計(jì)算方法習(xí)題

1、計(jì)算方法練習(xí)題一練習(xí)題第1套參考答案一、填空題1 . n =3.14159-的近似值3.1428,準(zhǔn)確數(shù)位是(10立)。2 .滿足 f(a)=c,f(b)=d 的插值余項(xiàng) R(x)= ( H(x-a)(x-b) )。2!23 .設(shè)Pk(x)為勒讓德多項(xiàng)式，則(P2(x), P2(x)=2)。54 .乘募法是求實(shí)方陣(按模最大)特征值與特征向量的迭代法。5 .歐拉法的絕對(duì)穩(wěn)定實(shí)區(qū)間是(-2,0)。二、單選題1 .已知近似數(shù)a,b,的誤差限a),鼠b),則武ab) = (C )。A.名 可b) B. w(a)+w(b) C. aja) + b(b) D. a&(b) +|b ®(

2、a) 2.設(shè) f (x) =x2 +x,貝(J f1,2,3 = ( A )。A.lB.2C.3D.4、3 1_3.設(shè)人=I ,則化A為對(duì)角陣的平面旋轉(zhuǎn) 日=(C ).自 3 一A.B.C.D.23464 .若雙點(diǎn)弦法收斂，則雙點(diǎn)弦法具有(B )斂速.A .線性 B .超線性 C .平方 D .三次5 .改進(jìn)歐拉法的局部截?cái)嗾`差階是( C ).A. o(h) B. o(h2) C. o(h3) D. o(h4)三、計(jì)算題x1 x2 = 31 .求矛盾方程組：Jx1 +2x2 =4的最小二乘解x1 一 x2 2222平(xi,x2)=(x +x2 -3) +(x +2x2 -4) +(x1 -

3、x2 2),由h=0,0=0得:Fxi23x1 +2x2 =92x1 +6x2 =9解得 xi = , x2 = O 7142 .用n =4的復(fù)化梯形公式計(jì)算積分2dx18881.cc-定1 + + + +-定 0.697 ,1 x85672R(x) <m212 16963.用列主元消元法解方程組:2x1 5x2 3x3 = 6« 2x1 + 4x2 +3x3 = 5。4x1 +6x2+2x3 =4回代得：x=(-1,1,1)T4 .用雅可比迭代法解方程組：（求出x） 因?yàn)锳為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，所以雅可比法收斂。，x嚴(yán)(1+x2m)4雅可比迭代公式為：Jx2mHl =-(3 +

4、x1(m)+x3m),m = 0,1,- o4x3m*)=1(1 + x2m)4取 x(0) =(1,1,1)T 計(jì)算得：x(1) =(0.5,1.25,0.5)、5 .用切線法求x3 -4x+1 =0最小正根(求出x1)。在0,0.5上，. 因 為 f(0) =1 >0, f (0.5) =0.8 7 50 , 所 以 x*w 0,0.5,f r(x) =3x2 -4 < 0, f "(x) =6x 至 0。由 f (x0) f "(x)之 0 ,選 x0 = 0 ,由迭代公式:計(jì)算得：x1 = 0.25。四、證明題1 .證明：若f”(x)存在，則線性插值余項(xiàng)

5、為：f (),、，、R(x) =(x-x0)(x -Xi),X0 < t <Xi。2!2 .對(duì)初值問題：J = -10y,當(dāng)0<hw0.2時(shí)，歐拉法絕對(duì)穩(wěn)定。 y(0) =11 .設(shè)R(x)= k(x)(xx0)(xxi工 g=f 一 Li 一k(x)(t -x0)(t -xj,有x0,x1,x為三個(gè)零點(diǎn)。應(yīng)用羅爾定理，g "(t)至少有一個(gè)零點(diǎn)之，f ()g () = f (與-2! k( x) =0,k(x)2 .由歐拉法公式得：yn - y二i - ohnlyc - 0 o當(dāng)0 <h E0.2時(shí)，則有yn -n| - y0 -70 °歐拉法絕對(duì)

6、穩(wěn)定。練習(xí)題第2套參考答案 一、填空題1 . e = 2.7i828一具有3位有效數(shù)字的近似值是(1Mi0“，)22 .用辛卜生公式計(jì)算積分生之(廣，)。0i x i x x3 .設(shè)心 Ka；*第k列主元為aP)，則aP)=(x2=i,)5 i4 .已知aJ 2，則網(wǎng)產(chǎn)(i(m i)b3 - a3i xi- a32xa33(m _(m)2 一 a34x45.已知迭代法：x04i =%xn),(n=0,i，)收斂，則？'(x)滿足條件(f (x0) A 0)二、單選題1.近似數(shù)a =0.47820父10 x 8 2 9 10 11 3的誤差限是(C )。1 5141312A.父10 3B

7、.父104C.父10，D.父10/2 2222 .矩陣A滿足(.D )，則存在三角分解A=LRA detA#0 B.det Ak # 0(1 w k < n) C. detA> 0D. detA<03 x 已知 x =(-1,3,-5)T ,則 M =( B )。A. 9B.5C. - 3D. 54 .已知切線法收斂，則它法具有(.A )斂速.B.超線性C.平方D.三次5.設(shè)Pk(x)為勒讓德多項(xiàng)式,(P3(x), P5(x) =(B)。D.11三、計(jì)算題1 .已知f(x)數(shù)表:利用反插值法得012204求拋物插值多項(xiàng)式，并求f (0.5)近似值。2 .已知數(shù)表:求最小一乘一

8、次式。012由方程組：13.24.84ao 6a = 48 6a014a =102* .a0 =3,a1 =6 ,所以 g1 (x) =3 +6x。3 .已知求積公式:111.Qf(x)dx 定 A/(p+Af(0) + A2f(2)。求 AoAA,使其具有盡可能高代數(shù)精度，并指出代數(shù)精度。dx1 . 1 8 8 8 1.定一一十一 十 十一十一& 0.4062,|R(f)|MM212 1617680.00132一4A .用乘募法求A = 1-°1 03 1的按模最大特征值與特征向量1 4因?yàn)樗?、2 '.2 T1 =4,X1 =(， ,0)222 =3,X2 K0

9、,1,0)T_ 0 X _(2 22 T3 - 2,X3 -(-, ,0)225 .用予估一校正法求初值問題:y =2X y在 x=0(0.2)0.4 處的解 y(0) = 1應(yīng)用歐拉法計(jì)算公式：yn書=0.2Xn +1.1yn , n=0,1, y0=1計(jì)算得 y1 =1.1, y2 =1.23 。四、證明題1 .設(shè)P(A)是實(shí)方陣A的譜半徑，證明：P(A) <|A。1 因?yàn)?A=(A-B)+B, |A|A-B|+|B| ,所以 |ahb®a-b|,又因?yàn)?B=(B-A)+A,B| .|B-A| A所以 B - A| |B-A = A-B0,1:。2 .證明：計(jì)算$a(a&g

10、t;0)的單點(diǎn)弦法迭代公式為：Xn¥=*a, n = c Xn因?yàn)橛?jì)算VO*等價(jià)求x5-a=0的實(shí)根，將f (x) =x5 -a, f '(x) =5x4代入切線法迭代公式得：5Xn a1a、Xn 1 =4=-(4Xn ),0 =0,1,.。5Xn5Xn計(jì)算方法練習(xí)題二練習(xí)題第3套參考答案一、填空題1 .近似數(shù)a =0.63500 M103的誤差限是(10立)。2 .設(shè)|x|>>1,則變形 了TX b=(P(G)<1,),計(jì)算更準(zhǔn)確。3 .用列主元消元法解：x1+2x2= 1 0 經(jīng)消元后的第二個(gè)方程是 2x1 2x2 =4a，一、 、(xn 書xn 4xn

11、(n = 1,2,),)。4 .用高斯一賽德爾迭代法解4階方程組，則x3m) = ( 1.2,)。5 .已知在有根區(qū)間a,b上,f '(x), f ''(x)連續(xù)且大于零，則取入滿足(f (% +n，yn+次)，則切線法收斂。二、選擇題1 .已知近似數(shù)a的,(a)=10/0 ,則與(a3)= ( c )。A. 10/0 B.20/0 C. 30/0 D. 40/02 .設(shè)Tk(X)為切比雪夫多項(xiàng)式，則(T2(X).T2(X) = (b )。A.0 B -. C. - D. 二3 . XA/6 4.用雅可比法求A= 1 3 0的全部特征值與特征向量 直接作三角分解，則 吱

12、=(d )。 3 6A. 5 B. 4C.3 D. 24 .已知A=D-L-U,則雅可比迭代矩陣 B=( c )。A. D 4(L U ) B. D(L-U)C. (D-L)U D. (D-U)L5 .設(shè)雙點(diǎn)弦法收斂，則它具有( a )斂速。A.線性 B. 超線性 C. 平方 D. 三次 三、計(jì)算題X0123y2.89.215.220.8求最2 .中(x, y) =(x + y -4)2 +(x y -3)2 +(2x y -6)2小二乘一次式。由=0, = 0;xFy1 .已知f (x)數(shù)表2.已知數(shù)表2的根。得產(chǎn)-2y =19,解得：x=4742x-3y=51473.用n=4的復(fù)化辛卜生公

13、式計(jì)算積分dx2 x并估計(jì)誤差。一 ,113.由 一w 父10'解得 n'3,取 n=3, 48n2 2復(fù)化梯形公式計(jì)算得：1巫：11 6 60 2 x 6 2 7 8 3-:0.40674.120-12 1101 0 '.0回代得:X =(-1,1,15.用歐拉法求初值問題y' = 2x y ,<y 丫在 x=0(0.1)0.2 處的解。.y(0)=15.因?yàn)閍33ji/1=2同2 =1,一7所以，i =3,xi =(避,0,二)T22四、證明題1 .證明:|A| -|B| <|A-B| 02 .證明：計(jì)算5/a的切線法迭代公式為：Xn+=1(4X

14、n+W),n=0,1,. 5xn1 n2 n1 設(shè)區(qū)=Xp ,則有£ X2 < Xp| <z x2， n yy所以有1 X2，XJX2一 n2 .因?yàn)榈瘮?shù)是 中(x)=xaf(X)W'(X)=1af'(X),2 _當(dāng) 0 <ct < 時(shí)貝(J有-1 <1 -a f '(x) <1 ,即 mi|1 -sf'(x)|=|9'(x)|<1 ,所以迭代法收斂。練習(xí)題第4套參考答案一、填空題1 .已知誤差限 w(a),名(b),則名(ab) = (|b| 儀a)+1 a | 儀b),)。2 .用辛卜生公式計(jì)算

15、積分f色也( 也，)。02 x 1803 .若A = AT。用改進(jìn)平方根法解 Ax=b，則鼠=(%，)。%4 .當(dāng)系數(shù)陣 人是(嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu))矩陣時(shí)，則雅可比法與高斯一賽德爾法都收斂。1(k 七)''-25 .若 = - ,且九1A九i|(i23),則用乘募法計(jì)算 九 1ft ( . i (k)。I Xi J二、單選題1 . jE =1.41424，則近似值10的精確數(shù)位是(a )。7A. 10 - B. 10- C. 10- D. 10-2 .若0Km 則有22= ( b )。2 4 1 _l21 1 1 _0 r22 .A. 2 B. 3C.4 D. 0_4 13 .右A=

16、,則化A為對(duì)角陣的平面旋轉(zhuǎn)角日=(c )。11 41A，B. 1 C. ： D. 14 .若切線法收斂，則它具有(b )斂速。A.三次 B. 平方 C. 超線性 D. 線性5 .改進(jìn)歐拉法的絕對(duì)穩(wěn)定實(shí)區(qū)間是( d )。A.-3 , 0 B. -2.78 , 0 C. 2.51 , 0 D.0三、計(jì)算題1 .已知函數(shù)表X12Y-10Y，02求埃爾米特差值多項(xiàng)式 H(x)及其余項(xiàng)。_ 2_2_2_H(x) =(1 2(x-1)(x-2)(-1) (x-2)(x-1)2=x -2xf")22NX):丁(x-1)(x-2)，(12)2 .求f(x) =x3在-1 , 1上的最佳平方逼近一次式

17、。* . .*.*113*3142 .設(shè) g1(x) =a0p0(x) +a1 R(x),則 a0 =一x dx = 0,a1 =- x x dx2 y2 y所以 g1*(x) =-x o5A, B,使其具有盡可能高代數(shù)精度,一八 r、1、卜、3 .求積公式：'f (x)dx 定 Af (0) + Bf (x1),試求并指出代數(shù)精度。3.設(shè)求積公式對(duì)f (x) =1,x, x2 精確得:A B =1Bx1 =-,解得:2Bx12 132 c 3 八 1x1 = 一 ,B = ,A = o344所以求積公式為:1132j0f(x)dx、f(0)+/(4), 443再設(shè)f (x) =x3 ,則左1 # 2二右。此公式具有3次代數(shù)精度。4.用雙點(diǎn)弦法求x34 9-5x +2 =0的最小正根(求出x2)。4. 因?yàn)?f(0) =2 >0, f(0.5) =0.375 <0,故 x* w 0,0.5，在0 , 0.5上,mi =min f (x) =4.25, M2 =m ax"(x) =3,M23KR 2 0.5 =:二2ml191 ,應(yīng)用雙點(diǎn)弦法迭代公式: %書=2 -3 (xn-xn)(x315xn+2)_,n=1,2,計(jì)算得：x2 定 0.421。(x3 -5xn 2)-(仁-542)5.用歐拉法求初值問題：卜=x -y.y(0) =1在x=0(0.1