三角形全等之手拉手模型、倍長中線、截長補短法、旋轉(zhuǎn)、尋找三角形全等方法歸納總結(jié)材料

1、實用標準文檔一、手拉手模型要點一：手拉手模型特點：由兩個等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點為公共頂點結(jié)論：(1) ABDAEC (2) / a+/ BOC=180例1.如圖在直線 ABC的同一側(cè)作兩個等邊三角形 AABD與ABCE,連結(jié)AE與CD,證 明(1) MBE -ADBC上(2) AE -DC EAE與DC之間的夾角為60 口(4)；：AGB 三；：DFB/干 二EGB 三 CFB/(6) BH 平分 AHC GF AC1；文案大全變式精練1：如圖兩個等邊三角形 AABD與ABCE,連結(jié)AE與CD ,證明(2)(1) ABE 三 DBC AE =DC(3)AE與DC之間的夾角為6

2、0AE與DC的交點設為H , BH平分/ AHC變式精練2：如圖兩個等邊三角形 AABD與ABCE,連結(jié)AE與CD,證明(2)(1) ABE 三 DBCAE - DC(3)AE與DC之間的夾角為60(4)AE與DC的交點設為H , BH平分/AHC2：如圖，兩個正方形 ABCD與DEFG，連結(jié)AG,CE,二者相交于點H問：(1) AADG與ACDE是否成立?(2)(3)(4)AG是否與CE相等？AG與CE之間的夾角為多少度?HD是否平分/AHE ?例3：如圖兩個等腰直角三角形 ADC與EDG ,連結(jié)AG,CE ,二者相交于點H問：(1) &ADG與&CDE是否成立?(2)(3)

3、(4)AG是否與CE相等？AG與CE之間的夾角為多少度?HD是否平分/AHE ?例 4：兩個等腰三角形 AABD 與 ABCE,其中 AB = BD ,CB = EB, NABD =N CBE =a ,連結(jié)AE與CD ,問：(1) AABE三ADBC是否成立？(2) AE是否與CD相等？"(3) AE與CD之間的夾角為多少度？(4) HB是否平分/AHC?EB二、倍長與中點有關的線段倍長中線類?考點說明：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線， 倍長中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長度的線段，從而達到將條件進行轉(zhuǎn)化的目的。1【例1】 已知： MBC中，AM是中線.求證： AM <

4、;-(AB +AC).【練1】在 ABC中，AB=5,AC=9,則BC邊上的中線 AD的長的取值范圍是什么?【練2】如圖所示，在 MBC的AB邊上取兩點E、F ,使AE = BF ,連接CE、CF ,求 證：AC +BC >EC +FC .【例2】 如圖，已知在 MBC中，AD是BC邊上的中線， E是AD上一點，延長 BE交AC 于 F , AF =EF ,求證：AC =BE .【練1】如圖，已知在 MBC中，AD是BC邊上的中線， E是AD上一點，且 BE = AC , 延長BE交AC于F ,求證：AF =EF【練2】如圖，在 iABC中，AD交BC于點D ,點E是BC中點，EF /A

5、D交CA的延長 線于點F ,交 AB于點G ,若BG =CF ,求證： AD為AABC的角平分線.【練3】如圖所示，已知AABC中，AD平分工BAC , E、F分別在BD、AD上.DE=CD, EF =AC .求證：EF / AB【例3】 已知AM為MBC的中線，ZAMB , /AMC的平分線分別交 AB于E、交AC于 F .求證：BE +CF >EF .【練1】在RtMBC中，F(xiàn)是斜邊 AB的中點， D、E分別在邊 CA、CB上，滿足 /DFE =90*.若AD =3 , BE =4 ,則線段DE的長度為 .實用標準文檔【練2】在9BC中，點D為BC的中點，點M、N分別為AB、AC上的

6、點，且MD _L ND . (1)若/A=90©,以線段BM、MN、CN為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，該三 角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？2222. .212_ 2(2)如果 BM +CN =DM +DN ，求證 AD2 =；(AB2 十AC2 ).【例4】 如圖所示，在 MBC中，AB =AC ,延長AB至iJ D ,使BD4B , E為AB的中點, 連接 CE、CD ,求證 CD =2EC .【練1】已知 MBC中，AB =AC , BD為AB的延長線，且 BD = AB, CE為AABC的AB 邊上的中線.求證：CD =2CE全等之截長補短： 人教八年級上冊課本中，

7、在全等三角形部分介紹了角的平分線的性 質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應用.而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方1.如圖所示，&ABC中，/C =90°,2B =45° , AD平分/BAC交BC于實用標準文檔AE+CD=AC 。如圖所示，在 AABC中，/B=60°, AABC的角平分線 AD、CE相交于點 O。求證:2 .如圖所示，已知 /1=/2, P為BN上一點，且/BAP +/BCP =180°。文案大全3 .如圖所示，在 RtMBC 中，AB=AC , /BAC=900, /ABD=/CBD, CE 垂直于BD的延長線于

8、 E。求證:BD=2CE 。5如圖所示，在 AABC中，/ABC=900, AD為/BAC的平分線，/C=30°, BE _L AD 于 E 點，求證:AC-AB=2BE 。6 .如圖所示，已知 AB/CD , NABC,NBCD的平分線恰好交于 AD上一點巳求證：BC=AB+CD。7 .如圖，E是/AOB的平分線上一點， EC_LOA, ED_LOB,垂 足為 C、Do 求證：(1) OC=OD ; (2) DF=CF。三、截長補短問題1:垂直平分線（性質(zhì)）定理是 問題2 :角平分線（性質(zhì)）定理是問題3:等腰三角形白兩個底角 ，簡稱;如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也

9、,簡稱.問題4:當見到線段的 考慮截長補短，構(gòu)造全等或等腰轉(zhuǎn)移 、車移,然后和 重新組合解決問題.三角形全等之截長補短（一）一、單選題（共4道，每道25分）1.已知，如圖，BM平分/ABC P為BML上一點，PDL BC于點D, BD=AB+C D或長法）證明，如圖，在g匚上截取白E=艮工連接PE在ZVMF和£且F中 'AB=ES, Z1 = Z2SF= BP:(SAS)CD=ED:FD l BC . PE=PC請你仔細觀察下列序號所代表的內(nèi)容：平分443C，二一；/ 仁/2;/A=Z B EF> AP=PE; BD = AB + CD，N3 = ZPCD 'B

10、DAB+CD .'.BDBE + ED VZ5£f+Z3= 180° ：.BE + EE); AB + CD ，= W + C。；，ZSAP+Z3 = lgO°；AZ3 = ZfCCVZBSF+Z3 = 18O°，Zfi/P+ZBCF = 1SO 口以上空缺處依次所填最恰當?shù)氖?)A.B.C.D. 2.已知，如圖，BM平分/ABC點P為BML上一點，PDL BC于點D, BD=AB+D C 求證：/ BAP廿 BCP=180 .切平花.Z1=Z2在Eb和中'BE = BD，Z1 = Z2BP= BP:'BE0Zl>F （SA

11、S）在Af小和乙干節(jié)匚中rPE=PD1 "&4 ZFTC_AE = CD二FE$連凸嚴口口 (SAS)/. ZC=ZPAE,/Z4?-Z/;jr=£Oe.Z5J1P-ZJBCP=1SO3請你仔細觀察下列序號所代表的內(nèi)容：延長BA,過點P作PEBA于點E;延長BA到E,使AE=DC連接PE;'：BD = BA+CD '：BD=BA+CD延長BA到E,使DC=AE， BD = BA+AE - BE ；:RL）二 BE/. PE = PD, £PEA 二4PDB 'SPD1BC"PRE = 98/. ZPQC = 90°

12、;二 .以上空缺處依次所填最恰當?shù)氖牵ǎ?PE二 PD, /P£A = /PDB 二 PDLBG：.ZPDB = J/PDC = 90Q，a4 = 90。A.B. C.D.BC+DE=CD3 .已知，如圖，在五邊形 ABCD中,AB=AE AD平分/ CDE / BAE=Z CAD求證:'.4D 平分2(?£|£二 Z 1=2在a#。和乙小。中AD = AD，Z1 = Z2DP-DR；,d在的瓜a£D (SAS)在甌和d4FC巾 AS= AF，Z6 = Z5AC = AC/. 4錯04玨七($A$).,.BC-CF.'.BC-DE=CF-

13、DF=Cl>請你仔細觀察下列序號所代表的內(nèi)容：在CD上截取CF=CB連接AR在DC上截取DF=DE連接AF;在 DC上截取 DF=DE AE=AF AF=AE Z 4=Z 3;Z 4=Z 3;'AB = AE'AB = AE'ZBAE=2ZCAD：,AB = AF：.AB = AF'BAS = 2/CAO： £CAD = Z3+Z6JZ4 = Z3 £CAD = Z3+Z67NCAD = N3+/6即/4+/5 二/3+/6即 N4+/5 = N3+/6二 J/5 = N6，N5 = /6以上空缺處依次所填最恰當?shù)氖牵ǎ〢.B.C.D.

14、4 .已知，如圖，在五邊形 ABCD中,AB=AE / BAE=N CAD / ABC+ AED=180 ,求證：BC+DE=CD工"”0d即tSAi>-Z2-Z3, JC-JF在凸匚加用上鼻£>金角 口3D- ADAC.JDS2Af.JD (SAS)請你仔細觀察下列序號所代表的內(nèi)容：延長DE至IF,使EF=BC連接AF;延長DE至1F,使BC=EF: 43（7+/。= 180" Nl+乙超口二儂口延長DE至IF,連接AF;:ZABC=ZA:上RAE ="A口：.ACAD= Z2 +Z4 ZCAD = Z2+Z4 = N3+/4=Z3+Z47

15、£ABC =Z1；®即NCAD二£FAD ；®Z,Z.CAD = NFAD ：,CD = DF'：DF = DB+EF /.CD = DFEF = BC "F = £ + ££.EF= DE+BC =DE+SCmDE = 5 ； ®：.BC+DE = CD 以上空缺處依次所填最恰當?shù)氖牵ǎ〢.B.C.D.BA ,則/ PBP/的度數(shù)是四、三角形全等旋轉(zhuǎn)與截長補短專題問題一：題中出現(xiàn)什么的時候，我們應該想到旋轉(zhuǎn)？(構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件)問題二：旋轉(zhuǎn)都有哪些模型？例1 如圖，P是正 ABC內(nèi)的一點，若將 P

16、BC繞點B旋轉(zhuǎn)到 P/()A. 45°B, 60°C. 90°D. 120°例2如圖，正方形BAFE與正方形 ACGD共點于A,連接BD、CF , 求證：BD=CF并求出/ DOH的度數(shù)?！纠?】 如圖，正方形 ABCD中，/ FAD = / FAE 。求證：BE+DF =AE。BEC1 .題干中出現(xiàn)對圖形的旋轉(zhuǎn) 一一現(xiàn)成的全等2 .圖形中隱藏著旋轉(zhuǎn)位置關系的全等形一一找到并利用3 .題干中沒提到旋轉(zhuǎn)，圖形中也沒有旋轉(zhuǎn)關系存在一一通過作輔助線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)！【例4】已知：如圖：正方形 ABCD中，/ MAN = 45° , / MAN的兩邊分別交 C

17、B、DC于點M、N。求證：BM+DN=MNo【例5】如圖，正方形ABCD中，/EAF = 45°,連接對角線+ BM2= MN2BD交AE于M,交AF于N,證明：DN2【例6】如圖，已知 OAB和OCD是等邊三角形，連結(jié) AC和BD,相交于點 E, AC和BO交于 點F,連結(jié)BC。求/ AEB的大小?！纠?】如圖所示： ABC 中，/ACB = 90°, AC = BC, P 是 ABC 內(nèi)的一點，且 AP=3, CP=2, BP= 1,求/ BPC的度數(shù)。本課總結(jié)問題一：題中出現(xiàn)什么的時候，我們應該想到旋轉(zhuǎn)？（構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件）1 .圖中有相等的邊（等腰三角形、等邊三角形、

18、正方形、正多邊形）2 .這些相等的邊中存在共端點。3 .如果旋轉(zhuǎn)（將一條邊和另一條邊重合），會出現(xiàn)特殊的角：大角夾半角、手拉手、 被分割的特殊角。問題二：旋轉(zhuǎn)都有哪些模型？構(gòu)造旋轉(zhuǎn)輔助線模型：1 .大角夾半角2 .手拉手（尋找旋轉(zhuǎn)）3 .被分割的特殊角測試題1 .如圖，P是正 MBC內(nèi)的一點，且 BP是/ ABC的角平分線，若將 APBC繞點P旋轉(zhuǎn)到 用BA ,則/PBP'的度數(shù)是（）B. 60°C. 90°D. 120A. 45FBCBC中，AB = AC, BC為最大邊，點 D、E分別在BC、AC上，BD=CE, F為BA延長線 上一點，BF = CD,則下列正

19、確的是（）A. DF = DEB. DC = DFC. EC= EAD,不確定3 .如圖，四邊形 ABCD中，/ ABC =30 °, Z ADC = 60 °, AD = DC ,則下列正確的是（）A. BD2=AB2+BC2B, BD2vAB2+BC2C, BD2>AB2 + BC2 D,不確定4 .已知ABC中，/ACB =90° , CD _LAB于D , AE為角平分線交 CD于F,則圖中的直 角三角形有（）A. 7個B. 6個C. 5個D. 4個5 .如圖，DAAB, EAXAC, AD=AB, AE=AC,則下列正確的是（）A. ABDACEB

20、. ADFAES ADCABEC. ABMF CMS卜列一定正確的是D.)6.如圖，已知P為正方形 ABCD的對角線AC上的一點（不與A、C重合），PEBC與點 E,PF±CD 與點F,若四邊形 PECF繞點C 逆時針旋轉(zhuǎn)，連結(jié) BE、DF,則A. BP= DPB.BE2+ EC2= BC2C.BP= DFD.BE=DF7.如圖，等腰直角4的是（）A. BE= DCADB與等腰直角 AEC共點于B. AD / CEC.A,連結(jié)BEXCEBE、則下列一定正確BE=CED.AFC共點于A,連接BF、CE ,則ZEOB的度數(shù)為（）8.如圖，等邊三角形ABE與等邊三角形A. 45°

21、 B. 60°C. 90°D. 120°9.如圖，在四邊形 ABCD中，AB=AD, /B=/D=90）E、F分別是邊BC、CD上1的點，且/ EAF =一/ BAD 。則下列一定正確的是2A. EF=BE+FDB.C. EF <BE+FDD.EF BE FDEF2 =BE2 FD210.在正方形 ABCD 中，BE=3, EF = 5, DF = 4,則/ BAE + Z DCF 為()A. 45°B. 60°C. 90°D. 120DC五、尋找全等三角形的幾種方法利用全等三角形的性質(zhì)可以證明分別屬于兩個三角形中的線段或角相等

22、.在證明線段或角相等時，解題的關鍵往往是根據(jù)條件找到兩個可能全等的三角形，再證明這兩個三角形全等，最后得出結(jié)論.下面介紹尋找 全等三角形的幾種方法，供同學們參考.一、利用公共角例 1 如圖 1, AB = AC, AE = AF.求證：Z B =/C.分析：要證明/ B =/C,只需證明 BOEA COF或ABF0ACE.而由圖形可知/ A是公共角，又由 已知條件 AB = AC, AE= AF,所以 ABFA ACE,于是問題獲證.二、利用對頂角（題目中的隱含條件）例2如圖2, B、E、F、D在同一直線上，AB = CD, BE = DF , AE = CF,連接 AC交BD于點O. 求證：

23、AO = CO.分析：要證明 AO = CO,只需證明 AOEA COF或AOB/COD即可.根據(jù)現(xiàn)有條件都無法直接證明.而由已知條件 AB =CD, BE = DF, AE = CF可直接證明 ABEA CDF ,貝U有/AEB=/CFD, 進而有/ AEO =/CFO,再利用對頂角相等，即可證明。三、利用公共邊（題目中的隱含條件）例 3 如圖 3, AB = CD, AC = BD,求證：/ B =/C.分析：設 AC與BD交于點 O,此時/ B與/ C分別在 AOB和 DOC中，而用現(xiàn)有的已知條件是不可 能直接證明這兩個三角形全等的，需添加輔助線來構(gòu)造另一對全等三角形.此時可以連接AD,

24、那么 AD是4ABD和 DCA的公共邊，這樣可以證明 ABDADCA.ABCD的對角線 BEC =/ DFA,AC上的兩點，AF = CE.求證：BE/DF.此時可以轉(zhuǎn)換為證明/ AEB =Z CFD,進而證明 AEB四、利用相等線段中的公共部分例4如圖4, E、F是平行四邊形分析：要證明 BE/ DF,只需證明/CFD.圖4五、利用等角中的公共部分例 5 如圖 5,已知/ E = 30° , AB = AD, AC = AE, / BAE=/DAC.求/ C 的度數(shù).分析：已知/ E = 30° ,要求/ C,可考慮證明 ABCA ADE,由/ BAE = / DAC,結(jié)合圖形可知/ BAC = / DAE,于是問題獲解.六、利用互余或互補角的性質(zhì)考點：同角或等角的余角相等例6如圖6,已知/ DCE = 90° , ZDAC = 90° , BEX AC于B,且 DC = EC,能否找出與 AB+AD相 等的線段，并說明理由.分析：由于AC = AB+BC,可以猜想 AC = AB+AD,或BE = AB+AD,此時只需證明