離散型隨機變量的期望與方差(同步)

1、入智康1對 !同步課程.離散型隨機變量的期望與方差離散型隨機變量的期望與方差（同步）離散型隨機變量的期望與方差1. 離散型隨機變量的期望公式是什么，它反映了什么？E(X) X1P1 X2P2 L XnPn離散型隨機變量的數(shù)學期望刻畫了這個離散型隨機 變量的平均取值水平.2. 離散型隨機變量的方差公式是什么，它反映了什么？_ 2_ 2_ 2D(X) (x E(x) Pi (X2 E(x) P2 L (Xn E(x) Pn離散型隨機變量的方差反映了離散隨機變量的取值相對于期望的平均波動的大小(離散程度).3. 二項分布的的期望與方差分別是什么？若離散型隨機變量x服從參數(shù)為n和P的二項分布，則E(X

2、) nP D(x) nPq(q 1 p) nflBBB2 / 33，智康1對 1同步課程.離散型隨機變量的期望與方差知識講解離散型隨機變量的期望與方差1. . 離散型隨機變量的數(shù)學期望定義：.一般地，設一個離散型隨機變量 X所有可能 的取的值是xl, x2,，xn,這些值對應的概率是pl, p2 , pn ,則E(X) Xp1 X2p2 L叫做這個離散型隨機變量X 的 均值或數(shù)學期望(簡稱期望).離散型隨機變量的數(shù)學期望刻畫了這個離散型 隨機變量的平均取值水平.2. 離散型隨機變量的方差一般地，設一個離散型隨機變量X所有可能取的值是x1 , x2,，xn,這些值對應的概率是P1, p2,，Pn

3、 , 則 D(X) (X, E(x)2Pi (x2 E(x)2P2 L (xn E(x)2Pn 叫做這個離散型隨機 變量X的方差.離散型隨機變量的方差反映了離散隨機 變量的取值相對于期望的平均波動的大小(離散程 度).D(X)的算術平方根而而叫做離散型隨機變量X的標準差， 它也是一個衡量離散型隨機變量波動大小的量.3. X為隨機變量，a,b為常數(shù)，則 一一一2一 E(aX b) aE(X) b,D(aX b) aD(X)，4.典型分布的期望與方差：口口 口口 o 3 / 33人智康1對(1)二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量、,香 邨 1同步課程.離散型隨機八、分布試驗中，離散型隨

4、機變量 X的期望取值為np .(2)二項分布：若離散型隨機變量X服從參數(shù)為 n和p的二項分布，則 E(X) np ,D(x) npq (q 1 p).(3)超幾何分布：若離散型隨機變量 X服從參數(shù)為N , M , n的超幾何分布,則e(x)皿，d(x)n(N n)(N M)MNN (N 1)題型一選擇填空【例1】下面說法中正確的是()A.離散型隨機變量的期望E反映了取值 的概率的平均值B,離散型隨機變量的方差D反映了取值 的平均水平C.離散型隨機變量 的期望E )反映了 取值的平均水平D.離散型隨機變量的方差D反映了取值 OQBBBB4 / 33口匚的概率的平均值【例2】投擲1枚骰子的點數(shù)為(

5、 ),則的數(shù)學期望為/，智康1對 同步課程.離散型隨機A.3B.變量的期色方差D. 4.5【例3】已知隨機變量X的分布列為X123P0.40.2:0.4則D(X)等于()A. 0 B. 0.8 C. 2 D. 1【例4隨機變量 的分布列如下：101Pb其中a, b,c成等差數(shù)列，若E 1.則D的值 3是. 1同步課程.離散型隨機【例5】樣本共有五個個體，其值分別懣量的期教攏靜本的均值為1,則樣本方差為（D. 2【例6】某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：17 (3,90(.1i.30已知的期望E 8.9，則y的值為題型二、綜合題【例7】編號1,2,3的三位學生隨意入座編號為1 5 2, 3的三 個

6、座位，每位學生坐一個座位，設與座位編 號相同的學生的個數(shù)是X 求隨機變量X的概率分布;求隨機變量X的數(shù)學期望和方差./ QQ:# / 33人智康1對 Bl同步課程.離散型隨機變量的期望與方差【例8】學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每2個球，（每次游3個白球次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出 若摸出的白球不少于2個，則獲獎. 戲結束后將球放回原箱）（I）求在1次游戲中，（i）摸出的概率；（ii）獲獎的概率;（n ）求在2次游戲中獲獎次數(shù)x的分布列及數(shù)學期望E（X）.【來源】（2011天津理）a / qq 8 /

7、33口匚人智康1對 Bl同步課程.離散型隨機變量的期望與方差【例9】某校組織 上海世博會”知識競賽.已知學生答對 第一題的概率是0. 6,答對第二題的概率是 0.5,并且他們回答問題相互之間沒有影 響.（I）求一名學生至少答對第一、二兩題 中一題的概率；（H）記 為三名學生中至少 答對第一、二兩題中一題的人數(shù)，求 的分布 列及數(shù)學期望e .【來源】（2011年豐臺區(qū)期末理）u ooo UOOO O# / 33人智康1對 Bl同步課程.離散型隨機變量的期望與方差【例10】甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試）面 試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格 就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就 一

8、同簽約，否則兩人都不簽約.設每人面試 合格的概率都是1,且面試是否合格互不影2響.求簽約人數(shù)的數(shù)學期望./ 。，11 /33,口口口口|:人智康1對 Bl同步課程.離散型隨機變量的期望與方差【例11】某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A 成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的考試.已 知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科 目成績均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這 項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為 2 ,科目b每次考試成績合格的概率均為1 .假設各次考試成績合格與否均互不影響.在這 項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機 會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學期 望E .【來源】（200

9、8福建） LJ口口cc JBODBOU 11 / 33口 口人智康1對 1同步課程.離散型隨機變量的期望與方差【例某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采 用的付款期數(shù)的分布列為1234P0.40.20.20.10商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤 為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元； 分4期或5期付款，其利潤為300元.表示經(jīng)銷 一件該商品的利潤.(1)求事件A：購買該商品的3位顧客中，至少 有1位采用1期付款”的概率P(A)； .， CC12 / 33口口UOOO O人智康1對 BI同步課程.離散型隨機(2)求的分布列及期望E變量的期望與方差【例13】在某次測試中，甲、

10、乙、丙三人能達標的概率分 別為0.4, 0.5, 0.8,在測試過程中，甲、乙、丙 能否達標彼此間不受影響.(1)求甲、乙、丙三人均達標的概率；率;(2)求甲、乙、丙三人中至少一人達標的概 13 / 33口口人智康1對 BI同步課程.離散型隨機(3)設x表示測試結束屣廝授樨鳴罅塞人數(shù)之差的絕對值，求X的概率分布及 數(shù)學期望EX .I例某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)則是：從裝有9 個白球、1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一 個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲 得獎金10元；摸出兩個紅球可獲得獎金50元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令X表示甲、斐摩的搦建身舞蕤的 獎金總額.求:

11、(1) X的概率分布；(2) X的期望.UOOO Onoo*-1仿/33人智康1對 1同步課程.離散型隨機【例15】A,B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是a,a,a, B隊隊員是巳,民,民,按 以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下：對員 隊 陣A隊隊員勝的 概率變量的Si望隊員負的概率A對21Bi33A2對23B255入對23B355與方差現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分.設A隊、B隊最后總分分別為 期望.B17 / 33口匚人智康1對 1同步課程.離散型隨機【例16】下圖是某市3月1日至14日矍靜醒膛揶奔熱 LJ 口口”19 / 33口圖，空氣質量

12、指數(shù)小于100表示空氣質量優(yōu)良 空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.(I )求此人到達當日空氣重度污染的概率20015010050 空氣質量指數(shù)(n )設X是此人停留期間空氣質量優(yōu)良的天 數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望；(m)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質 量指數(shù)方差最大？(結論不要求證明)【來源】(2013北京高考)人智康1對 Bl同步課程.離散型隨機變量的期望與方差【例17】甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得 比賽的勝利，比賽隨即結束,除第五局甲隊獲u ooo LJOOO O21 / 33入智康 1同步課程.離散

13、型隨機勝的概率是2外，其余每展匾的期蛭腑第既 率都是I，假設各局比賽結果相互獨立.(I )分別求甲隊以3:0,3:1,3:2 勝利的概率；(n)若比賽結果為3:0或3:1,則勝利方得3 分,對方得0分;若比賽結果為3:2,則勝利方得2 分、對方得1分.求乙隊得分x的分布列及數(shù)學期 望.【來源】(2013山東卷理) O O，(- -I. J .21 / 33 金入智康1對 1同步課程.離散型隨機變量的期望與方差33UOOO O ooo 25 / 33-J隨堂練習【練1】某班有甲、乙兩個學習小組，兩組的人數(shù)如下:現(xiàn)采用分層抽樣的方法(層內采用簡單隨機抽樣) 從甲、乙兩組中共抽取3名同學進行學業(yè)檢測

14、.(I )求從甲組抽取的同學中恰有1名女同學的概率；(H)記X為抽取的3名同學中男同學的人數(shù)，求隨 機變量X的分布列和數(shù)學期望.【來源】(2013西城一模理)33人智康1對 Bl同步課程.離散型隨機變量的期望與方差【練2】某班聯(lián)歡會舉行抽獎活動，現(xiàn)有六張分別標有 1, 2, 3, 4, 5, 6六個數(shù)字的形狀相同的卡片， 其中標有偶數(shù)數(shù)字的卡片是有獎卡片，且獎 品個數(shù)與卡片上所標數(shù)字相同，游戲規(guī)則如 下：每人每次不放回抽取一張，抽取兩次.(I )求所得獎品個數(shù)達到最大時的概率；(H )記獎品個數(shù)為隨機變量x ,求x的分布列及數(shù) 學期望.C. 3 5D. 4 5【來源】(2013東城一模理)33

15、UOOO O人智康1對 Bl同步課程.離散型隨機變量的期望與方差【練3】在某大學自主招生考試中，所有選報II類志向的 考生全部參加了 “數(shù)學與邏輯”和“閱讀與 表達”兩個科目的考試，成績分為A,B,C,D,E 五個等級.某考場考生兩科的考試成績的數(shù) 據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)學與邏輯”科 目的成績?yōu)锽的考生有10人.(I)求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；(H)若等級A, B, C, D, E分別對應5分，4分，3 分，2分，1分.(i)求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分；(ii)若該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10 分，2人9分，6人8分.從這10人中隨機抽取兩

16、人，求兩人成績之和的分布列和數(shù)學 期望.97 /。 27 / 33口匚，智康1對 1同步課程.離散型隨機【來源】（2013海淀一模理） LJ 口口 口 CC , CC 28 / 33口 口人智康1對 Bl同步課程.離散型隨機變量的期望與方差【練4】一個盒子中裝有5張卡片，每張卡片上寫有一個 數(shù)字，數(shù)字分別是1、2、3、4、5,現(xiàn)從盒子 中隨機抽取卡片.(I)從盒子中依次抽取兩次卡片，每次抽取一張， 取出的卡片不放回，求兩次取到的卡片的數(shù)字都為奇 數(shù)或偶數(shù)的概率；(n)若從盒子中有放回的抽取 3次卡片，每次抽取 一張，求恰有兩次取到卡片的數(shù)字為奇數(shù)的概率；(田)從盒子中依次抽取卡片，每次抽取一張

17、，取出 的卡片不放回，當取到記有奇數(shù)的卡片即停止抽取， 否則繼續(xù)抽取卡片，求抽取次數(shù)X的分布列和期望.B.I AU BC.I BU eI AD.I AU eI Buooo ou ooo # / 33【來源】(2011昌平二模理16)人智康1對 Bl同步課程.離散型隨機變量的期望與方差33UOOO O入智康1對 1同步課程.離散型隨機變量的期望與方差J課后作業(yè)I題1】同時拋擲兩枚相同的均勻硬幣，隨機變量1表示結果中有正面向上，0表示結果中沒有正面向上，則E , D .【題2】已知離散型隨機變量X的分布如下表.若 E X 0 , D X 1,貝a =b = 1-01112uooo o oooo noa3 Da _ _ _ q31 / 33 .亙口口.人智康1對 Bl同步課程.離散型隨機變量的期望與方差【題3】在某校組織的一次籃球定點投籃比賽中，兩人一 對一比賽規(guī)則如下：若某人某次投籃命中， 則由他繼續(xù)投籃，否則由對方接替投籃.現(xiàn)由甲、乙兩人進行一對一投籃比賽，甲和乙 每次投籃命中的概率分別是1, 1.兩人共投籃3次，且第一次由甲開始投籃.假設每人每次投籃命中與否均互不影響.(1)