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精選最近九年北京高考數(shù)學(xué)(理)壓軸題(含答案)1(北京17)設(shè){an}和{bn}是兩個等差數(shù)列,記cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs這s個數(shù)中最大的數(shù).〔Ⅰ〕假設(shè)an=n,bn=2n–1,求c1,c2,c3的值,并證明{cn}是等差數(shù)列;〔Ⅱ〕證明:或者對任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,當(dāng)n≥m時,;或者存在正整數(shù)m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差數(shù)列.2〔北京16〕設(shè)數(shù)列A:,,…(N≥2)。如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數(shù)k都有<,那么稱n是數(shù)列A的一個“G時刻〞。記“G〔A〕是數(shù)列A的所有“G時刻〞組成的集合。〔I〕對數(shù)列A:-2,2,-1,1,3,寫出G〔A〕的所有元素;(II)證明:假設(shè)數(shù)列A中存在使得>,那么G〔A〕;(III〕證明:假設(shè)數(shù)列A滿足-≤1〔n=2,3,…,N〕,那么G〔A〕的元素個數(shù)不小于-。3〔北京15〕數(shù)列滿足:,,且.記集合.〔Ⅰ〕假設(shè),寫出集合的所有元素;〔Ⅱ〕假設(shè)集合存在一個元素是3的倍數(shù),證明:的所有元素都是3的倍數(shù);〔Ⅲ〕求集合的元素個數(shù)的最大值.4〔北京14〕對于數(shù)對序列,記,,其中表示和兩個數(shù)中最大的數(shù),對于數(shù)對序列P(2,5),(4,1),求的值.記為四個數(shù)中最小值,對于由兩個數(shù)對組成的數(shù)對序列g(shù)和,試分別對和的兩種情況比較和的大小.〔3〕在由5個數(shù)對組成的所有數(shù)對序列中,寫出一個數(shù)對序列使最小,并寫出的值.〔只需寫出結(jié)論〕.5〔北京13〕是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前項的最大值記為,第項之后的各項,,的最小值記為,〔1〕假設(shè)為,,,,,,,,,是一個周期為4的數(shù)列〔即對任意,〕寫出,,,的值?!?〕設(shè)為非負(fù)整數(shù),證明:〔〕的充分必要條件為是公差為的等差數(shù)列。〔3〕證明:假設(shè),〔〕那么的項只能是1或2,且有無窮多項為1.6〔北京12〕設(shè)A是由m×n個實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表,滿足:每個數(shù)的絕對值不大于1,且所有數(shù)的和為零,記S(m,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。對于A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和〔1≤ⅰ≤m〕,Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和〔1≤j≤n〕:記K(A)為∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。對如下數(shù)表A,求K〔A〕的值;11-0.80.1-0.3-1〔2〕設(shè)數(shù)表A∈S〔2,3〕形如11CAB-1求K〔A〕的最大值;〔3〕給定正整數(shù)t,對于所有的A∈S〔2,2t+1〕,求K〔A〕的最大值。7〔北京11〕假設(shè)數(shù)列〔〕滿足,那么稱為數(shù)列,記?!并瘛硨懗鲆粋€滿足,且的數(shù)列;〔Ⅱ〕假設(shè),證明數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是;8〔北京10〕集合對于,,定義A與B的差為A與B之間的距離為〔Ⅰ〕證明:,且;〔Ⅱ〕證明:三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)(Ⅲ)設(shè)P,P中有m(m≥2)個元素,記P中所有兩元素間距離的平均值為(P).證明:〔P〕≤.9〔北京09〕數(shù)集具有性質(zhì);對任意的,與兩數(shù)中至少有一個屬于.〔Ⅰ〕分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì),并說明理由;〔Ⅱ〕證明:,且;〔Ⅲ〕證明:當(dāng)時,成等比數(shù)列.1(北京17)【解析】〔1〕易知,,且,,.∴,,.下面我們證明,對且,都有.當(dāng)且時,∵且,∴.因此,對且,,那么.又∵,故對均成立,從而為等差數(shù)列.〔2〕設(shè)數(shù)列與的公差分別為,,下面我們考慮的取值.對,,…,,考慮其中任意項〔且〕,下面我們分,,三種情況進(jìn)行討論.〔1〕假設(shè),那么①假設(shè),那么那么對于給定的正整數(shù)而言,此時,故為等差數(shù)列.②假設(shè),那么那么對于給定的正整數(shù)而言,.此時,故為等差數(shù)列.此時取,那么是等差數(shù)列,命題成立.〔2〕假設(shè),那么此時為一個關(guān)于的一次項系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù).故必存在,使得當(dāng)時,那么當(dāng)時,〔,〕.因此,當(dāng)時,.此時,故從第項開始為等差數(shù)列,命題成立.〔3〕假設(shè),那么此時為一個關(guān)于的一次項系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù).故必存在,使得當(dāng)時,那么當(dāng)時,〔,〕因此,當(dāng)時,.此時令,,下面證明對任意正數(shù),存在正整數(shù),使得當(dāng)時,.①假設(shè),那么取〔表示不大于的最大整數(shù)〕當(dāng)時,,此時命題成立.②假設(shè),那么取當(dāng)時,.此時命題也成立.因此,對任意正數(shù),存在正整數(shù),使得當(dāng)時,.綜合以上三種情況,命題得證.2〔北京16〕解:〔Ⅰ〕根據(jù)題干可得,a1=﹣2,a2=2,a3=﹣1,a4=1,a5=3,a1<a2滿足條件,2滿足條件,a2>a3不滿足條件,3不滿足條件,a2>a4不滿足條件,4不滿足條件,a1,a2,a3,a4,均小于a5,因此5滿足條件,因此G〔A〕={2,5}.〔Ⅱ〕因為存在an>a1,設(shè)數(shù)列A中第一個大于a1的項為ak,那么ak>a1≥ai,其中2≤i≤k﹣1,所以k∈G〔A〕,G〔A〕≠?;〔Ⅲ〕設(shè)A數(shù)列的所有“G時刻〞為i1<i2<L<ik,對于第一個“G時刻〞i1,有>a1≥ai〔i=2,3,L,i1﹣1〕,那么﹣ai≤﹣≤1.對于第二個“G時刻〞i1,有>≥ai〔i=2,3,L,i1﹣1〕,那么﹣≤﹣≤1.類似的﹣≤1,…,﹣≤1.于是,k≥〔﹣〕+〔﹣〕+L+〔﹣〕+〔﹣a1〕=﹣a1.對于aN,假設(shè)N∈G〔A〕,那么=aN.假設(shè)N?G〔A〕,那么aN≤,否那么由〔2〕知,,L,aN,中存在“G時刻〞與只有k個“G時刻〞矛盾.從而k≥﹣a1≥aN﹣a1.3〔北京15〕解:〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕因為集合存在一個元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)。由當(dāng)時,都是3的倍數(shù)。如果,那么集合的所有元素都是3的倍數(shù)。如果,因為或,所以是3的倍數(shù),于是是3的倍數(shù)。類似可得,都是3的倍數(shù)。綜上,假設(shè)集合存在一個元素是3的倍數(shù),那么的所有元素都是3的倍數(shù)?!并蟆臣僭O(shè),由,可歸納證明,因為是正整數(shù),由,所以是2的倍數(shù)。從而當(dāng)時,時4的倍數(shù)。如果是3的倍數(shù),由〔Ⅱ〕知對所有正整數(shù),是3的倍數(shù)。因此當(dāng)時,.這時的元素個數(shù)不超過5.如果不是3的倍數(shù),由〔Ⅱ〕知對所有正整數(shù),不是3的倍數(shù)。因此當(dāng)時,這時的元素個數(shù)不超過8.當(dāng)時,由8個元素。綜上可知:集合的元素個數(shù)的最大值為8.4〔北京14〕解:〔I〕=8〔Ⅱ〕.當(dāng)m=a時,==因為,且,所以≤當(dāng)m=d時,因為≤,且所以≤。所以無論m=a還是m=d,≤都成立。〔Ⅲ〕數(shù)對序列〔4,6〕,〔11,11〕,〔16,11〕,〔11,8〕,〔5,2〕的值最小,=10,=26,=42,=50,=525〔北京13〕解:〔1〕,,,〔2〕充分性:假設(shè)是公差為的等差數(shù)列,那么于是,必要性:假設(shè)〔〕,假設(shè)是第一個使得的項,那么,,與矛盾因此是不減的數(shù)列進(jìn)而,,即因此是公差為的等差數(shù)列?!?〕首先,中的項不能是,否那么,矛盾其次,中的項不能超過,用反證法證明如下:假設(shè)中有超過的項,設(shè)是第一個大于的項,中一定存在某項為,否那么與矛盾。當(dāng)時,,否那么與矛盾;因此存在最大的在到之間,使得,此時綜上,中沒有超過的項所以中的項只能是或下面證明有無數(shù)個,用反證法證明如下:假設(shè)為最后一個,那么,矛盾因此有無數(shù)個6〔北京12〕解:〔1〕由題意可知,,,,∴〔2〕先用反證法證明:假設(shè),那么,∴同理可知,∴由題目所有數(shù)和為即∴與題目條件矛盾∴.易知當(dāng)時,存在∴的最大值為1〔3〕的最大值為.首先構(gòu)造滿足的:,.經(jīng)計算知,中每個元素的絕對值都小于1,所有元素之和為0,且,,.下面證明是最大值.假設(shè)不然,那么存在一個數(shù)表,使得.由的定義知的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都不小于,而兩個絕對值不超過1的數(shù)的和,其絕對值不超過2,故的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間中.由于,故的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同,且絕對值均不小于.設(shè)中有列的列和為正,有列的列和為負(fù),由對稱性不妨設(shè),那么.另外,由對稱性不妨設(shè)的第一行行和為正,第二行行和為負(fù).考慮的第一行,由前面結(jié)論知的第一行有不超過個正數(shù)和不少于個負(fù)數(shù),每個正數(shù)的絕對值不超過1〔即每個正數(shù)均不超過1〕,每個負(fù)數(shù)的絕對值不小于〔即每個負(fù)數(shù)均不超過〕.因此,故的第一行行和的絕對值小于,與假設(shè)矛盾.因此的7〔北京11〕解:〔Ⅰ〕0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。〔答案不唯一,0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5〕〔Ⅱ〕必要性:因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列,所以.所以A5是首項為12,公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+〔2000—1〕×1=2023.充分性,由于a2000—a1000≤1,a2000—a1000≤1……a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999. 又因為a1=12,a2000=2023,所以a2000=a1+1999. 故是遞增數(shù)列. 綜上,結(jié)論得證。 〔Ⅲ〕令 因為 …… 所以因為所以為偶數(shù),所以要使為偶數(shù),8〔北京10〕證明:〔I〕設(shè),,因為,,所以,從而又由題意知,,.當(dāng)時,;當(dāng)時,所以(II)設(shè),,,,.記,由〔I〕可知所以中1的個數(shù)為,的1的個數(shù)為。設(shè)是使成立的的個數(shù),那么由此可知,三個數(shù)不可能都是奇數(shù),即,,三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)。〔III〕,其中表示中所有兩個元素間距離的總和,設(shè)種所有元素的第個位置的數(shù)字中共有個1,個0那么=由于所以從而9〔北京0
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