值1

12、1 ；，. .【解析】【分析】先”降次”，再利用輔助角公式將化成的形式，求最小正 周期和最大值；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式求單調(diào)增區(qū)間. .【詳解】. .所以，的最小正周期為. .令，可得，所以，當(dāng)，時(shí)，取最大值 1.1.由，可得：所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，. .【點(diǎn)睛】逆用倍角公式及輔助角公式將化成的形式，是解題的關(guān)鍵，在三角函數(shù)問(wèn)題中，求最小正周期、值域和單調(diào) 區(qū)間, ,是常見(jiàn)的題型，一定要重視. .設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，求的通項(xiàng)公式；若，求. .【答案】，. .【解析】【分析】設(shè)為首項(xiàng)為，公比為，則依題意，解得，即可得到的通項(xiàng)公式；因?yàn)?，利用分組求和法即可得到 . .【詳解】設(shè)為

13、首項(xiàng)為，公比為，則依題意，解得，所以的通項(xiàng)公式為，. .因?yàn)椋浴军c(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本量計(jì)算，以及分 組求和法屬基礎(chǔ)題. .我國(guó)古代數(shù)學(xué)中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂 直的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬. .如圖，在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，是的中 點(diǎn)，連接， . .求證：為直角三角形；求證：平面；若，求多面體的體積. .【答案】見(jiàn)解析；見(jiàn)解析；. .【解析】【分析】由直線(xiàn)與平面垂直的判定定理容易證明平面，再由直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理，可知, ,從而為直角三角形；連接，設(shè)，連接，則，由直線(xiàn)與平面平行的判定定理 ，可 知平面；, ,利用錐體的體積公式來(lái)解決. .【詳解】證明：因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?.

14、.又因?yàn)槠矫妫? .所以平面，所以. .所以為直角三角形. .證明：連接，設(shè)，連接. .因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以. .因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?. .解：過(guò)點(diǎn)作于. .因?yàn)槠矫?，所以平面平? .因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平面，即為三棱錐的高，且. .因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以. .又因?yàn)?，所? .于是【點(diǎn)睛】直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)與平面垂直，直線(xiàn)與平面 平行，是空間線(xiàn)面關(guān)系中最重要的幾種關(guān)系，熟練掌握直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)與平面垂直, ,直線(xiàn)與平面平行的判定和性 質(zhì)是解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵 . .求多面體的體積常見(jiàn)的有割 補(bǔ)法, ,等體積法，再利用錐體的體積公式來(lái)解決. .在

15、中，角，的對(duì)邊分別為，. .求；求點(diǎn)到邊的距離. .【答案】；. .【解析】【分析】由，及, ,聯(lián)立解得的值，再利用正弦定理求的值 ；由求出 的值，代入得點(diǎn)到的距離. .【詳解】因?yàn)椋?，又，為鈍角，所以. .由，即，解得. .在中，由知為鈍角，所以. .點(diǎn)到的距離為. .【點(diǎn)睛】有關(guān)解三角形問(wèn)題，正弦、余弦定理是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用正弦、余弦定理把邊、角之間的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，是解題的關(guān)鍵. .已知函數(shù). .若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；若在上無(wú)極值點(diǎn)，求的值；當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由. .【答案】；時(shí)函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè) 零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn) . .【解析】【分析

16、】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線(xiàn)的斜率，先求，利用直線(xiàn)方 程的點(diǎn)斜式求解. .因?yàn)椋匀粼谏蠠o(wú)極值點(diǎn)，貝畀即，解 得. .討論當(dāng)時(shí)，在上的符號(hào)，函數(shù)的單調(diào)性、極值情況，從而 分析函數(shù)的圖像與 x x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). .【詳解】當(dāng)時(shí)，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為. .依題意有，即，解得. .時(shí)，函數(shù)在上恒為增函數(shù)且，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)時(shí): 當(dāng)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)，函數(shù)為增函數(shù). .由于，此時(shí)只需判定的符號(hào)：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn). .綜上，時(shí)函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn). .【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，結(jié)合函數(shù)的大致圖像判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).0.0.已知函數(shù). .求證：當(dāng)時(shí)，；設(shè)，. .試判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；若恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值. .【答案】見(jiàn)解析；在上遞減；. .【解析】【分析】求導(dǎo), ,考查函數(shù)的單調(diào)性和最小值；求導(dǎo), ,考查的符號(hào)； 恒成立，等價(jià)于，恒成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)化 為求，的最值，求, ,分和討論. .【詳解】因?yàn)樵?/p>