高數(shù)答案(下)習(xí)題冊(cè)答案第六版下冊(cè)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編

1、高數(shù)答案（下）習(xí)題冊(cè)答案第六版 下冊(cè)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編第八章多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用§1 多元函數(shù)概念一、 設(shè)網(wǎng)y） yl, （x,y）色 R 求：口答 案二、求下列函數(shù)的定義域:x2（L 建21、y2、z arcsin三、求下列極限：x2siny 1、lim2、川小R （4丁達(dá)2 （心 y2）2 y4 x4 2x2y2 2抖、(x,y)y x 1):221 x y(x,y)卜 xa 0)；x(0)2氐y)他0)2k yfe6) (x,y) ( ,2)xlimx2y四、證明極限lim不存在 2區(qū)y） （O,o）4x y證明：當(dāng)沿著x軸趨于（o, o）時(shí)，極限為零，當(dāng)沿著y x趨于（0,

2、0）時(shí)，極限為者不相等，所以極限不存在21,21xysiii22五、證明函數(shù)乩”） 在整個(gè) xoy面上連續(xù)。X y 0.（x:y） Q0）證明：當(dāng)醫(yī)y）他0）時(shí)，f（x,y）為初等函數(shù)，連續(xù)。當(dāng)（x,y） &0j時(shí)，Ixysi 0 1（0,。），所以函數(shù)在（0, 0）也連續(xù)。所以函數(shù)（xA'liml （0,0）22熬y在整個(gè)xoy面上連續(xù)。六、設(shè)匕足丫2 工丫）且當(dāng)y=0時(shí)工 色，求f（x）及z的表達(dá)式. 解：ffx）-x2 x, z x2 2y2 2xy y§ 2 偏導(dǎo)數(shù)yft沖z 1、設(shè)f xex ，驗(yàn)證 x y x y4工工工y吸斑x ex , x yaxy x

3、ex沖工 證明： xx v x vvvwr7 x2 v2 +'12、求空間曲線 ；在點(diǎn)(，,1)處切線與y軸正向夾角0 ly 2242x23、設(shè) %幻')V (y I)卻儂h 求 fx(x,1)( 1) y4、設(shè)U X,求zzy U U U , , y X 777, uz uly nzy I 2xylnx xlnx x 解： ，y zy xyy2u 2li 2u25、設(shè)u x ¥4證明：色.度u6、判斷下面的函數(shù)在(0,0)處是否連續(xù)？是否可導(dǎo)(偏導(dǎo))？說明理由 2221 22xsin,x y 0 22ffx,y) x y22 0.x v 0'T-10 0 l

4、imf(x,y) 0 «0,0) 連續(xù)；fk(O助 lim fy(O,O) li您i2 不存在，0x Oy Ox Oy Oxy 07、設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(a,b)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，求 nx 工f(a *b) x2fx(a,b) 3 3 全微分1、單選題(1)二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)是它在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在的(A)必要條件而非充分條件(B)充分條件而非必要條件(C)充分必要條件(2)對(duì)于二元函數(shù)f(x,y),下列有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)與全微分關(guān)系中正確的是一(A)偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則全微分必不存在(C)全微分存在，則偏導(dǎo)數(shù)必連續(xù)(D)全微分存在，而偏導(dǎo)數(shù)不一定存在2、求下列函數(shù)的全微分

5、：yyyll) Z SN J/ 網(wǎng)孫 (1>') XX222)匕 sin(xy) 解：心2dx 2xydyjy? lly3) u X 解：du xdx xzlnxdy 2Nzlnxdzzzzyzyyy3、設(shè) £ ycos(x 2力求心。)4解：dz ysiiifx 2y)dx (a)s(x 2y) 2ysin(x 與)dyilz|(O,4>4dx2dy4、設(shè) IQM工1( 2dx 4dy 5dz) 求：df(L2J)2225x y1 22(& v)sin 5、討論函數(shù) f(x,y) y20. Gy) &0)住¥)(。在(0, 0)點(diǎn)處的連

6、續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)、 可微性 心2 v2)sill。m),0)所以f(x,y)在(0,0)點(diǎn)處連續(xù)。解:(xrylim) (0,0)22工 vfx(0r0) f( x,O) f(O0)fp y) f(0t0) 0?fy(0r0) lim 0 g) (0t0)(x,y) (0,0) x yff 工 y) 0 0,所以可微。22( x) ( yHiiii 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則dzvti、設(shè)工 u,u sintv e,求 dtdzei Ue( e Insiin (sim) el 解：=cost.(sint)dt工72x 3工，求，2、 設(shè)工(x yl x y工2x 3y I (2x 3y網(wǎng) y) 3

7、x( y2x )3ylnx (y), y工型2y nz 3、設(shè)鼻肝后，f可微，證明X工VX1Z 27 2z224設(shè)工 皿 52寸)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，22 x y y xZ解：人口 為口 ， x2 7、z 2x(fl I ( 2y) fl2 2x) 2f22y(f21( 2y) f222x)2vfl 2x12 , x y y=2fl 4xyfl 14(x v)fl2 4xyf22228xyn2 4x2£222 z 2z22, 2n 4y2ni-1 人(取了 4yf1111222222zyx 5、設(shè)匕Hxyj g(),其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)、g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求X VX

8、V .r7Vl 解：fl Y 2f2工,xx¥ ZzllyllxX 1221 2g 3gfl v(fll x fl2 ) 2122(fl2x vxxxxvvdu6、設(shè) U F(XJ，z y ,求 dx duFl 1,2(x) 1;3 氏 *)。解：dxu x 2v 2z 2z 2z 2z2=0 化為 Q,7、設(shè)E z(iuv),且變換可把方程62v x av x v u v y x rvr其中z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求常數(shù)a的值 由3)2z 2z 2z 2u z z z z z z22 證明： 2 a2 u v v u v x u v x u v *22z 2z 2z 2z 2u2 n

9、 42 4a a22 (a 2) a22 u v x y u v y u v2 u v22度 u (6 a 吸 0a=3 得：(10 5a)2z 2z8、設(shè)函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，瑁尸手汨)f鼻口或(xM求 .和/(1)(1), (a+ab+ab2+b3)§5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式dyi、設(shè) yin y x y,求dxdyl 解：令 F(&y) ylny X y, Fx In* dxlny z2222、設(shè)工z醫(yī)y)由方程工y確定,其中f可微，證明 y1 I(x2 y2 z2) 2xy 2xz2zxy z3、設(shè)工z(x,y)由方程 £所確定，其中f可微，求 x

10、 yz2zz zz zz ,:3 x y xxfl z) yl zx(l z)x2 y2 z2 Idvxdzdydz4.設(shè)，求，(，0)22dxydxdxdx z x yz方、設(shè)七zHyj由方程F(xyy7宿 。所確定，f可微，求，& ：FyFxFI v 曲3江1 m F2 7 解： 令Fg Ffxvy z悶), 則xFz vF F2 xF3F2 xF3z rJ6、設(shè)工f(Xy)由方程z x y cz x y。所確定，求dr 也dy)7、設(shè)z=z(x,y)由方程 3xy xcos(yz) z3 y所確定，求 工乙 y工0 z3xv.ylii3 cosyz zx.3xyhi3 xz疝心：

11、工)1,x y3z2 xvsinyz()3z2 xysin(yz)§6 微分法在幾何中的應(yīng)用1、 求螺旋線M2COSLY 2sim,z 3i在對(duì)應(yīng)于t4處的切線及法平面方程解：切線方程為7. J 3法平面方程"2(y 2)3(/ 3 i 04x2 y2 z2 502、求曲線 在(3,4, 5)處的切線及法平面方程222里窄、k 3T h5 解：切線方程為，法平面方程：4x 3y 。4 302223、求曲面2% 3y 7 9在(1 , -1 , 2)處的切平面及法線方程解：切平面方程為 21工1達(dá) 1) 2(/ 2 0呈ly匕2 及法線方程 2 324、設(shè)f(u,v)可微，證

12、明由方程 弧 加小 °所確定的曲面在任一點(diǎn)處的切平面與- 定向量平行證明：令 f(ax May bz),則lx na,l-y 區(qū)UJ bfl bf2, (flcL12a, bfl h(bha) 0 ,所以在(x0,y0,z0)處的切平面與定向量(b,b,a)平行。5、 證明曲面x和為a 2方設(shè).0) 2323 v23上任意一點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平證明：令rxA；z)工333在任一點(diǎn)工QQzOy 工 a,貝U Fx x.Fy y.Fz處的切平面方程為 x0在在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為x0證明曲面z1323132323232311113(x xO) yO(y yO)1323

13、zO(z zOl 01313a,y0a,z0a,在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平方和為a223yx10上任意一點(diǎn)M(x0,y0,z0).僅0 0)處的切平面都通過原點(diǎn)x7、設(shè)F(x,y,z)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)t,總有 底區(qū)心閭 陽；(4)k為自然數(shù),試證：曲面F(x,y,z)=0上任意一點(diǎn)的切平面都相交于一定點(diǎn)證明:F(固中 ikR(x*7)兩邊對(duì)t求導(dǎo)，并令PlxFx yFy zFz kF(xty/)設(shè)是曲面上任意一點(diǎn)，則過這點(diǎn)的切平面為：此平面過Fx(xO,yO,zO)(x xO)+Fy(xO,yO,zO)( y yOl+Fz(xO:yOhzO)(z z0)=0原點(diǎn)(0, 0, 0)&#

14、167;7 方向?qū)?shù)與梯度1、設(shè)函數(shù)x2 xy y2,2)在點(diǎn)(1, 3)處沿著方向(JU)可解：梯度為1)求該函數(shù)在點(diǎn)(1,3)處的梯度。l的方向?qū)?shù)，并求方向?qū)?shù)達(dá)到最大和最小的方向 grad到最小值的方向?yàn)?L 5)。 2、求函數(shù)uf1(1,3)c酬5sin ,方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向?yàn)?15),方向?qū)?shù)達(dá)巧2 yz2 zx2在(1, 2, -1)處沿方向角為6009001500的方U 11向?qū)?shù)，并求在該點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向及最大方向?qū)?shù)的值。3,該點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向即為梯度的方向ft- 12UgrMu(L2, D 2 5j 3,此時(shí)最大值為 38(12 1)1解：方

15、向?qū)?shù)為3、求函數(shù)u號(hào)以3在(i, i,-i)處沿曲線& ky t2,z t3在(i,i,i)處的切線正方 向(對(duì)應(yīng)于t增大的方向)的方向?qū)?shù)。u u II y2z3, 24& 3xy2z2, 1,23),該函數(shù)在點(diǎn)(1,1,-1)處的方 X Y 工 碑向?qū)?shù)為，UI 1)12224、求函數(shù)U 上外在(1, 1 , -1)處的梯度。必 112y li2z 2,解：，22222222 kx y e/ V 工 zx y z 解：那聞叩1) 222 j 333§ 8多元函數(shù)的極值及求法1、求函數(shù) 死3)3x2 3y2 2x 2y 2的極值。11 答案：(，)極小值點(diǎn) 332

16、 .求函數(shù)x2,21nx國ny的極值 答案：極小值1,由10國IL13 .函數(shù)%”)2K2聯(lián)號(hào)2 2y在點(diǎn)(1,1)處取得極值，求常數(shù) a (-5)4、求函數(shù)工立.在條件工y 3 0下的條件極值解：)心 y2 1 (X y 3)Fx 02211,極小值為。F 0332 y5、欲造一個(gè)無蓋的長方體容器，已知底部造價(jià)為3元/平方，側(cè)面造價(jià)均為 1元/平方，現(xiàn)想用36元造一個(gè)容積最大的容器，求它的尺寸。(長和寬2米，高3米)6、在球面色理(K O.y O.z 0)上求一點(diǎn)，使函數(shù) 用兒歲力nx Iny 3lnz達(dá)到極大值，并求此時(shí)的極大值。利用此極大值證 a b 。5 明 ahc 有曲3 27()

17、52222證明：令 L 履附 3lnr (x 丫 z 2 L L L 0, & 0,x2 y2 7.2 卞2解得駐點(diǎn)x v ez ro所以函數(shù)令 x 丫 z甘相茅力Inx Iny 31nX在冥y y 3r處達(dá)到極大值。極大值為ln(3r5)。x2 y2 z25 即 xyz 3r xy 27(r) 27(),令 5a b c5x2 &y2 b/2 c,得 abc3 27()。 535222325 x2y2;2 被平面x+y+z=0截得的橢圓的長半軸與短半軸的7、求橢球面32長度x2y2 解： F x y Z 1( z2 1)2(x y z) 322223 222)22(1)111

18、 226,短半軸 I 62 lx F 2x 2 0 x3Fv 2z 2 Iz 2 0 T- 3yz2 1x y2 7. 0H 6 長半軸1114分)色),”4) (0川，則且f(x,y)在(0,0)處不連續(xù)；且f(x,y)在(0,0)處連續(xù)。1 ” (x2 v2 z2) d2 第八章 自測(cè)題一、選擇題：(每題2分，共 xy21、設(shè)有二元函數(shù)II31 o依M (。四A、(&ylinn) (0助心刈存在;Q0)Hx.y)不存在；C (jlim) (RO)flXy)存在，D、(xA'lim) (00娘3存在，2、函數(shù)f(x,y)在P0(x0,y0)各一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是f(x,y)

19、在P0(x0,y0)連續(xù)的A、必要條件；C、充要條件；D、既非必要也非充分條件。XV3、函數(shù) 心,y)義 沁 不 在(0,0)點(diǎn)處0.x V T-A、極限值為1;B、極限值為-1;C、連續(xù)；、無極限。4、工f('Y)在P0(x0,y0)處fx(x,y) , fy(x,y)存在是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的(A)必要條件；(B)充分條件；(C)充要條件；(D)既非必要亦非充分條件。5、點(diǎn)0(0,0)是函數(shù)?斗？的(A)極小值點(diǎn)；(B)駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)；(C)極大值點(diǎn)；(D)最大值點(diǎn)。6、曲面U工XV 3在點(diǎn)P(2,1,0)處的切平面方程是(A)2K ¥40；(B) 2x¥工4；(

20、C)x 2y40；(D)2xy507、已知函數(shù)惟是丫)溪氐必($均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么(A)氐 I fy I；(B) 11 k I f I；© i f i； (D)n t f t二、填空題：(每題3分，共18分) U (x2siny1、向(0)儂/)口0聞 V23f ( exyz 2、設(shè) ffx.y/) e,則(1 3xyw x2y2z2) X Y 1siiitxyj.xv 0, 3、設(shè) Rkj) v2 則 fk(OJ) (0)xy 0. 4x4、設(shè)工(x 2y則在點(diǎn)(i,o)處的全微分,dz (dx 2dy)x)"2 y K5、曲線 在點(diǎn)P0(1,1,1)處的切線方程為

21、2 X Zx ly Iz K)214x2 y2 z2 3xx ly lz 16、曲線 在點(diǎn)(1,1,1)處的切線方程為()2102x 4v 6z 4 T-三、計(jì)算題(每題 6分)1、設(shè)fly) xhldy),求f(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù)222x22xyfx(x.y) M(x y) 2f(x.y),。 y222x yx y22X ,求此函數(shù)在點(diǎn)po(1,1)處的全微分。并求該函數(shù)在該點(diǎn)處沿著從11心1) P0到P方向的方向?qū)?shù)(，)行dx dyl(JJ) 12 2z 2y 3、設(shè)E 孫具有各二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 X YN 2、設(shè)g) hl X2 2上 If y 與解： 2xD 22 2xfll yf

22、12 3122 工 y & yxx1 2222,x y 0 x ysin22 4、設(shè) ffx.y) 求 fx(x,y)和 fy(x,y)。x y 0不2 y2 0以1(00)不存在，故f(0,0)不存在，同理，f(0,0)也不存在。limlimyxx Ox Ox Ox當(dāng)醫(yī)y)電。)時(shí)，有6；(4丁)xx2 y2yx2 y212ylsi 2co 23/2222222(x yjx yx yx yysi 1 2xlco (x2y2)3/2x2 y2 5、設(shè)工 f(x,y)由方程 z x y c(dz dx dy)116、設(shè)H 出圣(y)f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),2z z fl 2(x)p ni

23、 n f (y)22 U K V LI222 x y xy uu4xii u2 4xly)l 口 (y)1(xl 12 x v x1用26而20，7、 設(shè) 確定函數(shù) U02u 2u 2ul222nx y 4,式中 f 二階可導(dǎo)，求 2 2 2 8、解：記r x2 y2 H,則f(ru ffr) r 1 ru (r)r ffr) uf r f(r) uf (r)r f(rl, x. y z3332ur2f(r)3f仃)rffr)2f(r)rf(r)x253xrr類似地，有2ur2f3f(r)rffr)2f(r)rf(r)y253yrr!可導(dǎo),u(x,¥設(shè) u 222xr vr zr&#

24、176;所確定，求dz求 x yWfii(&y),求。x y zx y z2ur2fifi Jff(r)r f(r)2f(rjr f(r) z253zrr2u 2u2ur2f(r) 3f (r)r(r)rflr)22 r 253 x y zrrf (0 r四、(1 0分)試分解正數(shù)a為三個(gè)正數(shù)之和，而使它們的倒數(shù)和為最小。111設(shè)三個(gè)正數(shù)為x,y,z，則' ''28,記F ，令xyz則由 111(X V /.。八”102 xx1 0a v2y解出 .x y z 3 1 z 2 0z x y z Ji五、證明題：(1 0分)試證：曲面工&f(y 4上任一點(diǎn)

25、處的切平面都平行于一條直線，式中 f連續(xù)可導(dǎo)。證明：曲面在任一點(diǎn)M(x,y,z)處的切平面的法向量為定直線L的方向向量若為5，則n S 0,即 n 5n L f J f則曲面上任一點(diǎn)的切平面平行于以(1,1,1)為方向的定直線。第九章重積分§1二重積分的概念與性質(zhì)1、由二重積分的幾何意義求二重積分的值 總y2dxdy其中d為:x2 y2 4 D(1 x2 y2dxdy- ,4.2 . .4.2D1316 )3,2、設(shè)D為圓域色岸心M °：若積分D T x ydxdyl2,求a的值。222解： D.ni X ¥瓜2.3 .a h 8 2221413、設(shè)D由圓儂2)2

26、 6T 1)2 2圍成，求 3dxdyD解：由于D的面積為2 ,故 3dxd)j6D4、設(shè) D： Xy)|3 x 5,0 1),11Ina yMxdvJ2 lii(x y)2dxdy ,比較 I1,與 I2 的大小關(guān)系DD解：在 D 上，ln(x y) ln(x y)2.故I 125、設(shè)f連續(xù)，則由平面 z=0,柱面x2 y2 L和曲面工所圍的立體的體積，可用二重積分表示為VD:x y 1融期222dxdy6、根據(jù)二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值iin2xsin2¥dxd¥ D:0 x 0 yD(0 siii2xsiii2ydxdy 2) D7、 設(shè) f(x,y)為有界閉區(qū)域

27、 D ： x2 )吃甘2 上的連續(xù)函 lim解：利用積分中值定理及連續(xù)性有l(wèi)imla 0 a2 la 0 a2D8 f(x,y)dxdyD a 0 f(x:Y)dxdy limit ,) f(0,0)§2二重積分的計(jì)算法xdxdy,其中D是由拋物線y工2 1與直線y=2x, x=0所圍成的區(qū)Y ID域，則I=()7191a : In3 In2 B ： In3 In282829191c : In3 In2D : InJ In284822、設(shè)D是由不等式工y I所確定的有界區(qū)域，則二重積分僅y)dxdy為1、設(shè)1D( )12A : 0B:C :D:1vexvdxdv*-V333、設(shè)D是由

28、曲線xy=1與直線x=1,x=2及y=2所圍成的區(qū)域，則二重積分為()D1111a： e4 e2 eB ： e4 e2 e 建2222111c : e4 ee4 e222214、設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，則二次積分 dx1X 1f(x,y)dy 為()A Odv lf(x,y)dx Idy 1C OdyIdy 11V 1 If21y 12y2 Iff.vy)dx B dviy i1f(x,y)dx)"2 1fiXy)dx D Ody 12v2 1f(x,y)dx5、設(shè)有界閉域 D1、D2關(guān)于oy軸對(duì)稱，f是域D=D1+D2上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分 f(x2v)dxdy 為()DA 2

29、 f(x2hy)dxdyB 4 f(x2hy)dxdyD1D2C 4 ffx2,Y)dxdy DD112ffx,yjdxdy 2D26、設(shè)D1是由ox軸、oy軸及直線x+y=1所圍成的有界閉域，f是域D:|x|+|y|< 1上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分f(x2y2Mxdv為()DA2 f(x,y)dxdy4 f(xly2)dxdyD1D122C： 8DD1122 2 DIy7、.設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則心肌油為()axA dy f(x,v)dx B dy f(x,y)dxyaaa0ac dy 小 D dy f(x,y)dxayax8、求1D3x29()D：2dxdy ，其中 由x=2,y

30、=x,xy=1所圍成.4yInx9、設(shè) 1= dx11= dxi3Inxf(x,y)dy,交換積分次序后I為：ln33efiXy)dy= dy yffxAjdx2010、改變二次積分的次序:1x2Odx Of(X:Y)dv2dx OHy)dy - xjxx1y2dx11、設(shè) D=(x,y)|0<x< 1,0 wy而ex ydxdy 的值D 解： ex ydxdy- d上 ex ydy ( cxdx)( cydy) fc 1)2 D 11111 0000 112設(shè)1 一R2 x2 y2dxd"其中d是由x2+y2=Rx所圍城的區(qū)域，求I ( R3)3D 13、計(jì)算二重積分x

31、2 y2 4 dxdy,其中d是圓域x2 y2 9D解： 工 - d (4 r)d d (r2 4)rdrD 22 n n 占 心 2 a j 0002 41 2 14、計(jì)算二重積分CD maxx2,y2dxdy,其中 D=(x,y)| 0<x< 1,0 <y< 1x x2 1 y y2解： C D maxx2,y2 dxdv= dx edv dv edx e 1 tfVV1 15、計(jì)算二重積分 D x v22玄 7 1 菖 V L , D: dxdy22 X V1 他5 蛇1 )4 X y2d解 ：2=dxdv12 202rx vcos sin 1) JJ§

32、3三重積分1、設(shè) 是由x=0 , y=0, z=0及x+2y+z=1所圍成的空間有界域，則區(qū)dxdydz為()A dx dy0111 x 2y0xdzB dxiI y2odz1 x 2v *xdyC dxoiI x20dy1 x 2v -V22xdzD dx dy xdz1112、設(shè) 是由曲面 x+y=2z,及z=2所圍成的空間有界域，在柱面坐標(biāo)系下將三重積分 工表示為累次積分，i=()A d d 2f( cos , sin 另dz B d d 2f( cos 、 sin 7) dz2 1JL 心C： d d f( cos : sin Z dz D d d f( cos , siii ,z)

33、dz21幼27 002 0003、設(shè)是由色y2 z2 1所確定的有界閉域，求三重積分e|z|dv解： ez|ih- ez|(1 1 x2 y2 1 z2z2 心曲)山一2 e(l 214、設(shè) 是由曲面z=xy, y=x, x=1及z=0所圍成的空間區(qū)域，求xy2z3dxdydz(1/364) zln(x2 y2 z2 1)dxdydz (0)5、設(shè)是球域：甚 ¥ z 1 ,求 222x y z 12 226、計(jì)算 區(qū) 成辿山 其中 為：平面z=2與曲面x2 y2 2z2所圍成的 Q 區(qū)域(64 )57、計(jì)算 x27lb<dydr其中 是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x所圍

34、成的閉區(qū)域 2Q (2/27) 8、設(shè)函數(shù)f(u)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，求lim 1222 取 y zdxdydz 解：iim4I 0 I x2 y2 ?2 t2 =lim§4重積分的應(yīng)用1、(1)、由面積 色¥2=2x2 y2=4N=N'二°所圍成的圖形面積為()113A( 2) B( 2)(2) D 2424(2)、位于兩圓58672sin與 4sill之間，質(zhì)量分布均勻的薄板重心坐標(biāo)是()A (0,) B (0,)C (0,)D (0,)3333(3)、由拋物面 瑁y2 和平面x=2所圍成的質(zhì)量分布均勻的物體的重心坐標(biāo)是4557A (,0,0)

35、 B (,0,0) C (,0,0) D (,0,0) 3443(4)、質(zhì)量分布均勻(密度為1的立方體所占有空間區(qū)域：X 域 V L0 /124AC333"，該立方體到oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IZ=( )D2、求均勻上半球體(半徑為R)的質(zhì)心13R8解：顯然質(zhì)心在 z軸上，故x-y-0,z- zdvV捌、曲面片13 x2 x2將球面x2 y2故質(zhì)心為(0,0,R)制25分割成三部分，由上至下依次記這三部分曲面的面積為55dxdv 10 S3 25 x y25 x yx2S2 70 1”t 0 t4Il 0 14x2 y 7 ty2 z2)dxdvdzs1, s2, s3,求 s1:s2:s3

36、dxdv 20 解：SIv 9x2 v 16222d d r)r2sin dr limt 0t4 r2f(r)drtt45、求曲面Rz xy包含在圓柱x2 y2 R2 解：$2x v R2 *R2 x2 y22(22 1) 1<2 dxdyR32Rz和xoy平面之間那部分立體的6、求圓柱體色 y2 2Rk包含在拋物面x2 y2體積123 R32（x yjdxdy 解：V第九章 自測(cè)題2R4x2 v 2RxT-一、選擇題：(40分)1、 dx Oil xORxjklyH )1 X0A dy I(x,Y)dx J dy 011010000111 xC dy f(xty)d x ) dy 01

37、 yf(x,y)dx f(x,y)dx.D 2、設(shè) D 為也 丫2 砂,當(dāng) a ()時(shí)： a2 x2 y2dxdy .A 13、設(shè)B 3331C 3(k2 y2)dxdy,其中d由立D 3 242y2立所圍成，則i=（B ).D2 32 al2 展混A d a2rdr a4C d r2dr 心4、 設(shè) 是由xdxdydz-(Illi B三個(gè)坐標(biāo)面與平面 xC D . 24482448B d r2 rdr a4:00002D d al adr 2 a4,000032y 7=1所圍成的空間區(qū)域，則222zxy 5xydxdydz=(是錐面 2 2 2g1）.b O.c）.空間區(qū)域在第一卦限的部分0

38、）與平面K g； 0,z，則 Zc所圍成的cab1111Aa2b2c B a2b2bC b2c2a6、計(jì)算I 冰,為力也,ZzD cab. 36363636圍成的立體，則正確的為（）和（）A I d rdr zdzl d rdr zdzD I dz d 加L0。順的2 01001102 M 112 117、曲面2層y2包含在圓柱x2 12B205d dz rdr8、由直線x y 2、Zy 2所圍成的質(zhì)量分布均勻（設(shè)面密度為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix=（ ）.A3 B5 C4 D6）的平面薄板，關(guān)于x軸的二、計(jì)算下列二重積分：（20分）1、 g y2M ，其中d是閉區(qū)域：o y酒吟o x .（2D40） 92

39、、 arctand ，其中d是由直線¥ °及圓周心勝 2 y2 Ly x所圍Dyx成的在第一象限域 *2 y2 R2 (D 4R4 9 R2)5 12D02 ) 64 3、(2 3x 6y 9)d ，其中 d 是閉區(qū)三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序：(15分)4、 色立2d ，其中D:k2 y2 3.(1、 dy 012y0f&y)ix dy 133 yOf(£y)dx(dxxO23 xf(x,y)ciy) 2”2、 dxOll I 4心.£曲當(dāng)院10( dy fly)dx dy 0()1y2f(x？y)dx)a 3、d Rrcos

40、.忖n 加#f d lc©s 心in )rdr)0000a四、計(jì)算下列三重積分：(15分)1、 ycos(x zjdxdydz,:拋物柱面y X及平面y 。某工2所圍成的區(qū)域 (J )1622、 ty2上2)dv,其中 是由xoy平面上曲線y2 2x繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與2250 ")3xyz五、(5分)求平面 1被三坐標(biāo)面所割出的有限部分的面積.abc122 (ab b2c2 c2a2)211y11六、(5分)設(shè) f(x)在0,1上連續(xù),試證：孤。(kdydf 口芯)兇30xx60平面X 5所圍(F(x) (。山,則 F (Q 。*且HI)心)也只0011x 0 x x)

41、Hy)f(z)dxdydz Kx)dx 七)口。)F(x)<Iy Ollyl1011lllf(x)(F2(l)卜2(印 F(x)F(1)叫x)：也斗3 6 F3(1)43(1)22626第十章曲線積分與曲面積分§1對(duì)弧長的曲線積分1設(shè)L關(guān)于x軸對(duì)稱，L1表示L在x軸上側(cè)的部分，當(dāng) f 3 關(guān)于y是偶函數(shù)時(shí)， f 鼻y dsLf XJ 也 C. 2 f K.y ds D.A3C 都不對(duì)L1L12、設(shè)l是以點(diǎn)A 1/°J £1,0 ,D 0： 1為頂點(diǎn)的正方形邊界則 Likx y-42D.2212t33、有物質(zhì)沿曲線L：呈t,y ,z ° t 1分布，

42、其線密度為則它23ffl124121H t tdt B, tOO t tdt C.24 0 l tdt D24 Ot t2 t4dt4.求 xd，其中l(wèi)為由y 3 9 所圍區(qū)域的整個(gè)邊界li解： Oh； dy 羽” 02xdx 125 1 122'T5.5小,其中l(wèi)為雙紐線 儂2 y2)2 屋(k2 y2)(a OjL解：原積分yds 4 sin r rd g222LW Osin d 2a22 26.x2 y2限其中l(wèi)為心衣axL2 a 0原積分=2 2 acoWdt 2a27.12d泊其中L為球面由 v2 z2 立與平面呈y 0的交線L解：將x y代入方程x2肥t1也得2s z2 a

43、2于是L的參數(shù)方程：X2 a2cMy 必inti 而】t,又出 adt 原積分二咆 cos2tadt a3 228、求均勻弧久eleosu eisiiil,z el i 0的重心坐標(biāo)位 皿M t ledt 3,箱 Mt。 etcosGetdt 211, y0 1箱-記2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、選擇題1 .設(shè)L關(guān)于x軸對(duì)稱，L1表示L在x軸上側(cè)的部分，當(dāng) P工丫 關(guān)于y是偶函數(shù)時(shí),P dx A.O B.2 P xhy dx C, 2 P x%dx都不對(duì)LL1L12 .設(shè)L為呈V 1的正向，則L xdx vdv x vx y223. L 為色 y2 a2的正向，L(x y)dx (x v)dy A.2

44、C.O D.二、計(jì)算1. 色，2dx x2 y2dy,其中l(wèi)由曲線¥ 1 1x0x2 從A 2,0到0 04方向解：B 1J AB:y 1 xa:2 J;BO:y kkI 0LI x2122 x dx x2 2x2 I dxx!02 x2dT 43ABBO2,誼 v2dx ln(x x2 v2)dv 其中L是正向圓周曲線Lx2 yl a2解：由奇偶對(duì)稱性Lx2 v2dx 0, l： x ac。5t.M asinU：23 I a4sintcostdt asintcostln a 1 cost dt 2 a4asintcostdt 44223.心 ydy x y 1其中為從點(diǎn)A 1J,1

45、到B 13,4的有向線段1解：方程：X t Ly 2t 1/ 3i 1, I a 6 dt 13三、過0 Q4和A ,0的曲線族¥畫nx a 0 ,求曲線l使沿該曲線從。也。到A .0的積分 I y3 dx 2K y曲的值最小L3 解：I ab4 I asinx 2x asinxacosxdx 4a a31d4 a 10, a 1 I 18 0oa 1J a 最小，此時(shí) y s畝工3302” 四、空間每一點(diǎn)處P 有力F X.",其大小與P MJR到Z軸的距離成反比，方 向垂直指向z軸，試求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿圓周£ cMy Lz Snt從點(diǎn)M 1,1,0到N 0J.1時(shí), 力

46、F w所作的功解：由已知I 7.L 晨x2 y2x2 y22 ,心陰V xL kx2 y2dx kyxl y2dy c-osO kcosi2l Idcosi klii2 2五、將積分 LP(Xy)dx Q(K,y)dy化為對(duì)弧長的積分，其中L沿上半圓周色 y2 2x 0 從 O(0,0)至ij B(2,0).解：y 2x x2,dy 1 工2K x2dxds 1 y 2dx 2x x2dxcos dx ds2x x2xos dv 1 x,于是 dsLP(x.yMx Q(x,y)dy P(&y)L 2x x2 Q(x,y)(l x ds洽格林公式及其應(yīng)用一、選擇題1 .若L是上半橢圓X雙

47、©st,取順時(shí)針方向，則y bsiiiL ydx 也一LA.O B,ab ab, D2 ab22 .設(shè)l為x y a的正向，則222xv2dx x2vdx y22a. 2B1-23 .設(shè)L為曲線總9的正向，則 2* 2y dx 心4x也La. 9 C,-9D,0二、計(jì)算題1 .設(shè)L是圓K y 2K 1取逆時(shí)針方向，則 22Lliix2 v2dx evdv<2 v2 2K 2 r10 ，d解：將方程代入被積函數(shù)在由格林公式得2 hi 1 2x dx eydy (0 Ojdxdy 0LD2. 2xy3 v3cosx dx 1 2ysiiix 3x2v3 此其中 L 為點(diǎn) 0 0,0

48、 到 A J 的拋物線I. 2 y2解：因2 x的弧段 Q P故積分與路徑無關(guān)，取 Bk y 22 220 1 2ysin 3 vdy 24 20 H OB BA3 .求1 Lydx xdyx y22, l為x 1 2 y 1 2 1正方形邊界k y 1的 正向 解：(1)直接用格林公式=0 222(2)設(shè)l為圓周：X V T取逆時(shí)針方向，其參數(shù)方程x rc-ost.y rsiiit,(:O 2原積分為1 L Odxdy 1 D1 所以0 r2sin2t r2cos2tr2dtl.vdx xdvx2 v2 Ivdx xdvx2 v22 4、驗(yàn)證£¥的全微分，求出 Uy1具有

49、連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且0到1則2又00得 X 色解： y2 yexdx 2xy exdy在xoy面上是某函數(shù) UQ P 2y ex, u 2y xy2 ycx, X5、設(shè)曲線積分xy2dK y X dy與路徑無關(guān)，其中LI0,0。0,計(jì)算xy2 d黑y x dy的值解：取路徑：沿x 0從0,0到0J ；再沿y 1從114對(duì)面積的曲面積分1、計(jì)算曲面積分('，4平小】也，其中 是平面)2 分解：Dxy 4(1 24y61xy )I 0y 0 dy xdx 012 或 Q P : x2x1在第一卦限的部32342x dxdy dxO2333 04.61 dy 46132、求曲面積分21ds ,其中

50、是界于平面z=0和z=H之間的圓柱面222呈y工y2R y2H x2 y2 R 解：I 21R z22Dyzdydz 2R 201R z22Rdz. 1R 22dy RHR =2arciaii0.arcsin R 2 arctanzRyRH R3、求曲面積分(XV / 超心，其中 是錐面?工2 v2被柱面 燭火2ax所截得的有限部分解：1 Dxy xy (x y)x v2dxd¥-22 228cos (I2 r02c(is sin r(cos sin )j21Td尸642a4 15§5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、選擇題1 .設(shè) 關(guān)于yoz面對(duì)稱反向，若 P 3 關(guān)于x為偶函數(shù)，1是

51、 在yoz面的前側(cè)部分,則P 孔曠 dydz ()2 P x,y,z dvd z C 2 P x,y,z dydz D.ABC 都不對(duì)2 .設(shè)*2 y2 2232Ho 取上側(cè)，則下述積分不等于零的是()axSdydzxdydz C ydxdy D zdxdz3 .設(shè)為球面y 72 1取外側(cè)，i為其上半球面，則有()A.冰 2 zds/dxdy 2 處g C.dXdydy d dX dxdy d. 01 1 1二、計(jì)算1. x2dydz y2d，ix Ndxdy其中 由x y ，1及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成閉曲面的外側(cè)解：7 如1 x ydxdv dx 1 x y dv 2 *rrDxyOO211 x2

52、112由輪換對(duì)稱性原式142. X V d)也其中為錐面匕x2 y2被平面z 1所截部分的外側(cè)解：由對(duì)稱性1ydy d/ 0原式 心心 x 7A dxdyx2 y2 22 12 d i00cos2 dr 3 *3. (k y)dy(lz v z dzdx z & dxdy其中為蕓x2 y2被平面工 所截部 分，其法向量與z軸成銳角解：由對(duì)稱性 ydydz /d/.dx 022 原式2x 2y z 工 dxdy2 1 x2 v2 1 x2 v2 x dxdvd r3 r2cos dr00 2三、用兩類曲面積分之間的關(guān)系計(jì)算1 .求(-心囪號(hào)y3c06工況06 )dS其中 是柱面 值y2

53、a2在。工h部分，cos工09 郎是 的外法線的方向余弦解：原式 工辿也y2il/.lx zdxdv由奇偶對(duì)稱性 及dxdy=0得ha22原式 也山2 xdydz 2 d工a y330 a dy 4ha4344costdt all 402dxdy其中f(x,y,z)為連續(xù)函2 . （收W）由2f（個(gè)y d冰為平面X V 7 1在第四卦限部分的上側(cè)川解： 的法向量為11 1. 1/ COS.cas .cos . 33原式 11 1 3（Kdyfx v /）dS-2 IKy四、試求向量A i力 "x2 y2 k穿過由z色y2及工及工2所圍成圓臺(tái)外側(cè) 面（不含上下底）的流量解： 一 dvd/ M/dxI2由奇偶對(duì)稱