二次函數(shù)動點及最值問題

1、一、二次函數(shù)中的最值問題：例1:在平面直角坐標系中，全等的兩個三角形 Rt，AO* Rt A OC如圖放置，點B、C 的坐 標分別為(1, 3), (0, 1), BO與A'C相交于D,若，A' OC繞點。旋轉(zhuǎn)90°至/AOQ如圖所示(1)若拋物線過C、A、A',求此拋物線的解析式及對稱軸；y=-x2+2x+3(2)、若點P是第一象限內(nèi)拋物線線上的一動點，問 P在何處時 AP A'的面積最大？最大面積是 多少？并求出此時的點P的坐標。xOy中，四邊形 ABCD菱形，頂點 A. C. D均在坐標軸上，且請求出此時點P的坐標，若不存在，請說明理由(3)、設(shè)

2、拋物線的頂點為N,在拋物線上是否存在點P,使 AAN與 A'AP的面積相等？，若存在,例2、(2012攀枝花)如圖，在平面直角坐標系“C L -4AB=5, sinB=.5(1)求過A. C. D三點的拋物線的解析式;(2)記直線AB的解析式為y產(chǎn)mx+n, (1)中拋物線的解析式為 y2=ax2+bx+c,求當yvy2時，自變量x的取值范 圍；(3)設(shè)直線AB與(1)中拋物線的另一個交點為E, P點為拋物線上 A. E兩點之間的一個動點，當P點在何處時， PAE的面積最大？并求出面積的最大值. . AB=AD=CD=BC=5sinB=sinD=5RtAOCD, OC=CDsinD=4

3、 , OD=3OA=AD- OD=2 即：A (-2, 0)、B(- 5, 4)、C (0, 4)、D (3, 0);設(shè)拋物線的解析式為：y=a (x+2) (x-3),得：八，川22X( - 3) a=4, a=-;，拋物線：y= - Zx2+Zx+4 .3 3(2)由 A ( 2, 0)、B ( 5, 4)得直線 AB: yi=-x-;332由(1)得：y2= - -x +x+4,則:3 3由圖可知：當yiy2時，-2vxv5.(3)S/ApE=-AE?h2當P到直線AB的距離最遠時， S/ ABC最大；P;若設(shè)直線L/AB,則直線L與拋物線有且只有一個交點時，該交點為點設(shè)直線L： y=

4、- x+b,當直線L與拋物線有且只有一個交點時，3二.：2：1.一x+b=x +-x+4, 且 =0;33 3求得：b=Al,即直線 L： y=-Wx+_H;23 2可得點P (J,工).2 2由(2)得：E 55,-罵,則直線PE: y= - Hx+9;新課標第一網(wǎng)33貝U點 F (里，0), AF=OA+O漫；11 11.PAE的最大值：S/xpae=SJapaf+Saaef=XX (2?+1)=32 113212晅121、(2013宜賓)如圖，拋物線 拋物線y2,兩條拋物線相交于點yi=x2- 1交x軸的正半軸于點 A交y軸于點B,將此拋物線向右平移4個單位得C.(1)請直接寫出拋物線

5、y2的解析式；(2)若點P是x軸上一動點，且滿足/ CPA=Z OBA求出所有滿足條件的 P點坐標；(3)在第四象限內(nèi)拋物線 y2上，是否存在點 Q,使得4QO彷OC邊上白高h有最大值？若存在，請求出點Q的坐標及h的最大值；若不存在，請說明理由.解答：解：(1)拋物線y1=x2- 1向右平移4個單位的頂點坐標為(4, - 1), 所以，拋物線y2的解析式為y2= (x-4) 2- 1；(2) x=0 時，y= - 1,y=0 時，x2- 1=0,解得 x1=1, x2= - 1,所以，點 A (1, 0) , B (0, - 1),/ OBA=45,解得-1y-(X - 4) 2 - 1fX=

6、21尸3 點C的坐標為（2, 3）, / CPA土 OBA 點P在點A的左邊時，坐標為（- 在點A的右邊時，坐標為（5, 0）, 所以，點P的坐標為（-1, 0）或（ （3）存在.;點 C （2, 3）,1, 0),5, 0)；,直線OC的解析式為y=Sx,設(shè)與OC平行的直線2a .y=Jx+b,2y= (x- 4)2-1 QO計 OC邊上白高h有最大值,消掉 y 得，2x2- 19x+30- 2b=0,當4=0,方程有兩個相等的實數(shù)根時,此時 Xi=X2=x (-此時 y= (- - 4)4，存在第四象限的點=324-1 =-工, 16Q(一42此時=194X2 X (302b) =0,解得

7、b=一絲!16工），使得QOM OC邊上白高h有最大值,16,一一，R 191過點Q與OC平行的直線解析式為 y=2x-/216令y=0,貝U -x 一空乙0,解得216設(shè)直線與x軸的交點為E,則E （, 0）,24過點C作CD! x軸于D,根據(jù)勾月定理，OC=/再=/,則 sin / COD=L=_jL,0E 713的/曰 h _ 3 121.121V13斛個于h最大=上* -V13241042、如圖，拋物線23y=ax 3x2（a # 0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為4,0 .(1)求拋物線的解析式；(2)試探究AABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標;(3

8、)若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求 AMBC的面積的最大值，,并類型一、最值問題:類型一、最值問題：(2013?瀘州)如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為(-2,0),點B的坐標為(1,-夷)，已知拋物線y=ax2+bx+c(a加)經(jīng)過三點A B O (O為原點).(1)求拋物線的解析式；(2)在該拋物線的對稱軸上，是否存在點C,使BOC勺周長最??？若存在，求出點 C的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如果點P是該拋物線上x軸上方的一個動點，那么4PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及4PAB 的最大面積；若沒有，請說明理由.(注意：本題中的結(jié)果均保留根號)考點：二次函數(shù)綜合題.

9、分析：(1)直接將A、Q B三點坐標代入拋物線解析式的一般式，可求解析式；(2)因為點A, O關(guān)于對稱軸對稱，連接 AB交對稱軸于C點，C點即為所求，求直線 AB的解析式，再根 據(jù)C點的橫坐標值，求縱坐標；(3)設(shè)P (x, y) (- 2Vxv 0, yv 0),用割補法可表示 4PAB的面積，根據(jù)面積表達式再求取最大值時， x的值.解答： 解：(1)將 A (-2, 0), B (1,-灰)，O (0, 0)三點的坐標代入 y=ax2+bx+c (a 加)，2b+c=0可得：f _Vsa" 3b 二 一 的 3,CO故所求拋物線解析式為y= -x23(2)存在.理由如下：如答圖所

10、示，: y= - 2jjx2 - Rx= -(x+1)，拋物線的對稱軸為點C在對稱軸x=-1 上，BOC勺周長=OB+BC+CO.OB=2,要使BOC勺周長最小，必須 點。與點A關(guān)于直線x=- 1對稱，有 BOC勺周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA 當A C、B三點共線，即點C為直線 小.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+t ,則有：BC+CCft 小,CO=CAAB與拋物線對稱軸的交點時，BC+CAt小，此時BOC勺周長最 2k+t=0. /口，解得：，V3直線AB的解析式為y=當 x= 1 時，y= -,3所求點C的坐標為(-1,(3)設(shè) P (x, y) (- 2vxv 0, y<

11、;0),則y=-亞x2-1x a如答圖 所示，過點P作PQL y軸于點Q, PGLx軸于點 G過點A作AH PQ軸于點F,過點B作B已PQ軸于點 E,則 PQ=- x, PG=- y,由題意可得： S/xPA=S 梯形 AFEB S/x AFP S/ BEP(AF+BE ?FE-工AF?FP-PE?BE222T (1 - x) (6+y) 2=-i (y+V+y) (1+2) - -y? (2+x)22X+如將代入得：S八 PA= (x=-0（x+l） 2+2228當x=-時，4PAB的面積最大，最大值為 "向,28此時y= 1*1+ 2立=!,3 4 3 2 4.點P的坐標為（-1

12、, 烏2 4智圖答圖類型二、探索三角形的存在性。例1、（2013?綿陽）如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象的頂點 C的坐標為（0, -2）,交x軸于A B兩點，其中 A （ - 1, 0）,直線 l : x=m （m> 1）與 x 軸交于 D.（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標；（2）在直線l上找點P （P在第一象限），使得以P、D B為頂點的三角形與以 B、C。為頂點的三角形相似， 求點P的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點Q使BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，請求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.考點：

13、二次函數(shù)綜合題分析：(1)由于拋物線的頂點 C的坐標為(0, -2),所以拋物線的對稱軸為 y軸，且與y軸交點的縱坐標為-2,即b=0, c=- 2,再將A( - 1, 0)代入y=ax2+bx+c,求出a的值，由此確定該拋物線的解析式，然后令y=0,解一元二次方程求出 x的值即可得到點B的坐標；(2)設(shè)P點坐標為(m, n).由于/ PDB=Z BOC=90,則D與O對應，所以當以 P、D、B為頂點的三角形與以B、C、。為頂點的三角形相似時，分兩種情況討論：4OC歆 DBF4OC歆 DPB根據(jù)相似三角形對應邊成比例，得出 n與m的關(guān)系式，進而可得到點 P的坐標；(3)假設(shè)在拋物線上存在第一象

14、限內(nèi)的點CK x,2x2-2),使ABPO是以P為直角頂點的等腰直角三角形.過點Q作Qa l于點E.利用AAS易證ADB EPQ得出BD=PEDP=EQ再分兩種情況討論：P( m,q二2 )；2P (m, 2 (m- 1).都根據(jù)BD=PE DP=EM出方程組，求出 x與m的值，再結(jié)合條件 x>0且m> 1即 可判斷不存在第一象限內(nèi)的點Q,使BPa是以P為直角頂點的等腰直角三角形.解答： 解：(1) ,拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為C (0, -2), b=0, c= - 2;y=ax2+bx+c 過點 A ( - 1, 0),.-0=a+0-2, a=2,拋物線的解析式為

15、 y=2x2- 2.當 y=0 時，2x2-2=0,解得x= 土 , .點B的坐標為(1,0);(2)設(shè) P (m, n). / PDB=/ BOC=90,當以P、D、B為頂點的三角形與以 B C、。為頂點的三角形相似時，分兩種情況：Qg 0c若4OC歆4DBP則=,即=, n m- 1解得n=E二工.2由對稱性可知，在 x軸上方和下方均有一點滿足條件，此時點 P坐標為(m, m J)或(明J)；若4OC中 DPEB則號=1，Dd DP即L=2, ni- 1 n解得 n=2m- 2.由對稱性可知，在 x軸上方和下方均有一點滿足條件， ，此時點 P坐標為（m, 2m- 2）或（m, 2 - 2n

16、rj）.綜上所述，滿足條件的點 P的坐標為：（m,四二?。?，（m-E), ( m 2m- 2)或(m, 2 - 2mm .2（3）假設(shè)在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點 如圖，過點Q作QEL l于點E. / DBP吆 BPD=90, / QPE吆 BPD=90, / DBP4 QPE在4DBP與 EPQ中，（/BDP 二/PEQ = 90”Q（x, 2x2-2）,使ABPO是以P為直角頂點的等腰直角三角形. ZDBP=ZEPtJ 用二PQ . DBP EPQBD=PE DP=EQ 分兩種情況： 當P (m 坨1)- b (1, 0), d (m時,0) , E (m, 2x2 - 2),m 1=2

17、xI二解得工戶式2-2押2=0（均不合題意舍去）當p (m 2(m 1)時, B (1, 0) , D (m 0) , E (m, 2x2 2),-2 - 2 (in- 1)5町二1P 二 1x22解得（均不合題意舍去）；綜上所述，不存在滿足條件的點 Q.類型三(2013?巴中)如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為 O A點坐標為(4, 0), B點坐標為(-1, 0),以AB 的中點P為圓心，AB為直徑作。P的正半軸交于點 C.(1)求經(jīng)過 A B、C三點的拋物線所對應的函數(shù)解析式；(2)設(shè)M為(1)中拋物線的頂點，求直線 MC對應的函數(shù)解析式；(3)試說明直線 MCW。P的位置關(guān)系，并證明

18、你的結(jié)論. M考點：二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切線的判定.專題：計算題.分析：(1)求出半徑，根據(jù)勾股定理求出C的坐標，設(shè)經(jīng)過 A B、C三點拋物線解析式是 y=a (x-4) (x+1),把C (0, 2)代入求出a即可；(2)求出M的坐標，設(shè)直線 MC寸應函數(shù)表達式是 y=kx+b,把C (0, 2), M(，/)代入得到方程組，2 S求出方程組的解即可；PC DC PD的平方，根據(jù)勾股定理的逆定理得出/PCD=90,即(3)根據(jù)點的坐標和勾股定理分別求出 可求出答案.解答:解：(1

19、)AB=5,. A (4, 0), B ( 1,，一 一 5半徑是 PC=PB=PA=, 20),.OP='2在CPO4由勾股定理得： OC=，CP灸-加2=2, .C (0, 2),設(shè)經(jīng)過 A B、C三點拋物線解析式是 y=a (x-4) (x+1), 把 C (0, 2)代入得：2=a(0-4) (0+1),a=, 21. y= - -1 (x-4) (x+1) = - -1x2+-£x+2,22 2答：經(jīng)過A、曰C三點拋物線解析式是 y= - lx2+Jx+2 .2 2(2) y=-lx2+-x+2=-M (W, &)設(shè)直線MC寸應函數(shù)表達式是 y=kx+b ,

20、把C (0, 2) , M (圈,生)代入得:2 825 3_石瓦卜+2,b=2解得：k=3, b=2,4y=上x+2,4y=.2x+2 .4答：直線MC寸應函數(shù)表達式是(3) MCW OP的位置關(guān)系是相切. 證明：設(shè)直線MC交x軸于D,當 y=0 時，0=-x+2,48 cc 3.x= 一 , OD=,33.D (- :, 0),3在ACO邛，由勾股定理得： CD2=22+ (-)3=-"=-",9 36PC2=.925 2252PD =-1)362361. c6+p6=p6,/ PCD=90, . PCX DC .PC為半徑， . MCIO P的位置關(guān)系是相切.針對訓練

21、：1、)(2013?湘西州)如圖，已知拋物線 y=-1x2+bx+4與x軸相交于 A B兩點，與y軸相交于點C,若已知A點 4的坐標為A ( - 2, 0).(1)求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；(2)求點C的坐標，連接 AC BC并求線段BC所在直線的解析式；(3)試判斷AOCfCOBl否相似？并說明理由；(4)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使ACQJ等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由.(5)、點M是拋物線上位于第一象限內(nèi)的動點，當BCM勺面積達到最大值時，求點M的坐標及最大值？(6)、求ABAC的外接圓圓心 E點的坐標？(7)、求證圓E與直線：y=3x/

22、4+4相切。在該直線上找一點F,使4BCF為直角三角形，求 F的坐標？(8)、l是過點A且平行于BC的直線，在該直線上找一點D,使A,B,C,D所在的四邊形為平行四邊形，求 D的坐標？(9)、將ABAC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ABA C',求點A和點C'的坐標及線段 BC所掃過的區(qū)域的面積?(10)、在x軸上找一點G,使CFG勺周長最小，求 G點坐標及周長最小值？求此時 4CFG的面積?(11)、在拋物線上找一點 H,使4ABH的面積二4AOC勺面積.。求點H的坐標?(、(13)、求拋物線關(guān)于直線：x=10,對稱的拋物線的解析式？N是線段AB上的一個動點(與 A B

23、不重合)，分別連接接CN記4CNP勺面積為S, S是否存在最大值？若存在，求出 值及此時E點的坐標；若不存在，請說明理由.考點：二次函數(shù)綜合題.分析： (1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=-至求出對稱軸方程；2a(2)在拋物線解析式中，令 x=0,可求出點C坐標；令y=0,可求出點B坐標.再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；(3)根據(jù) 空口，/AOC/BOG90。，可以判定 AO© COBOC-OB(4)本問為存在型問題.若 ACQ等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避 免漏解.解答： 解：(1) ;拋物線y=-1x2+bx+4的圖象經(jīng)

24、過點 A(- 2, 0),4- lx ( - 2) 2+bX ( - 2) +4=0,4解得：b=乜，2，拋物線解析式為 y= - lx2+.x+4,4 2Xy= - -x2+-x+4= - (x-3) 2+,4 244，對稱軸方程為：x=3.(2)在 y=一1x2+"x+4 中，令 x=0,彳導 y=4,C ( 0, 4);4 2人i'2 二一 一2人一，令 y=0,即x +x+4=0,整理得 x - 6x - 16=0,解得：x=8 或 x= 2,4 2A (- 2, 0), B (8, 0).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,把B (8, 0), C (0, 4)的坐標

25、分別代入解析式，得：鬲b=0Lb=4解得 k= - -, b=4,2，直線BC的解析式為：y= - -x+4.2(3)可判定AOaACO城立.理由如下：在 AOCfCO即，. OA=2, O(=4, OB=8,空&oeoB,又 / AOCZ BOC90 , . AO» COB(4)二,拋物線的對稱軸方程為：x=3,可設(shè)點Q (3, t),則可求得：AG產(chǎn)收=2加，AQVs2 + t 2=725 +t2，,+9C0：.；，； i . = i . j i )當 ARCQ寸，有點5+t"=J (t - 4 ) 2+9,一 2225+t =t - 8t+16+9,解得t=0,，Q (3, 0);ii )當 ACAQ時，有如5+?=2%，t2=-5,此方程無實數(shù)根，此時ACQT能構(gòu)成等腰三角形；iii )當 AC=CQ寸，有J (t - 4 )，+9= 2泥，整理得：t2-8t+5=0,解得：t =4 ±V'H,點 Q坐標為：Q (3, 4+-/H), Q3 (3, 4VH).綜上所述，存在點Q使ACCM；等腰三角形，點