彈性力學(xué)100題

1、、單項選擇題）求解這些微分方程，以求得具1 .彈性力學(xué)建立的基本方程多是偏微分方程，還必須結(jié)合（體問題的應(yīng)力、應(yīng)變、位移。A.相容方程B .近似方法C .邊界條件.附加假定B ）的力系代替，則僅在近處2 .根據(jù)圣維南原理，作用在物體一小部分邊界上的力系可以用（ 應(yīng)力分布有改變，而在遠處所受的影響可以不計。A.幾何上等效 B .靜力上等效C .平衡.任意3 .彈性力學(xué)平面問題的求解中，平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的三類基本方程不完全相同，其比較關(guān)系為（.平衡方程、幾何方程、物理方程完全相同.平衡方程、幾何方程相同，物理方程不同.平衡方程、物理方程相同，幾何方程不同.平衡方程相同，物理方程、幾何方程

2、不同4 .不計體力，在極坐標中按應(yīng)力求解平面問題時，應(yīng)力函數(shù)必須滿足（區(qū)域內(nèi)的相容方程；邊界上的應(yīng)力邊界條件；滿足變分方程;如果為多連體，考慮多連體中的位移單值條件。A.B.C.D.5.如下圖1所示三角形薄板，按三結(jié)點三角形單元劃分后，對于與局部編碼ijm對應(yīng)的整體編碼，以下敘述正確的是（D ）I單元的整體編碼為162單元的整體編碼為426單元的整體編碼為246III單元的整體編碼為243IV單元的整體編碼為564A.B.C.D.6 .平面應(yīng)變問題的微元體處于（A.單向應(yīng)力狀態(tài)B.雙向應(yīng)力狀態(tài)C.三向應(yīng)力狀態(tài)，且仃z是一主應(yīng)力D.純剪切應(yīng)力狀態(tài)7 .圓弧曲梁純彎時，（C ）A.應(yīng)力分量和位移分

3、量都是軸對稱的B.應(yīng)力分量和位移分量都不是軸對稱的C.應(yīng)力分量是軸對稱的，位移分量不是軸對稱的D.位移分量是軸對稱的，應(yīng)力分量不是軸對稱的8 .下左圖2中所示密度為 P的矩形截面柱，應(yīng)力分量為：ax = 0,<1y = Ay + B,7xy = 0對圖(a)和C )圖（b）兩種情況由邊界條件確定的常數(shù)A及B的關(guān)系是（A.A 相同，B也相同B.A 不相同，B也不相同C.A相同，B不相同圖2D.A不相同，B相同9、上右圖3示單元體剪應(yīng)變丫應(yīng)該表示為一dx ay 次，其中，a,b,c,d均為常10、設(shè)有平面應(yīng)力狀態(tài) <jx =ax+by,cry =cx+dy,Txy數(shù)，¥為容重

4、。該應(yīng)力狀態(tài)滿足平衡微分方程，其體力是（ D ）A. X = 0,Y = 0 B. X = 0,Y =0 C. X = 0,Y = 0 D. X = 0,Y = 011、函數(shù) （x,y）=ax4 +bx2y2+cy4如作為應(yīng)力函數(shù)，各系數(shù)之間的關(guān)系是（ B ）A.各系數(shù)可取任意值B. b = -3（a+c）C. b=ac d. a bc = 012、對于承受均布荷載的簡支梁來說，彈性力學(xué)解答與材料力學(xué)解答的關(guān)系是（C ）A.仃x的表達式相同B.0y的表達式相同C.”y的表達式相同D.都滿足平截面假定13、圖4所示開孔薄板的厚度為t,寬度為h,孔的半徑為r,則b點的。中二（D ）A. q B.

5、qh/（ h-2r） C.2 q D.3q圖414.所謂“完全彈性體”是指（ A ）。A. 應(yīng)力應(yīng)變成線性關(guān)系，符合胡克定律；B. 材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載時間歷史無關(guān)；C. 本構(gòu)關(guān)系為非線性彈性關(guān)系；D. 卸載后，彈性變形可恢復(fù)。15、對于常體力平面問題，要使函數(shù)中=axy3+bx3y作為應(yīng)力函數(shù)，則 a、b滿足的關(guān)系是（A ）A. a、b任意B. a = b C. a = -b D. a = b c16、應(yīng)力、面力、體力的量綱分別是（A.B.C.D.17、彈性力學(xué)的基本假定有哪些( D )完全彈性均勻性B.C.D.M L-1 T2, M L2 T2, M L-2 T-2-1-2-2-2-1

6、 -2、 一 .一.一M L T , M L T , M L T面應(yīng)變問題內(nèi)某一點的正應(yīng)力分量為：M L-1 T-2 m l T-2 m L-2 T-2仃 x = 35Mpa, 仃 y = 25Mpa * = 0.3 ,則。z 為-2 -2-2 -2-1 -2連續(xù)性各向同性A.18、已知一平多少(B )A 15MPaM L T , M L T , M L T B 18MPa C 20MPa D 22Mpa19、無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量如下，試判斷以下兩組應(yīng)力分量可在彈性體中存在的是(A )(1)(2)其中，A, B, C, D, E, F為常數(shù)20、設(shè)有周邊為任意形狀的薄板，其表面自由并

7、與Oxy坐標面平行。若已知各點的位移分量為二x 二 Ax By二 y =Cx Dyxy =Ex Fy二x=A(x2 y2)二y=B(x2 y2)xy =Cxy1-J1u =-px,v = -py,則板內(nèi)的應(yīng)力分重為(EEA.二 x 二 -P,二 y =0, xy =0B.C.二 x 二 P,二 y = -P, xy =0D.C )二 x 二 -P/-y = P, xy = 0二 x =0,； = P, xy = 0、填空題1.最小勢能原理等價于彈性力學(xué)基本方程中:平衡微分方程應(yīng)力邊界條件A. (1) B. (2)C.(1)、(2) D.都不可能存在2 . 一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：平衡微分方程

8、,相容方程（變形協(xié)調(diào)條件）。3 .等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中，2八中dxdy = M的物理意義是桿端截面上剪應(yīng)力對轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩 M 。4 .平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，Airy應(yīng)力函數(shù)邛在邊界上值的物理意義為邊界上某一點（基準點）到任一點外力的矩。5 .彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：仃jJ+Xi =0 ,=1（uij十由）6 .物體的均勻性假定，是指物體內(nèi)各點的彈性常數(shù) 相同。2h2q7 .某彈性體應(yīng)力分重為：ix =qxy2y =0, % =C（-y ）（不計體力），系數(shù)為 C = -428 .彈性力學(xué)分析結(jié)果表明，材料力學(xué)中的平截面假定，對純彎曲梁來說是正確的 。9 .

9、圓環(huán)僅受均布外壓力作用時，環(huán)向最大壓應(yīng)力出現(xiàn)在內(nèi)周邊處。10 .已知一平面應(yīng)變問題內(nèi)某一點的正應(yīng)力分量為：ax =35MPa ,0y = 25MPaN =0.3 ,則 az = 18MPa 。E11 .將平面應(yīng)力問題下的物理萬程中的E, N分別換成 和就可得到平面應(yīng)變問1-21-題下相應(yīng)的物理方程。4B：； 一12 .位移表達式U中=h十H P - I sin中十K cos中中的常數(shù)I,K,H 不影響I,K 表示物體的剛體平移；H表示物體的剛體轉(zhuǎn)動；它們由物體的位移約束條件13 .彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力，應(yīng)變，位移。14 .邊界條件表示在邊界上位移 與

10、約束，或 應(yīng)力與 面力 之間的關(guān)系式，它可以分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和 混合邊界條件。15 .體力是作用于物體體積內(nèi)的力，以單位體積力來度量，體力分量的量綱為L-2MT2 ;面力是作用于物體表面上力，以單位表面面積上的力度量，面力的量綱為L -1MT2;體力和面力符號的規(guī)定為以沿坐標軸正向 為正,屬 外 力;應(yīng)力是作用于截面單位面積的力，屬內(nèi) 力,應(yīng)力的量綱為L -1MT2 ,應(yīng)力符號的規(guī)定為：正面正向、負面負向為正、反之為負。16 .小孔口應(yīng)力集中現(xiàn)象中有兩個特點：一是孔附近的應(yīng)力高度集中,即孔附應(yīng)力集中的局部性近的應(yīng)力遠大于遠處的應(yīng)力，或遠大于無孔時的應(yīng)力。二是由于孔口存在而引起的應(yīng)

11、力擾動范圍主要集中在距孔邊1.5倍孔口尺寸的范圍內(nèi)。17 .彈性力學(xué)中，正面是指外法向方向沿坐標軸正向的面,負面是指外法向方向沿坐標軸負回_的面 。18 .利用有限單元法求解彈性力學(xué)問題時，簡單來說包含結(jié)構(gòu)離散化、單元分析、整體分析三個主要步驟。20 .彈性力學(xué)的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。21 .平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。22 .已知一點處的應(yīng)力分量 <rx=100 MPa ay =50 MPa Txy=10v5O MPa,則主應(yīng)力 仃1 = 150MPa 二 2 二 0MPa : 1 = 35 16 °23 .在彈性力學(xué)里分析問題，要考慮靜力

12、學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件,分別建立方程。24 .按應(yīng)力求解平面問題時常采用逆解法和半逆解法。25 .每個單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的另一部分是 由其他單元發(fā)生了形變而連帶弓I起的。26 .為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小 以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況；二是采用包含更高次項的位移模式，使位移 應(yīng)力的精度提高。27 .軸對稱的位移對應(yīng)的幾何形狀和受力一定是軸對稱的。28 . 一般說來，經(jīng)過簡化后的平面問題的基本方程有8個，但其不為零的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量有9個。29 .在通過同一點的所有微分面中，最大正應(yīng)力所在的平面一

13、定是主平面。30 .假如彈性體受已知體力作用，在物體的表面處，或者面力已知，或者位移已知，或者一部分上面 力已知而另一部分上位移已知，則彈性體在平衡時，體內(nèi)各點的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量是唯一 的，對后兩種情況，位移分量也是唯一的。三、判斷題1 .對下圖所示偏心受拉薄板來說，彈性力學(xué)和材料力學(xué)得到的應(yīng)力解答是相同的。（V）2 .在軸對稱問題中，應(yīng)力分量和位移分量一般都與極角中無關(guān)。（ X ）改：在軸對稱問題中，應(yīng)力與 邛無關(guān)。但一般情況下，位移分量與中有關(guān)。3 .孔邊應(yīng)力集中是由于受力面減小了一些，而應(yīng)力有所增大。（x ）改：孔邊應(yīng)力集中是由于孔附近的應(yīng)力狀態(tài)和位移狀態(tài)完全改觀所引起的。4 .位移軸

14、對稱時，其對應(yīng)的應(yīng)力分量一定也是軸對稱的；反之，應(yīng)力軸對稱時，其對應(yīng)的位移分量一定也是軸對稱的。（ V ）5 .滿足平衡微分方程又滿足應(yīng)力邊界條件的一組應(yīng)力分量必為正確解（設(shè)該問題的邊界條件 全部為應(yīng)力邊界條件）。（X ）6 .在x為常數(shù)的直線上，若u=0,則沿該線必有？x=0。（ X ）7 .平衡微分方程、應(yīng)力邊界條件、幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程既適用于各向同性體，又適用于各向異性體。（V ）8 .兩個不同彈性常數(shù)的均勻各向同性球體在力的作用下相互接觸，其接觸面為橢圓形。（V）9 .各向同性彈性體有 3個獨立的彈性常數(shù)，它們是 E （彈性模量），v （泊松比）（剪切彈 性模量）。（ X ）10

15、.連續(xù)性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。（，）11 .連續(xù)性假定是指整個物體是由同一材料組成的。（X）12 .如果某一問題中，仃2=*=丫=0,只存在平面應(yīng)力分量仃x, Oy, 1,且它們不沿Z 方向變化，僅為x, y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)力問題。（，）13 .如果某一問題中，Wz =#zx="fzy =。，只存在平面應(yīng)變分量 外,跖，Yxy ,且它們不沿z 方向變化，僅為x, y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)變問題。（，）14 .表示應(yīng)力分量與面力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。（X ）15 .表示位移分量與應(yīng)力分量之間關(guān)系的方程為物理方程。（X ）1

16、6 .當物體的形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。（，）17 .當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。（，）18 .在求解彈性力學(xué)問題時，要謹慎選擇逆解法和半逆解法，因為解的方式不同，解的結(jié)果會有所差別。（X）19 .應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的幾何意義是：物體在變形前是連續(xù)的，變形后也是連續(xù)的。（，）20 .平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程相同，但應(yīng)力協(xié)調(diào)方程不同。（，）21 .對于兩種介質(zhì)組成的彈性體，連續(xù)性假定不能滿足。（X）22 .位移變分方程等價于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的靜力邊界條件。（，）23 .求解位移變分方程時所設(shè)的位移分量不必事先滿足位移邊界條件，只

17、要滿足靜力邊界條件即可。（X）四、簡答題1 .材料各向同性的含義是什么？ “各向同性”在彈性力學(xué)物理方程中的表現(xiàn)是什么？E,切變模量答：材料的各向同性假定物體的物理性質(zhì)在各個方向上均相同。因此，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變化。在彈性力學(xué)物理方程中，由于材料的各向同性，三個彈性常數(shù)，包括彈性模量G和泊松系數(shù)（泊松比）科都不隨方向而改變（在各個方向上相同）。2 .試述彈性力學(xué)研究方法的特點，并比較材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)與彈性力學(xué)在研究內(nèi)容、方法等方面 的異同。答：彈力研究方法：在區(qū)域 V內(nèi)嚴格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，建立平衡微分 方程、幾何方程和物理方程；在邊界 s上考慮受力或約束條件，并

18、在邊界條件下求解上述方程，得 出較精確的解答。在研究內(nèi)容方面：材料力學(xué)研究桿件 （如梁、柱和軸）的拉壓、彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)和組合變形等 問題；結(jié)構(gòu)力學(xué)在材料力學(xué)基礎(chǔ)上研究桿系結(jié)構(gòu)（如 桁架、剛架等）；彈性力學(xué)研究各種形狀的彈 性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結(jié)構(gòu)等問題。在研究方法方面：理力考慮整體的平衡（只決定整體的V運動狀態(tài)）；材力考慮有限體 AV的平衡，結(jié)果是近似的；弓t力考慮微分體dV的平，結(jié)果比較精確。.4. 4. 4 方一 （T） 方 一 .、3 .常體力情況下，用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程形式為X + 2 /2 2 + T = 0，請問：相容方exex 二 ycy程的作用是什么？

19、兩種解法中，哪一種解法不需要將相容方程作為基本方程？為什么？答：（1）連續(xù)體的形變分量（和應(yīng)力分量）不是相互獨立的，它們之間必須滿足相容方程，才 能保證對應(yīng)的位移分量存在，相容方程也因此成為判斷彈性力學(xué)問題解答正確與否的依據(jù)之一。（2）對于按位移求解（位移法）和按應(yīng)力求解（應(yīng)力法）兩種方法，對彈性力學(xué)問題進行求解時 位移法求解不需要將相容方程作為基本方程。（3）（定義）按位移求解（位移法）是以位移分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應(yīng) 力分量和形變分量，導(dǎo)出只含位移分量的方程和相應(yīng)的邊界條件，并由此解出應(yīng)變分量，進而再求 出形變分量和應(yīng)力分量。4 .試簡述力學(xué)中的圣維南原理，并說明它在彈

20、性力學(xué)分析中的作用。答：圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢與 主矩相同），則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠處的應(yīng)力所受影響可以忽略不計。作用：（1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。5 .簡述按應(yīng)力求解平面問題時的逆解法。答：所謂逆解法，就是先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)；并由應(yīng)力分量與應(yīng)力函 數(shù)之間的關(guān)系求得應(yīng)力分量；然后再根據(jù)應(yīng)力邊界條件和彈性體的邊界形狀，看這些應(yīng)力分量對應(yīng) 于邊界上什么樣的面力，從而可以得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決的問題。6 .簡述彈性

21、力學(xué)的研究方法。答：在彈性體區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。即根 據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何 方程；根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程。此外，在彈性體的邊界上還要建立邊界條 件。在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上微分體的平衡條件，建立應(yīng)力邊界條件；在給定約束的邊界 上，根據(jù)邊界上的約束條件建立位移邊界條件。求解彈性力學(xué)問題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分 方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。7 .彈性力學(xué)平面問題包括哪兩類問題？分別對應(yīng)哪類彈性體？兩類平面問題各有哪些特征？答：彈

22、性力學(xué)平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類，兩類問題分別對應(yīng)的彈性體和特征分別為：平面應(yīng)力問題：所對應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應(yīng)力分量仃x,仃Exy存在，且僅為x,y的函數(shù)。平面應(yīng)變問題：所對應(yīng)的彈性體主要為長截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿z軸無變化，只有平面應(yīng)變分量,君y, yxy存在，且僅為x,y的函數(shù)。8.試簡述拉甫(Love)位移函數(shù)法、伽遼金(Galerkin )位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想，并指出各 自的適用性.Love、Galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)

23、問題的基本思想：(1)變求多個位移函數(shù)或為求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。(2)變求多個函數(shù)為求單個函數(shù)(特殊函數(shù))。適用性：Love 位移函數(shù)法適用于求解軸對稱的空間問題；Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對稱的空間問題。9.位移法求解的條件是什么？怎樣判斷一組位移分量是否為某一問題的真實位移？答：按位移法求解時，u, v必須滿足求解域內(nèi)的平衡微分方程，位移邊界條件和應(yīng)力邊界條 件。平衡微分方程、位移邊界條件和(用位移表示的)應(yīng)力邊界條件既是求解的條件，也是校核u,v是否正確的條件。10.簡述平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的區(qū)別。答：平面應(yīng)力問題是指很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有

24、平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時，體力也平行于板面并且不沿厚度變化。對應(yīng)的應(yīng)力分量只有Ox, Oy, "y。而平面應(yīng)變問題是指很長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力，同時體力也平行于橫截面并且不沿長度變化，對應(yīng)的位移分量只有U和V.1、如圖所示，考慮上端固定，下端自由的一維桿件，只受重力作用，F(xiàn)bx = 0 , Fby = Pg ( P為桿件密度，g為重力加速度)，并設(shè)泊松比然=0。試用位移法求解桿件豎向位移及應(yīng)力(提示：平面問題的平衡微分方程：絡(luò) +三x+FbxFxFy0C.(X/ C YV一 .、 , -. 一，一， .=0 , +Fby = 0 ；用

25、位移分重表示的應(yīng)力分重表達2y；x式:,.u二v、E v二u、E v . u、% = ；2(4 M) , Oy =-2 ( + 然)， =；(4) ° )1-(1exy1-(icyex2(1+©£x£y解：據(jù)題意，設(shè)位移 u =0, v =v(y),按位移進行求解將用位移分量表示的應(yīng)力分量代入平面問題的平衡微分方程，得到按位移求 解平面應(yīng)力問題的基本微分方程如下Ezc2u 1 - c2u 1 +82v -L 八2 (一22) Fbx = 01 -一x 2 cy 2 1x： y1 -：2v1 lu-2) . Fby =02 二 x 2 二x：y將相關(guān)量代入

26、式、，可見式自然滿足，而式成為可由此解出P g 2 A Cv = - y +Ay + B2E本題中，上下邊的邊界條件分別為位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件，即(v)y =0 ,巴必=0將代入，可得進而可求得v = (2ly - y2)，by = Pg(l -y) 2E2、已知受力物體內(nèi)某一點的應(yīng)力分量為：仃x=0,仃y=2MPa,仃z=1MPa, %y=1MPa,vz=0, %x =2MPa。試求經(jīng)過該點的平面 x+3y+ z = 1上的正應(yīng)力 yzzx解：由題意可知平面x+3y+z=1,其法線方向單位矢量的方向余弦為113311=, m = = , n = = ¥彳2+32+12 萬W+

27、32+125"12+32+12 小1113 11所以，該平面上的正應(yīng)力為3、圖示矩形彈性薄板，沿對角線方向作用一對拉力P ,板的幾何尺寸如圖，材料的彈性模量E、泊松比N已知。試求薄板面積的改變量AS,并判斷AS是否與薄板的形狀有關(guān)。解：設(shè)當各邊界受均布壓力q時，兩力作用點的相對位移為可。由名=卷（1N）q得設(shè)板在力P作用下的面積改變?yōu)?AS,由功的互等定理有將R代入得顯然，AS與板的形狀無關(guān)。4、圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為 d的集 中力作用，單位寬度上集中力的值為P ,設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量。（提示：取應(yīng)力函數(shù)為中=Asin 28 + B8。）解：由于d很小

28、，所以 M =Pd,可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形將應(yīng)力函數(shù) 中（r,8）代入，可求得應(yīng)力分量：邊界條件：（1） 01日衛(wèi)=0,&J6=e=0；仃61=0,= 0"r -0' r T：0r Mr r.0代入應(yīng)力分量式，有2A+B=0（2）取一半徑為r的半圓為脫離體，邊界上受有err , Erg和M = Pd由該脫離體的平衡，得將彳日代入并積分，有解得聯(lián)立式、求得：代入應(yīng)力分量式，得Bn +M =0B = -M31Pd, A =71Pd2 二2Pd sin 21二 r2J = 0，Xr6 = 2Pdsin2 -二 r25、如圖所示，一端固定，另一端彈性支承的

29、梁，其跨度為l ,抗彎剛度 EI為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為k,梁受有均勻分布載荷 q作用。試構(gòu)造多項式形式的梁撓度試函數(shù)w(x),并用最小勢能原理或Ritz法求其撓度近似解(取1項待定系數(shù))。解：梁撓度試函數(shù)可取為此時有即滿足梁的端部邊界條件。梁的總勢能為2.?。簑(x) = A1x ,有2d w2r = 2A1, w(l) = Adx代入總勢能計算式，有由6n = 0,有代入梁的撓度試函數(shù)表達式，得一次近似解為6、試寫出無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)力分量是否可能 在彈性體中存在。(1)ox=Ax+By Qy=Cx+Dy TXy =Ex+Fy(2)

30、0x=A(x2+y2)仃 y=B(x2+y2)ixy =Cxy其中,A, B, C, D, E, F 為常數(shù)。解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件:(1)(2)(3)(4)(1) 件。(2)在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程； 在區(qū)域內(nèi)的相容方程； 在邊界上的應(yīng)力邊界條件； 對于多連體的位移單值條件。二x 二 y M0此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F, D=-Eo此外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0;為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2 o上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。I C2xy2, %y =C2y3C3x2

31、y ,體力不計，Q為常237、已知應(yīng)力分量 Ox = Qxy2+Cx3, cry數(shù)。試利用平衡微分方程求系數(shù)C1, C2, C3。-： - vxyx =0解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程.x:y.y=0:y：x_2._2_2_2-Qy2 +3C1 x2 -3C2 y2 -C3x2 =03C2xy2c3xy=022_3c1 -C3 x QQ 3C2 y =03C2 2C3 xy=0'3C1 -C3 田由x, y的任意性，得Q43C2=03C2 2c3=0QQQ由此斛傳，Ci = , C2 _ , C 3 =6328、已知應(yīng)力分量 3=-q, Oy=-q, % 4 ,判斷該應(yīng)力分量是否滿

32、足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應(yīng)力分量 <ix=-q , ay=-q , 7y=0，代入平衡微分方程可知，已知應(yīng)力分量 =-q,仃丫=-q, %=0 一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計時才滿 足。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題的相容方程：將已知應(yīng)力分量<Tx=q, Qy=q, EXy=0代入上式，可知滿足相容方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題的相容方程：將已知應(yīng)力分量 Qx=-q, Oy=-q, %=0代入上式，可知滿足相容方程。9、試寫出平面問題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在。(1)%=Axy, %=By3, Ly-Dy2；(2)% =Ay2,

33、% =Bx2 y，?xy =Cxy ；(3) Wx=°, %=0, %y=Cxy；其中，A, B, C, D為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知：(1)相容。(2) 2A+2By=C；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：B=0, 2A=。(3) 0=C；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：C=0,則=0,九=0,%=0xyxy10、證明應(yīng)力函數(shù) 平巾y2能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題(體力不計，b制)l/2l/2h/2解：將應(yīng)力函數(shù) 中巾y2代入相容方程h/2可知，所給應(yīng)力函數(shù) =by2能滿足相容方程

34、。由于不計體力，對應(yīng)的應(yīng)力分量為-2，/ C。x = 2-=2b , 。y = 2- =0 , T xy = -=0:Vfx；x.y對于圖示的矩形板和坐標系，當板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，根據(jù)邊界條件，上下左右四個邊上的面力分 別為：h上邊，y= 5 1=0, m=1 , fx=Gxy) h =0 , fy = 9y) h =0 ；2yye222下邊,f y =(。y) y_h =0 ；hy =r , l =0 ,m =1 , f x =( xy ) h =0，2y %左邊,lx= , l=1, m=0, fx=(a) l2x，=-2b, fy=-Gxy)l=0；x="2， l右邊，X=,

35、l 1 , m=0 , fx =(。x) l =2b , f y =(%) l =0 x -x -22u可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應(yīng)力函數(shù) byGy U =-q，(% )yj = 0，229y (上=0 , (% )y=q1。 2在次要邊界x=0上應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊 界條件能解決矩形板在 x方向受均布拉力(b>0)和均布壓力(b<0)的問題11、在物體內(nèi)的任一點取一六面體，x、y、z方向的尺寸分別為 dx、dy、dz。試依據(jù)下圖證明：:y- zy- xy-+y- +-+Y =0。.:y；zFx證明：£ Fy

36、=0：化簡并整理上式，得：二 y-zy：xy ._xL Y = 0.:y；z ：:x12、試列出下圖問題的邊界條件。在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。q由h參考答案：在王要邊界 y = ±匚上，應(yīng)精確滿足下列邊界條2件：hJ2h9x 130 dx = Fn ,22.hJ2h9x koydx = -M , 一2h2h xy Xz0dXu_Fs"2一在次要邊界x = l列出位移邊界條件,也可應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件'hi ；，x xydx - - M - FSl-22hJ2h3 x主dx = q1l +Fn ,22.h2h xy

37、x4dx = -ql -Fs-213、已知如圖所示的墻，高度為h,寬度為b, h»b,在兩側(cè)面上受到均布剪力q作用，不計體力,試用應(yīng)力函數(shù) 中=Axy - Bx2y求解應(yīng)力分量參考答案:(1)將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程其中過=0,一 x六：，_0-22 - 0，x y二4：.：，-=04y滿足相容方程。(2)(3)應(yīng)力分量表達式為考查邊界條件在主要邊界x二2巒-=6Bxy，丁刈 :x1中2=-A-3Bx2:x：yb=±上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件:2(°x)x=；bb =0，(%y)xd = q在次要邊界y=0上，9yL=0能滿足，但(%* ) q = 0的條件不y 士

38、能精確滿足，應(yīng)用圣維南原理列出積分的應(yīng)力邊界條件代替 將應(yīng)力分量代入邊界條件，得A =, B =罵2 b應(yīng)力分量=0, %_12qb2xy, %qx1 -1202b14、已知薄板有下列形變關(guān)系:%=Axy, %=By3, %y =C Dy2,式中，A, B, C, D 皆為常數(shù)，試檢查在形變過程中是否符合連續(xù)條件，若滿足并列出應(yīng)力分量表達式。解：（1）相容條件：將形變分量代入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）:X 二；y二 xy22 1.:y:xtxy其中，%=0,g=0,三=0。；:y ；x；x .y所以滿足相容方程，符合連續(xù)性條件。（2）在平面應(yīng)力問題中，用形變分量表示的應(yīng)力分量為EE3B-y)=&

39、quot;Axy+NBy)'E.E .3一於仿y+)=-yWAxy + By ), 1 - 1-1 - -1-%y =G4y=G(CDy2 )(3)平衡微分方程其中，爰=,<=冷（物心）,x xyj =-2GDy。:y若滿足平衡微分方程，必須有0 1 21 o-y 1 ,已知在經(jīng)過該點的某一平面上應(yīng)力矢量為零，求2 1 01仃 x Txy "xz15、一點應(yīng)力張量為Tvx CTTyxy yz尸 zxzy 二 z及該平面的單位法向矢量。X =0xl + Txym+xzn解：一點的應(yīng)力張量與該點的任意斜面上各應(yīng)力分量的關(guān)系為:Y fl +5 + 3及 z =41+5+512

40、22.1 m n =1m 2n = 0故有：1 二 ym n = 021m =0解得：m - -2n , 1 =n , 2(；=y -1)n =0由此得：cry =1, v =le1+me2+ne3 = 士，： 1 2-6e316、圖中楔形體兩側(cè)受均布水平壓力q作用，求其應(yīng)力分量(體力為零)。提示:設(shè)應(yīng)力函數(shù)為:X將應(yīng)力分量代入邊界條件，可解得:所以應(yīng)力分量解答為： :-.2. 一平=r (AcosH + B)。解：極坐標下的應(yīng)力分量為:r ；:rF2：.:r2=Acosu 2B=2(Acosu B)F,1 F :、 A rr = - - () = Asin,一 ：r r rJ- - -qco

41、s：力邊界條件為：二'_二阡qsin ;1 1A - -q, B = - q cos二2r =q(cos.3 cos?)d = q(cos;.； -2cos1)- -qsin ?17、如圖所示的懸臂梁結(jié)構(gòu)，在自由端作用集中力P,不計體力，彈性模量為E,泊松比為心，應(yīng)力函數(shù)可取邛=Axy3 +Bxy +Cy2 + Dy3,試求應(yīng)力分量。0(a)解：由題可知，體力 X=0, 力問題。Y=0,且為彈性力學(xué)平面應(yīng)本題所設(shè)應(yīng)力函數(shù)滿足雙調(diào)和方程:應(yīng)力分量為:J2_ - 2二 y- Xx = 6Axy 2C 6DyCTy-Yy = 0xy二x- y(b)用應(yīng)力邊界條件求待定常數(shù)A、B、C、D應(yīng)力邊

42、界條件，在上、下表面 y = +2a處,必須精確滿足:(、-y)y=2a 一0,( xy ) y = 2 a - 0(c)則有：_b -12Aa2 =0(d)X=0的左邊界為次要邊界，利用圣維南原理則有:X方向力的等效:2a一,(,晨血= -PS.: 2a對0點的力矩等效:2a.2(-x)xydy = Pasin :.2 aY方向力的等效:2a一2a( xykdy = -P 8s : .2a8Ca - -Psin :將式(b)代入上式得：32Da3 = Pasin P(e)聯(lián)立式(d)和式(e),解得:應(yīng)力分量為：；二-4Ba-16Aa33Pcos :,c 3P -B =cos ,8aP .C

43、 = sin :,8ax 二一而 MOS4asin 一：(1 -3y),二 y =0,.4a 'D 32a3P2 sin -xy=cos8a小-1)18、如圖所示的半無限平面，證明應(yīng)力1.Bsin212A A Ae 1 Bsin 20 i為本問題的解答。2之r1-Asin2 1證明:代入得：2-2 j(2Ae)= 0滿足。b.滿足平衡方程將應(yīng)力代入平衡方程得：a.滿足相容方程A. 2A c .-(1 -Bcos26 )sin2 6 =0滿足。rrc.滿足邊界條件將應(yīng)力代入得：11 .1A q 八A nsin2n i = q= A =一又滿足。<2)元故其為本問題解答。19、圖所示

44、懸臂梁，截面抗彎剛度 EI,梁長L,豎向彈簧剛度 k,懸臂端受集中荷載 F作用。試用瑞雷- 李茲法求解懸臂端撓度和固定端彎矩。提示：梁的撓度函數(shù)可選為：B；cos 叫< 2l J解：總勢能為：對總勢能求駐值得：回代并令即得懸臂梁撓度函數(shù)令x =1 ,則有懸臂端撓度為: 梁彎矩為：令x =1 ,則有固定端彎矩為:20、如圖所示，懸臂梁上部受線性分布荷載，梁的厚度為1。利用材料力學(xué)知識寫出。 石 表達式;x xy利用平面問題的平衡彳分方程導(dǎo)出ffy, Txy表達式解答：橫截面彎矩：M Z3qx,橫截面正應(yīng)力6lMZy 2qJZ1h3代入平衡微分方程的第一式得:xyx= -dy二 x63x2y

45、dy 得x2y2fx=0 ,f (x )=3q4lh2 一.x ,那么TXy二魯 X2 4y2-h2將7y代入平衡方程的第二式得:二 xy= -dy二 xA4y3.3h2yX gx21、單位厚度的楔形體，材料比重為邊界條件。參考答案:左側(cè)面:右側(cè)面,那么cry21h34y3 -3h2y h3 x001,楔形體左側(cè)作用比重為的液體，如圖所示。試寫出楔形體的1 二 -cos =，m = -sin =，y = -xcot 二1 = cos :, m = -sin :, y = xcot :Oy y這的y即22、如圖所示的矩形截面的長堅柱，密度為 側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點和受

46、力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設(shè)仃x=0。由此可知將上式對y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達式 將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得 是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解（全柱內(nèi)值都應(yīng)該滿足它），可見它的系數(shù)和自由項都應(yīng)該等于零,這兩個方程要求4 -d fi(x)dx4=0 ，4 -d f2(x)dx4=032fi (x) =Ax +Bx +Cx+I ,_3_ 2f2(x) = Dx Ex Jx K代入應(yīng)力函數(shù)表達式，并略去對應(yīng)力分量無影響的一次項和常數(shù)項后，便得2： c;、對應(yīng)應(yīng)力分量為二x=r=0-y =y(6Ax 2B) 6Dx 2E ：gy；y：:x以上常數(shù)可以根據(jù)邊

47、界條件確定。左邊，x=0, l =-1 , m=0 ,沿y方向無面力，所以有右邊，x=b, IT, m=0,沿y方向的面力為q,所以有上邊，y=0, l=0, m=-1,沒有水平面力，這就要求 飛 在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均b為零，即 0( xy)y：0dx=0將7y的表達式代入，并考慮到C=0,則有(3Ax22Bx)dx=Ax3Bx2 b=Ab3 Bb2=0b而g(Txy)y3 0dx=0自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求Dy在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即bbJ0 (仃 y) y=0 dx=0 ,10 g y V =0 xdx=。將0 y的表達式代入，則

48、有由此可得 A =-2 , B = , C=0 , D=0 , E=0 b b應(yīng)力分量為<!x=0,<r=2qG-3- Pgy , T=q-f3-2y b< b)xy bib )雖然上述結(jié)果并不嚴格滿足上端面處(y=0)的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。23、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為fx=-一匕，x exV二 2二 2f y =一,，其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為，x= 2-+V , byUTTy+V,y：:yt xa： 一T.=,試導(dǎo)出相應(yīng)的相谷方程。xy:x y,Exy應(yīng)當滿足平衡

49、微證明：在體力為有勢力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時，應(yīng)力分量 分方程還應(yīng)滿足相容方程.2二 x 二 y - - 1 J y2 二-x '二 y =y至、（對于平面應(yīng)力問題）（對于平面應(yīng)變問題）并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件。對于多連體，有時還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為這是一個齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個方程改寫為根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)a (x, y),使得A一 yx =；x同樣，將第二個方程改寫為:二y -V- y二 yrx C /- - yx:x可見也一定存在某一函數(shù) B （x, y）,使得仃y-V=£BFx；:B一

50、yx =：:y二 A二 B由此得出因而又一定存在某一函數(shù)平（x,y）,使得；:x ；:yA=一 y,B=；:x代入以上各式，得應(yīng)力分量V T xy -；x. y為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)邛（x,y泌須滿足一定的方程，將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問題的相容方程，得 簡寫為4審二（J）' 2V將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問題的相容方程，得,12cP ,試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解。簡寫為4 = 一1 2V 1一24、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為二ax3 bx2 y cxy2 dy3O相應(yīng)的應(yīng)力分量表達式為2- -xfx =2cx 6dy, :yg: 2 .:y=2-yfy=6ax 2by-.； gy, :x這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方吟的。現(xiàn)在來考察 力邊界條件。,如果適當選擇各*數(shù)，是否能滿足應(yīng)xy:x :y=-2bx-2cy上邊，y=0, l=0, m=1,沒有水平面力，所以有（%y）ya=2bx=0對上端面的任意 x值都