高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題練習(xí)詳細(xì)答案

1、1 .已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2 +(c3a 2b)x + d的圖象如圖所、示.(I)求c,d的值；(II)若函數(shù)f(x)在x=2處的切線方程為3x + y11 = 0,求函3數(shù)f(x)的解析式；I(HI)在(II)的條件下，函數(shù)y = f(x)與y =1 f <x)+5x + m的3圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.2 .已知函數(shù) f (x) =a ln x - ax -3(a R R).(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II )函數(shù)f(x)的圖象的在x=4處切線的斜率為士若函數(shù)21 。 cm .g(x) =-x +x f'(x) +在區(qū)間(1 , 3)上不是單調(diào)函數(shù)

2、，求 m的取值氾圍.323 .已知函數(shù)f (x) = x3+ax2十bx+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x=1處取得極大值.(I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；2(II)若方程f(x)=0包恰好有兩個(gè)不同的根，求f(x)的解析式；9(III)對(duì)于(II)中的函數(shù) f(x),對(duì)任意久、BER,求證：| f(2sina)-f(2sinP)怪 81 .4 .已知常數(shù)a>0, e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x) = ex-x, g(x) = x2 - alnx .(I)寫出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并證明ea>a;(II)討論函數(shù)y =g(x)在區(qū)間(1,ea)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).5 .已知函數(shù) f(x) =ln

3、(x-1)-k(x-1) + 1 .(I)當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值；(II)若函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;6 .已知 x =2 是函數(shù) f (x) =(x2+ax - 2a - 3)ex 的一個(gè)極值點(diǎn)(e = 2.718 ).(I)求實(shí)數(shù)a的值；(II)求函數(shù)f (x)在x可±3的最大值和最小值.27 .已知函數(shù) f (x) = x2 -4x + (2 a) ln x,(a w R, a # 0)(I)當(dāng)a=18時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)求函數(shù)f(x)在區(qū)間e,e2上的最小值.8 .已知函數(shù)f (x) =x(x-6)+alnx在x(2,收)上不具有

4、單調(diào)性. (I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(II)若f (x)是f (x)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)g(x) = f，(x)+6-今，試證明：對(duì)任意兩個(gè)不相 x等正數(shù)Xi、x2 ,不等式|g(xj-g(x2) |竺卜1 -x2 |恒成立.27199.已知函數(shù) f (x) =-x -ax+(a-1)ln x, a >1.2(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(II)證明：若a<5，則對(duì)任意 xi,x2 W (0,+oc),xi 豐 x2,有 f(x1)_f-(x-) > -1. x1 x21 210 .已知函數(shù) f(x)= x +alnx, g(x) = (a+1)x ,a = -1 .2(I)若函數(shù)

5、f(x), g(x)在區(qū)間1,3上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求 實(shí)數(shù)a的取值范圍；(II)若 aw(1, e(e 2.71828 )川，設(shè) F(x)=f(x) g(x),求證：當(dāng) w 1,a時(shí)，不 等式 | F(x1) -F(x2) |<1 成立.11 .設(shè)曲線 C : f(x)=lnx-ex ( e = 2.71828 )，f'(x)表示 f (x)導(dǎo)函數(shù).(I)求函數(shù)f(x)的極值；(II)對(duì)于曲線C上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1) , B(x2,y2),玄 <發(fā)，求證：存在唯一的 x0 為名),使直線AB的斜率等于f (x0).12 .定義 F(x,y) =(1+x

6、)y,x, yW(0, ), 令函數(shù)f (x)=F(3,log2(2x-x2+4),寫出函數(shù)f(x)的定義域；(II)令函數(shù)g(x) =F (1,log2(x3+ax2 +bx+1)的圖象為曲線C,若存在實(shí)數(shù)b使得 曲線C在x0(M<X0 <-1)處有斜率為8的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(III)當(dāng) x, y WN *且*<丫 時(shí)，求證 F(x, y) >F(y, x).12a 4b -3a -2b-3(2分)(4分)8a 4b -6a -4b 3=5解得 a=1,b = -6 所以 f (x)=x3 6x2(HI) f (x) =3x2 -12x+9 ,可轉(zhuǎn)化為:9x

7、 3(8分)x3 -6x2 +9x + 3=(x2 -4x + 3 )+5x + m有二個(gè)答案1 .解：函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=3ax2+2bx+c3a2b 由圖可知 函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0, 3),且f'(1)=0得d =3= f =3.3a 2b c -3a -2b =0c =0(II)依題意 f'(2)=與且"2)=5(10 分)故而，一16皿居為所求.2.解：(I) f'(x)=虻兇就0)(12 分)(2分)x當(dāng)a>0日tf(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1】減區(qū)間為1,也)當(dāng)a<0日1 f(x)的單調(diào)增區(qū)間為1,依)減區(qū)

8、間為(0,1；當(dāng)a=1時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù)(5分)3a 3 一(II ) f'(4)= =一得a = 2, f (x) = 2ln x + 2x 342J. g(x) =1 x3 +(m +2)x2 -2x,A g'(x) = x2 +(m + 4)x -2 (6 分) 32丁 g(x)在區(qū)間(1,3)上不是單調(diào)函數(shù)，且g'(0) = -2x(,2) 3J_2(2 J14 I9 J4(4, + 8)g'(x)+0-0+g(x)增極大值減極小值增不等實(shí)根，即：g(x )= x3 7x2十8x m與x軸有三個(gè)交點(diǎn); 2g(x)=3x 14x+8 = (3x-2

9、(x-4 ),268一g.一尸-m, g(4)=16m.327當(dāng)且僅當(dāng)g i| J=|8 m >0且g(4 )= 16 m <0時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn),g'(1) <0,g(3)>0.八m,T 一八、19(12 分)(8 分)19 (10 分)me (-19,-3)m 3,33 . 解：(I) f (0) =0= c=0, f'(x) =3x2+2ax+b, f'(1) =0= b =2a 3 .f(x)=3x2 2ax(2a 3) =(x1)(3x 2a 3),由f (x) =0= x =Mx =-,因?yàn)楫?dāng)x =1時(shí)取得極大值，3所以一2a±

10、3>1=a<q 所以a的取值范圍是：(g,-3); 3(II)由下表：x(3,1)1(1,三) 32a +3 3(士, 口 3f (x)+0-0-f(x)遞增極大 值_a 22遞減極小值廿6 (2a 43)2 27遞增2依題意得：*63+3)2=一回3 ,解得：a = -9 279所以函數(shù)f(x)的解析式是：f(x) =x3 -9x2 +15x(HI)對(duì)任意的實(shí)數(shù) s,P 者 B 有2«2sinct 42,2«2sinB«2,在區(qū)間-2, 2有:f(-2) =-836 30 = 74,f(1)=7, f(2)=8 36 + 30=2f(x)的最大值是

11、f(1) =7, f(x)的最小值是 f(-2)=-8 -36 -30 = -74函數(shù)f(x)在區(qū)間22上的最大值與最小值的差等于81,所以 | f (2sin a) f (2sin P)581 .(2分)4 .解：(x)=ex1之0,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,收)，: a >0 ,f (a) > f (0) =1 , /. ea >a +1 >a ,即 ea >a . (4 分)a 2(x -)(x-)(II) gx)=2x =22-, 由 g'(x)=0, 得 x =三 ,歹！J表xx2xg (x) g(x) 當(dāng)x=，a時(shí),2(0q)2-單調(diào)遞減

12、.2a-20極小值呼，二)2+單調(diào)遞增函數(shù)y = g(x)取極小值g(罟可(1-嗚)，無(wú)極大值.由(I) ea >a ,e2aea a 2 2a a (e > .e2，g(1) =1 >0 , g(ea) =e2a -a二(eaa)(ea -a) 0(8分) 當(dāng)?shù)?w,即0caE2時(shí)，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(1,ea)不存在零點(diǎn)當(dāng)?“即a>2時(shí)若a(1-lna)>0,即2<a<2e時(shí)，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(1,ea)不存在零點(diǎn)若a(1-lna)=0,即a=2e時(shí)，函數(shù)y = g(x)在區(qū)間(1,ea)存在一個(gè)零點(diǎn)x = e； 22若a(1-lna)&

13、lt;0,即a>2e時(shí)，函數(shù)y = g(x)在區(qū)間(1,ea)存在兩個(gè)零點(diǎn)；22綜上所述，y = g(x)在(1,ea)上，我們有結(jié)論：當(dāng)0<a<2e時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a=2e時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a>2e時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).5 .解：當(dāng) k=1 時(shí)，f'(x)=x -1f(x)定義域?yàn)?1, +笛)，令 f，(x)=0,得x = 2,.當(dāng) xw(1,2)時(shí)，x)>0 ,當(dāng) xw(2,f,f(x) <0,f(x)在(1,2)內(nèi)是增函數(shù)，在(2,收)上是減函數(shù).當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取最大值f(2)=0(II)當(dāng)k£0時(shí)

14、，函數(shù)y=ln(x1)圖象與函數(shù)y=k(x1)1圖象有公共點(diǎn)，函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，不合要求；當(dāng)k>0時(shí)，1. 1k -kxf (x)=-k 二二x-1x-1k(x(6分)令 f (x) =0,得x =-1 , 丁 x W (1,k1)時(shí)，f '(x) >0, xW (1 +1,")時(shí)，f '(x) <0 , kkkf (x)在(1,1+，內(nèi)是增函數(shù)，在1+Jf)上是減函數(shù)，f(x)的最大值是 f(1+：)=Ink,:函數(shù) f(x)沒(méi)有零點(diǎn)， lnk<0, k>1,因此，若函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍k51,y)6 . 解：(I

15、)由 f (x) =(x2+ax-2a -3)ex 可得f '(x) =(2x +a)ex +(x2 +ax -2a -3)ex = x2 +(2+a)x-a -3ex (4 分)x=2是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，f2)=0(a+5)e2 =0 ,解得 a = 5(II)由 f (x)=(x-2)(x-1)ex >0,得 f(x)在(g,1)遞增，在(2,依)遞增，由f (x) <0 ,得f(x)在在(1,2)遞減(8分)1 1. 3= -e2(4e. e -7) 0, f (3) f (-)f(2)=e2 是 f(x)在 xW|,3的最小值；37 2,3 a 7 2&qu

16、ot;2)=402，f(3)=e3f(3)-f(?=e3 - f(x)在x3,3的最大值是f(3)=e3.27.解：(I) f (x) = x2 4x 16ln x ,162(x 2)(x -4)f '(x) = 2x -4 - 一=-xx由 f'(x) A0 得(x+2)(x -4)>0 ,解得 x >4或x < 2注意到x>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4, +s) 由 f'(x) <0 得(x+2)(x -4) <0 ,解得-2< x<4,注意到x>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4.綜上所述

17、，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（4, +8）,單調(diào)減區(qū)間是（0,4 6分(H )在 x w e,e2時(shí)，所以 f'(x) =2x.4 = xf (x) = x2 -4x (2 -a)ln x22x -4x 2 a=,x設(shè)g(x)= 2x2 -4x 2 -a當(dāng) a<0時(shí),有 = 16+4刈(2a) =8a <0 ,此時(shí)g(x)>0,所以f'(x)>0, f(x)在e,e2上單調(diào)遞增,所以 f (x)min = f (e) = e2 -4e - 2 -a當(dāng) a >0 時(shí)，=164M2(2a) =8a>0 ,令 f'(x) A0 ,即 2x2

18、 -4x + 2-a A0 ,解得 x > 1 + 或x <1 -上2a ;令 f'(x)<0,即 2x2 4x+2 a <0 ,解得 1 2a < x < 12a22若1+學(xué)而2,即aN(e21)2時(shí)，f (x)在區(qū)間e,e2單調(diào)遞減，所以 f(x)min = f (e2) =e4 -4e2 +4-2a .若 e <1 + 二a <e2 ,即 2(e -1)2 <a < 2(e2 -1)2 日寸間，2f(x)在區(qū)間e,1十*上單調(diào)遞減，在區(qū)間1十里,e2上單調(diào)遞增,22所以 f(x)min = f(1 'a) - -

19、 2a -3 (2-a)ln(1 -a).222若1+避史今即0<a9e-1)2時(shí)，f(x)在區(qū)間e,e2單調(diào)遞增，2所以 f (x)min = f (e)=e2 -4e 2 -a綜上所述，當(dāng) aA2e2-1)2 時(shí)，f (x. = a4-4e2 +4-2a ；222a -2a當(dāng) 2(e1)2<a <2(e2-1)2 時(shí),f(x)min J2a-3+(2 - a)ln(1+)；22當(dāng) a02(e-1)2 時(shí)，f (x)min =e2 4e+2a14 分28.解： f'(x)=2x6 + a =2x 6x a , x xf(x)在xW(2, F上不具有單調(diào)性，在xW(2

20、,F)上fx)有正也有負(fù)也有0, 即二次函數(shù)y=2x2-6x+a在x52,F）上有零點(diǎn) （4分）y =2x2 -6x+a是對(duì)稱軸是x=9 ,開(kāi)口向上的拋物線，. y = 2 "-6 2 + a<02的實(shí)數(shù)a的取值范圍（(II)由(I) g(x)=2x + a-4, x x2a2方法 1 ： g(x) = f (x)工 +6 =2x +- -2(x >0), xx x.a 44 a <4 , , , g (x) =2 -2- +y >2 2X X X_ 34 2x _4x 4(8分)44、812 4(2x -3)以 h(x) = 2 - -3 , h * (x)

21、 =- - =4X XXXXh(x)在(0,3)是減函數(shù),在(9,收)增函數(shù),當(dāng)22h(x)取最小值3827,從而 g<x)>38 ,(g(x)-|8尸>0 ,函數(shù) y = g(x)-182是兩個(gè)不相等正數(shù)，不妨設(shè)22,則g(X2)焉x是增函數(shù),、38X2 g(Xi) - Xi27.38. g(xi) -g(x2) 38.g(x2)-g(Xi)>27(x2-Xi),.X2-XiA0' -Xi_X2A 方. g(Xi)g(X2)X1 - X23838>為,BP |g(Xi)-g(X2)|>2y|Xi -X2I(12 分)方法2:M(Xi,g(Xi)、N

22、(x2,g(x2)是曲線y = g(x)上任意兩相異點(diǎn),g(Xi) -g(X2)2(x1x2)aXi - X22(xiX2)a2 2Xi X2XiX222Xi X2X1X24,XiX22 XiX2, a ： 4(XiX2)3X1X2( XiX2)3X1X2(8分)1人32.設(shè) 1=-？=>。, 令 kMN =u(t) =2+4t -4t ,u'(t) =4t(3t 2),XiX2由 u(t)>0,得 t A2,由 u <0得 0<t<2, 33,u(t)在(0,2)上是減函數(shù)，在(2尸)上是增函數(shù) 33，u(t)在t=2處取極小值18,小之更，.所以 32

23、727即 |g(Xi) -g(X2)| 27|Xi -X2I9.(1) f(x)的定義域?yàn)?0,8)，f'(x)=x-a+'aXg(Xi) -g(X2)Xi -X238> 一272x - ax a -1 _ (x -1)(x 1 a) 若a-1=1，即a =2,則f1(x)=(二1-.故f (X)在(0尸)單調(diào)增加. x(ii)若 a -1 <1,而 a>1,故 1 <a 父2,則當(dāng) xw (a 一1,1)時(shí)，f'(x) < 0.當(dāng)xw (Qa -1)及xW(1,+)日！ f'(x) A0,故f(x)在(a-1,1)單調(diào)減少，在(0

24、, a-1),(1, ,二)單調(diào)增加.(iii )若a-1 Ai,即a >2,同理可得f (X)在(1,a -1)單調(diào)減少，在(0,1), (a-1,)單調(diào)增加.(II)考慮函數(shù) g(x)=f(x)+x =1x2 ax+(a 1)ln x+x.2由 g'(x) = x - (a -1) , -1 一 2、x x .a -1 2由于a <a5,故g'(X)A0,即g(X)在(0,)單調(diào)增加，從而當(dāng)x > x2 > 0時(shí)有 g(Xi)g(X2)>0,即 f(Xi) f (X2)+ x1 一 X2 >0,此 f (xi ) f (x2 )f (xi

25、) - f ( x2 )f (x2 ) f (xi )政> -1 , 當(dāng) 0 M xi < x2 日于，有=> -1X1 -'x2xi - x2x2 xi10 .解： (x) = x + a, g (x) = a +1 , x函數(shù)f(x), g(x)在區(qū)間1,3上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，2.當(dāng)xw1,3時(shí)，(x),gx)=-叟之0怛成立，即(a+1)(x +a)20怛x成立，.”a>!在xw1,3時(shí)恒成立，或一12在xw1,3時(shí)恒成立， a -xa 三-x: -9 <x < -1 ,a > -1 或 a E -91 2- a(x - a

26、)(x -1)(II) F(x)=-x +aln x,-(a+1)x , F (x) =x+-(a+1)=2xxF(x)定義域是(0,f) , aw(1,e,即 a"F(x)在(0,1)是增函數(shù)，在(1,a)實(shí)際減函數(shù)，在(a,")是增函數(shù)當(dāng) x=1 時(shí)，F(xiàn)(x)取極大值 M =F(1) = -a_12當(dāng) x = a 日寸，F(xiàn) (x)取極小值 m = F (a) =aln a 1a2 a ,2; x,x2 引1,a , . |F(xJF(x2)|E|M -m|=M -m121設(shè) G(a)=Mm= a alna，貝！J G (a) = a Tn a 1 , 22._ .1-.

27、 G'(a)' = 1 , .aw(1,e,G，(a)"0 aG(a) =a Ina 1 在aw(1, e是增函數(shù)，/. G'(a) a G'(1) = 01c1 .G(a)=-a -aln a-在 a = (1, e也是增函數(shù)22G(a) EG(e),即 G(a) Ee?-e-工=一1,22222而-e2 -e - =(e- -1 <(- -1=1 , /. G(a) = M -m <12222，當(dāng) x,x2 W1,a時(shí)，不等式 |F(x1)F(x2)|<1 成立.I 1 一 ex1II .斛：(I) f(x)=-e= 0 ,得 x

28、 = 一x xe當(dāng)x變化時(shí)，(x)與f(x)變化情況如下表：x(0, In x2 7nxi-e(x2-x1). x2-x11 x2-(II)(方法 1) f(x°)=kAB, .-e = -21- , . . 1-In = 0x°x2 一 xx0x1) e e, ef (x)十0一f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減二當(dāng)x=1日寸，f(x)取得極大值f(l)=-2,沒(méi)有極小值； ee即 x0 In x2 (x2 -x1) = 0 ,設(shè) g (x) = xln ± _(x2 -x1) x1Xg(Xi) =Xi In x2 (X2 - Xi) , g(Xi) x =ln x

29、2 -1>0 , g(x1)是 x 的增函數(shù),Xi1XiX2 Xi <X2 , g(Xi) <g(X2)=X2ln (X2 X2) = 0 ,X2g%) =XzIn 七-乂 -為)，g(x2 )|x =In*-i>0, g(x2)是 X2 的增函數(shù), xi2xixi z 、 - xi <X2 , g(x2) >g(xi) =x"n 一 一(x 一x1)= 0 ,Xi二函數(shù) g(x) =xIn 9-(X2 -Xi)在(me)內(nèi)有零點(diǎn) x0 ,Xi又丁辿>1,.In配>0,函數(shù)g(x)=xIn>-仇-xi)在(xi,X2)是增函數(shù),x

30、i函數(shù) g(x)=X1X2 - XiXi-In a在(Xi,X2)內(nèi)有唯一零點(diǎn)x0,命題成立xX1(方法2)f (X0)= kAB ,1 ln x2 - In x1 - e(x2 - x1) 一e 二,即 x0 ln x2 -x01nx1 + x1 - x2 = 0 ,設(shè) g (x) = xln x2x ln x1 x1 -x2X0X2 - XiX0= (Xi,X2),且 X0 唯一貝U g(x1)= x11nx2 xi In xi + xi - x2 ,再設(shè) h(x) =x In x2 x In x + x x2 , 0 <x <x2 , h'(x) = In x2 - In x a 0h(x) =xIn X2 xIn x+xX2在 0 <x ex?是增函數(shù)g(Xi) =h(xj ch%) =0 ,同理 gd) >0方程 x In x2 - x In xi xi - x2 =0在 x°w (Xi,X2)有解:一次函數(shù)在(me) g(x) =(In X2 Tn Xi)x +x -X2是增函數(shù)(12 分)方程xIn X2