直線傾斜角和斜率優(yōu)秀教案

1、資源信息表標題：11.2直線的傾斜角和斜率關(guān)鍵詞：直線、傾斜角、斜率描述：教學目標理解傾斜角與斜率的概念；建立傾斜角、斜 率與直線方向向量、法向量的關(guān)系；認識事物問 聯(lián)系的本質(zhì)，體會用聯(lián)系的觀點看問題.教學重點與難點直線的傾斜角、斜率的概念；已知傾斜角、斜率、方向向量中的一個，求 其它兩個.學科：高二年級 數(shù)學第二冊 11.2語種：漢語媒體格式：教學設計.doc學習者：學生資源類型：文本類素材教育類型：高中教育 高中二 年級作者：單位：地址：Email:11.2 直線的傾斜角和斜率1、 教學內(nèi)容分析本節(jié)的重點是直線傾斜角和斜率的概念. 引入斜率和傾斜角是為了刻畫直線和X軸間的相對位置關(guān)系，是由

2、于進一步研究直線方程的需要. 在直線傾斜角和斜率學習過程中，要引導學生理解傾斜角與斜率的相互聯(lián)系，以及它們與三角函數(shù)知識的聯(lián)系 .本節(jié)的難點是當斜率為負值或斜率不存在時，求直線的斜率；弄清傾斜角、斜率與直線方向向量、法向量的聯(lián)系，已知其中一個，會求其它三個.2、 教學目標設計理解傾斜角與斜率的概念; 建立傾斜角、斜率與直線方向向量、法向量的關(guān)系；認識事物間聯(lián)系的本質(zhì)，體會用聯(lián)系的觀點看問題.三、教學重點及難點直線的傾斜角、斜率的概念以及它們之間的關(guān)系；已知傾斜角、斜率、方向向量中的一個，求其它兩個四、教學用具準備投影儀，ppt演示 五、教學流程設計六、教學過程設計一、復習引入第一節(jié)中，我們學習

3、了一次方程 ax +by+ c = 0（a,b不全為0）是 直線的方程，即可以用方程這個代數(shù)形式描述直線這個幾何曲 線.任意兩條直線都可以構(gòu)成角，為了把它代數(shù)化，我們用第三 條直線去交這兩條直線，如果知道它們各自與第三條直線所交 成的角，那么它們構(gòu)成的角就可以算出.我們?nèi)軸作為第三條直線，考慮任意直線與x軸構(gòu)成的角.二、講授新課1、概念引入什么是傾斜角？給出一些與x軸相交的直線(如y =x-1,y = -x-1,x=1),學 生對照圖形，給出傾斜角的定義，教師幫助規(guī)范語言，完善概 念.若直線l與x軸相交于點M ,將x軸繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn) 至與直線l重合時所成的最小正角0t叫做直線l的傾斜角

4、.那么y =3的傾斜角怎么規(guī)定呢？當直線 l與x軸平行或重合(即l與y軸垂直)時，規(guī)定其傾斜角口 =0 .根據(jù)定義，直線的傾斜角口的取值范圍是0M).特別地，l與x軸垂直時，口什么是斜率當口 #工時，記0f的正切值為k ,把k =tana叫做直線l的斜 212 / 11率；當時，直線l的斜率k不存在.2、概念深化隨著傾斜角a在0,叼內(nèi)的取值逐漸增大，斜率的值如何變化呢?當口 ¥ "時 斜率k =tanot存在，作出y =tanot在0, " ）U （工，江） 222的圖像，正切函數(shù)y=tana在區(qū)間0,2）為單調(diào)增，在區(qū)間（Ln）22內(nèi)也是單調(diào)增，但在0,3U（L

5、n）內(nèi)，卻不具有單調(diào)性. 22得到以下結(jié)論：（1） 0 _ :：二一2隨著傾斜角u的不斷增大，直線斜率不斷增大，k w 0,收）.（2） 一 ：二：二2隨著傾斜角口的不斷增大，直線的斜率不斷增大，k （-二，0.）反之，k 0時,二（0,一）； k =0時，二=0； k ：二0時，;（一，二）. 22直線l的傾斜角久、斜率k、方向向量d之間有什么關(guān)系？已知其中一個可以求其它兩個嗎？（1）已知傾斜角久當c（#二時 k=tana；當口=，時，斜率k不存在. 22方向向量I =（r cos%r sin"）, r =0.特別地，當土時，顯然 2rcosa#0,則（8",而）=（1卜

6、）也是直線的一個方向向量. r cos 二 r cos ;（2）已知斜率k （"#；）當k之0時，由口三0,：）,故傾斜角a = arctan k ；當k < 0時， 由 uw （一,冗），故 a =冗+arctan k .由于，直線的一個方向向量d = (1,k).2(3)已知一個方向向量d = (u,v)當u = 0時 直線垂直x軸，k不存在 a =;當u/0時2d=(1,v)也是一個方向向量，而k存在，再由上面的分析知(1,k)也 u是方向向量，故k=v (這個結(jié)論也可以從幾何角度研究得到)； u傾斜角的研究要根據(jù)k=v的符號討論(請學生課后自行完成). u思考：法向量，

7、傾斜角，斜率又有何關(guān)系？(請學生課后自行完成)3、例題解析例1 .已知直線l上兩點A,B ,求直線l的傾斜角a和斜率k .(1) A(1,3), B(5,-1)； A(1,2), B(1,-1);(3) A(0,5), B(1,5).說明本題考察學生對傾斜角、斜率定義和關(guān)系的掌握.一i般，當X1 # X2日寸，過兩點A(x1, y1), B(x2,y2)的直線的斜率 k = y2 -y1 ；當k=X2時，直線斜率不存在.X2 -XI I解： 直線的一個方向向量為d=7B = (4, Y),故k = -4 = 143a =冗 +arctan(-1)=n；4一 ,.,，、,人、，一、.1 一一，1

8、(2)直線的一個萬向向量為d=AB=(0,-3)，故k不存在，口 = 1兀；2(3)直線的一個方向向量為d=/=(1,0),故k=0,3=0； -i思考：已知直線l過兩點A(a,0), B(0,b),直線l的傾斜角u和斜率k是什么？例2. (1)已知直線斜率k=-2,求傾斜角a及一個方向向量； (2)已知直線l的一個方向向量為4=(后-3),求直線l的傾斜角和斜率.說明本題考察直線傾斜角、斜率、方向向量之間的關(guān)系.解：(1) k = 一2 <0,故a 為專屯角，a = n +arctan(-2) =n -arctan 2 ;直線的一個方向向量d =(1,k) =(1,-2)；/ c 一一

9、3一 一-2(2) k=7 = V3<0, 3 = n+arctank =冗 +arctan(->/3)=、冗.注意：通過k求a時，要先判斷k的符號，若k A0,支=arctank為銳角；若k <0, 口 =兀+ arctan k為鈍角；若 k =0, 口 =0 .例3.已知M(2m+3,m), N(m-2,1),當m取何值時，直線MN的傾斜角為銳角、直角、鈍角？說明本題主要涉及傾斜角和斜率的關(guān)系.解：若直線MN 的傾斜角為銳角，則k = y1 - y2 =m211= m11 >0, 故 m<-5 或 m>1; 若直線Xi -x2(2m 3) -(m -2)

10、 m 5MN的傾斜角為直角，則k = m-1不存在，故m = -5;若直線MN m 5的傾斜角為鈍角，則k=3<0,故_5<m"m 5思考：m=1時，直線MN的傾斜角為何值？例4.求直線y =sina|Jx十1的傾斜角的范圍說明本題主要涉及傾斜角和斜率關(guān)系的應用.解：設傾斜角為 M由題意知斜率k=sinae_1,1；1當 kw1,0)時，P 為鈍角，P=n+arctank,由翻k= 0-jt,43得 B = n + arctan k 匚一 n ,n);4當 kw(0,1時，B 為銳角，得 P=arctankw(0，；4當 k=0 時，P=0;綜上所述，傾斜角的取值范圍是0

11、U3二,二). 44說明上題的a不是傾斜角.解題時需注意當k的符號不同時須分開討論，因為k>0,傾斜角為銳角；k<0,傾斜角為鈍角.思考：若已知傾斜角«-,2,斜率k的取值范圍是什么？4 3例5.已知M(-1,-5), N(3,-2),若直線l的傾斜角是直線MN的傾斜角的一半，求直線l的斜率.說明本題主要涉及傾斜角、斜率定義及其應用.解：設直線l的傾斜角為a ,則MN的傾斜角為2c(.由2口 w 0, n )得K0；).由已知 tan2a=kMN=仝*=3，二2"二 ,即23 -(-1) 4 1 - tan a 42 13 t a n + 8at -a n=.解

12、彳枳tan= -成一，由 c( w 0, )但 tana > 0 ,32故tana = 1直線l的斜率為-. 33說明傾斜角的范圍2uw0,n)是一個隱含的條件，由它得到的 咱0,2)是一個舍解的條件.例6.已知P(3,-1),M(5,1),N(2,73-1),直線l過P點且與線段MN相交，求：(1)直線l的斜率k的取值范圍；(2)直線l的傾斜角a的范圍.說明本題主要涉及傾斜角和斜率定義和關(guān)系的靈活應用.解：(1) kpM JE =1, kpN ;二73,故kw (口,_73U1,f)； 5-32-3(2)當YD時，傾斜角a嗚|叼;當YL)時, 二 二一二 r “人 y ，- r: 2a

13、W一,)；又a =也付合題息，綜上，aW一,一叼.4 224 3說明先畫出圖形，在學習解析幾何時要多注意數(shù)形結(jié)合.三、鞏固練習1 .已知直線的傾斜角為 。，且cosx=3 ,則直線的斜率為5.2 .經(jīng)過點A(-2,0), B (5, 3兩點的直線的斜率是 ，傾斜角是.3 .下列命題中正確的是(1)若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等；(2)若兩直線的斜率相等，則它們的傾斜角也一定相等；(3)若兩直線的傾斜角不相等，則它們中傾斜角大的，斜率也 大；(4)若兩直線的斜率不相等，則它們中斜率大的，傾斜角也大.4 .過A(1a,1+a), B(3,2a)的直線的傾斜角為專屯角，貝U實數(shù) a的取 值范圍是.5 .直線x yc o - s- -8 一 小 0 ( R的傾斜角的取值范圍是6 .過P(-1,-封的直線l與y軸的正半軸沒有公共點，求直線l的 傾斜角的范圍.7 .直線l x-2y+2=0的傾斜角大小為a , l與y軸交于點P,將l 繞P逆時針旋轉(zhuǎn)a角得直線求l，的方程.說明相關(guān)的例題和練習請教師根據(jù)學生的實際選用.四、課堂小結(jié)1 .傾斜角與斜率的概念；2 .斜率和傾斜角的相互聯(lián)系，傾斜角、 斜率與直線方向向量、法向量的相互聯(lián)系五、課后作業(yè) 書面作業(yè)：習題11 .2A組1-10, B組1-3七、教學設計說明1 .分類討論的思想在這節(jié)里，斜率k和傾