7最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)

1、第 6 講 最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)第一部分 知識(shí)梳理1. 公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義 幾個(gè)數(shù)共有的因數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)叫作它們的最大公因數(shù)。2. 求公因數(shù)和最大公因數(shù)的方法 1）列舉法：先分別求出兩個(gè)數(shù)的因數(shù)，再找出它們的公因數(shù)，然后找出最大的一個(gè) 2）試除法：先找出較小的那個(gè)數(shù)的因數(shù)，從中找出另一個(gè)數(shù)的因數(shù)，再找出最大的一個(gè)。3. 約分的含義及方法 含義：把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)除以它們的公因數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變，這個(gè)過程叫作約分。 分子和分母只有公因數(shù) 1 的分?jǐn)?shù)，叫作最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。方法：（1）逐次約分法：用分?jǐn)?shù)的分子和分母的公因數(shù)（1 除外）逐次去除分子和分母，直到得出個(gè)最

2、簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。2）一次約分法：用分?jǐn)?shù)的分子和分母的最大公因數(shù)去除分子和分母。4. 公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的意義 幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的一個(gè)叫作最小公倍數(shù)。5. 求最小公倍數(shù)的方法： 1）列舉法：分別寫出兩個(gè)數(shù)各自的倍數(shù)，再找出它們的公倍數(shù)，然后找出最小的一個(gè)。 2）試除法：先找出較大的那個(gè)數(shù)的倍數(shù)，從找出另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，再找出最小的一個(gè)。6. 通分的含義方法1）含義：把幾個(gè)分母不同的分?jǐn)?shù)化成同分母且分?jǐn)?shù)值保持不變的分?jǐn)?shù)，這個(gè)過程叫作通分。2）方法：通分時(shí)，用原分母的公倍數(shù)作為公分母，通常選用最小公倍數(shù)作公分母。7. 比較分?jǐn)?shù)大小的方法1）畫圖比較法（ 2）通分比較法（3）同分

3、子比較法第二部分教材解讀知識(shí)點(diǎn)一公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義(0 12 =()“)=()=(MIX =()x()-( )x (-)x(ik檜力k遠(yuǎn)上填門知岡出有的GJIfc,它如峠二也嚴(yán)黑申榕杷井李濟(jì)切M1M彷凱優(yōu)甕 4扇果甘化也菲.片JL缶星襯 閔時(shí)MU： r遼卜過昨叫補(bǔ) .（作它昨酎忖卜亡如泮的最大必同kA知識(shí)點(diǎn)二求公因數(shù)和最大公因數(shù)的方法問題導(dǎo)入 找出16和24的公因數(shù)和最大公因數(shù)知識(shí)點(diǎn)三約分的含義叵一用分?jǐn)?shù)表示陰穆弗甘=請(qǐng)你農(nóng)下底中用卜"圈出4妁催iL円H 11團(tuán)出6旳係it,4的倍毀：6的倚靴：.疣誹有W天標(biāo)有”時(shí)議是, *il* 和 的倍施*也親是它們的門其申農(nóng)小的牡叫作它們

4、的 屮全借：tB知識(shí)點(diǎn)六求最小公倍數(shù)的方法問題導(dǎo)入 求8和10的最小公倍數(shù)知識(shí)點(diǎn)七比較分?jǐn)?shù)大小的方法it f 4占段hi囲忱的I樓巧洛族學(xué)爆汛的上地曲也*衣皿曲田禮示丹牛廿就，再比拭九小,5 J_乩圉上礦玄曲出.-> :.干觀丸化尿暫廿恂岡時(shí) 卉逹好比荻匹T威化成5? T <11刈訕 冷J丹逹療比罐知識(shí)點(diǎn)八通分的含義和方法將書和:通4 并與同學(xué)交濤你訥才出轄盤54柞爵#可說書6靱學(xué)的豪小 4林ft惰柞甘母第三部分課前熱身一、判斷題I. 5和7沒有最大的公因數(shù)（）2分子和分母都是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)，一定不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)（）3分子和分母都是奇數(shù)的分?jǐn)?shù)，一定是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)（）4.最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子一定小于分

5、母（）5分子和分母是兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)一定是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)（）6 分母是8的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有7個(gè)（ ）7.3和6的最小公倍數(shù)是12 （）8兩個(gè)不同自然數(shù)的最大公因數(shù)一定比最小公倍數(shù)?。ǎ?兩個(gè)自然數(shù)的乘積一定是這兩個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)（）10. 兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)一定比這兩個(gè)數(shù)大（）II. 兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)一定是這兩數(shù)的最大公因數(shù)的倍數(shù)（）12. 通分時(shí)，只能用兩個(gè)數(shù)或幾個(gè)數(shù)分母的最小公倍數(shù)作公分母（）13. 通分的依據(jù)是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)（）14. 兩個(gè)分?jǐn)?shù)通分后，都比原分?jǐn)?shù)大（）二、選擇題1既有公因數(shù)2,又有公因數(shù)3的一組是（）A15 和 6 B 27 和 28C12 和 18D16 和 302最

6、大公因數(shù)是1的一組是（ ）A15 和 5B11 和 12 C 38 和 20D100 和 23甲數(shù)是乙數(shù)的倍數(shù)，甲乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是（）A1 B甲數(shù) C乙數(shù) D甲乙兩數(shù)的乘積4兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1,最小公倍數(shù)是 35，這兩個(gè)數(shù)分別是（）A 5 和 7B15 和 20 C 35 和 5第四部分精講點(diǎn)撥考點(diǎn)一、用列舉法和圖解法解決復(fù)雜的找最大公因數(shù)的問題1. 一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng) 80dm,寬20dm?，F(xiàn)在把長(zhǎng)方形分成若干個(gè)正方形，要使正方形的邊長(zhǎng)盡可能的大，并且長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬沒有剩余，可以分成多少個(gè)正方形？考點(diǎn)二、用列舉法解決找三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的問題2. 有三根木棍分別長(zhǎng)12cm、18cm和30

7、cm，現(xiàn)在要把他們截成相等的小段，每根不許有剩余,每小段最長(zhǎng)是多少？ 一共可以截成多少段？考點(diǎn)三、用列舉法解決復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問題2533. £的分子和分母同時(shí)減去一個(gè)數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分得-，減去的數(shù)是多少?314考點(diǎn)四、用找公因數(shù)法解決復(fù)雜分?jǐn)?shù)的約分問題20062006200620064把 2005200520052005 約分考點(diǎn)五、用轉(zhuǎn)化法解決稍復(fù)雜的最小公倍數(shù)問題5些小朋友分組做游戲，第一次分組每組4個(gè)余下2個(gè)，第二次分組每組 5個(gè)也余下2個(gè)，你知道最少有多少個(gè)小朋友做游戲？考點(diǎn)六、用畫線段圖法解決復(fù)雜的植樹問題6要在小路一側(cè)種106棵梧桐樹，相鄰兩棵樹之間的距離原來是9m,現(xiàn)在要改

8、成相鄰兩棵樹之間的距離是15m,有多少棵樹不需要移動(dòng)？考點(diǎn)七、用“ 1減”或“減1 ”的方法解決復(fù)雜的分?jǐn)?shù)比較問題一 2004 匕 2005 帖+ ,7. 比較與的大小20052006考點(diǎn)八、用搭橋法解決復(fù)雜分?jǐn)?shù)大小比較問題11 158. 比較分?jǐn)?shù)和 的大小2329第五部分變式練習(xí)1如圖，街道ABCD在B , C處拐彎，在街道的一側(cè)要等距離的安裝路燈，要求在 A,B,C,D處各裝一盞路燈。這條街道最少要安裝多少盞路燈?2在一個(gè)長(zhǎng)30m,寬12m,的長(zhǎng)方形池塘的四角和四條邊上種樹，若相鄰兩顆樹之間的距離相等，最少 要種多少棵樹？每相鄰兩棵樹之間的距離是多少米？3把需聽、需約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)4. 晶晶沖

9、了兩杯糖水，第一杯放入10克紅糖，60克水。第二杯放入6克紅糖，50克水。哪杯糖水更甜一些?5.五（1）班在上科學(xué)實(shí)驗(yàn)課，無論把同學(xué)分成班至少有多少人？2人一組,3人一組或5人一組，都正好分完，五（6.一排電線桿，原來每?jī)筛g的距離是 30m，現(xiàn)在距離要改為45m，如果起點(diǎn)的一根電線桿不移動(dòng),至少要隔多遠(yuǎn)又有一根電線桿不移動(dòng)？如果這排電線桿共30根，那么有幾根不需要移動(dòng)?356427 417.比較分?jǐn)?shù)一和,和一的大小386753 838.四個(gè)分?jǐn)?shù)20082007200720082009200820082009其中最大的數(shù)是（）,最小的數(shù)是（）O第六部分過關(guān)檢測(cè)一、填空題：1 如果自然數(shù)A除以

10、自然數(shù)B商是17,那么A與B的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。2 最小質(zhì)數(shù)與最小合數(shù)的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。3 .能被5、7、16整除的最小自然數(shù)是（）。4. 5和12的最小公倍數(shù)減去（）就等于它們的最大公因數(shù)。91和13的最小公倍數(shù)是它們最大公因數(shù)的（）倍。5 已知兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是153，這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)是（）和（）。6. 甲數(shù)=2X 3X 5X乙乙數(shù)=2X 3X 11,甲乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（ ）。7. 3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是60,這三個(gè)數(shù)是（）、（）和（）。8 被2、3、5除，結(jié)果都余1的最小整數(shù)是（），最小三位整數(shù)是（）。9 一筐蘋果4個(gè)4

11、個(gè)拿，6個(gè)6個(gè)拿，或者8個(gè)8個(gè)拿都正好拿完，這筐蘋果最少有（） 個(gè)。10 三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是 42,這三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是（）。11. 三個(gè)不同質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是105，這三個(gè)質(zhì)數(shù)是（）、（）和（）。12. 自然數(shù)m和n，n= m+1, m和n的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。13. 把自然數(shù)a與b分解質(zhì)因數(shù)，得到 a=2x 5x 7X m b=3x 5 x m，如果a與b的最小公倍數(shù)是 2730，那么 m = （）。14. 三個(gè)數(shù)的和是 312，這三個(gè)數(shù)分別能被 7、8、9整除，而且商相同。這三個(gè)數(shù)分別是 （ ）、（ ）和（ ）。15. 已知（ A， 40）=8， A， 40=80 ，那

12、么 A=（）。二、判斷題1. 幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)是無限的，最小的只有一個(gè).（）2. 兩個(gè)不同的自然數(shù)的最大公因數(shù)一定比最小公倍數(shù)小.（）3. 如果三個(gè)自然數(shù)兩兩互質(zhì)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)就是三個(gè)數(shù)的乘積。（）4. 如果一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)不是互質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)合數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù). （ ）5. 一個(gè)數(shù)的因數(shù)必定小于它的倍數(shù).（）三、選擇題1 . 96 是 16 和 12 的（ ）公倍數(shù) 最小公倍數(shù) 公因數(shù)2. 幾個(gè)質(zhì)數(shù)的連乘積是（）合數(shù) 質(zhì)數(shù) 最大公因數(shù) 最小公倍數(shù)3. 甲是乙的 15倍，甲和乙的最小公倍數(shù)是（）15甲 乙 甲x乙4. 12 是 24 和 36 的（ ）因數(shù) 質(zhì)因數(shù)5

13、. 一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)（v最大公因數(shù)）它的最小倍數(shù).二6. 成為互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)（）.沒有公因數(shù)只有公因數(shù)1 兩個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)都是質(zhì)因數(shù)7.下列各數(shù)中與 18 互質(zhì)的數(shù)是（）. 21 40 25188.下列各組數(shù)中，兩個(gè)數(shù)互質(zhì)的是（）.17和5152和9124 和 25 11和 227，它們的最大公因數(shù)的質(zhì)因數(shù)里應(yīng)該9. 甲數(shù)的質(zhì)因數(shù)里有 1 個(gè) 7，乙數(shù)的質(zhì)因數(shù)里沒有 ）.有一個(gè) 7沒有 7不能確定10. 甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是7，甲數(shù)的 3 倍與乙數(shù)的5 倍的最大公約數(shù)（肯定是 7肯定不是 7不能肯定四、用短除法求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。32 和 2412和 1872和 4878

14、和 39、15 和 2012、60 和 183、4 和 54、8 和 16五、解決下列的問題：1有三根鐵絲，一根長(zhǎng) 18 米，一根長(zhǎng) 24米，一根長(zhǎng) 30 米。現(xiàn)在要把它們截成同樣長(zhǎng) 的小段。每段最長(zhǎng)可以有幾米？一共可以截成多少段？2一張長(zhǎng)方形紙， 長(zhǎng) 60 厘米， 寬 36 厘米， 要把它截成同樣大小的長(zhǎng)方形， 并使它們 的 面積盡可能大，截完后又正好沒有剩余，正方形的邊長(zhǎng)可以是多少厘米？能截多少個(gè)正方 形？3用 96 朵紅玫瑰花和 72 朵白玫瑰花做花束。若每個(gè)花束里的紅玫瑰花的朵數(shù)相同， 白玫瑰花的朵數(shù)也相同，最多可以做多少個(gè)花束？每個(gè)花束里至少要有幾朵花？（ 1）最多可以做多少個(gè)花束2

15、）每個(gè)花束里有幾朵紅玫瑰花3）每個(gè)花束里有幾朵白玫瑰花4）每個(gè)花束里最少有幾朵花4公共汽車站有三路汽車通往不同的地方。第一路車每隔5 分鐘發(fā)車一次，第二路車每隔 10 分鐘發(fā)車一次，第三路車每隔 6 分鐘發(fā)車一次。三路汽車在同一時(shí)間發(fā)車以后，最 少過多少分鐘再同時(shí)發(fā)車？5某廠加工一種零件要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成3 個(gè)；第二道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成 12 個(gè)；第三道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成 5 個(gè)。要使流水線 能正常生產(chǎn)，各道工序每小時(shí)至少安排幾個(gè)工人最合理？6有一行數(shù)： 1， 1，2，3，5， 8，13， 21，34，55, ，從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都 是前兩個(gè)數(shù)的和，在前 100 個(gè)數(shù)中，偶數(shù)有多少個(gè)？7一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是自然數(shù)，面積是36 平方米，這樣的形狀不同的長(zhǎng)方形共有多少種？8一種長(zhǎng)方形的地磚，長(zhǎng) 24 厘米，寬 16 厘米，用這種磚鋪一個(gè)正方形，至少需多少 塊磚？9一塊長(zhǎng)方形鐵皮 ,長(zhǎng) 96厘米,寬 80厘米,要把它剪成同樣大小的正方形且沒有剩余 這種正方形的邊長(zhǎng)最大是多少 ?被剪成幾塊 ?10已知某小學(xué)六年級(jí)學(xué)生超過 100 人，而不足 140 人。將他們按每組 12 人分組，多3 人；按每組 8 人分，也多 3 人。這個(gè)學(xué)校六年級(jí)學(xué)生多少？11有四個(gè)小朋友，他們的年齡一個(gè)比一個(gè)大一歲，四個(gè)人