精選最近九年北京高考數(shù)學(xué)(理)壓軸題(含答案)

精選最近九年北京高考數(shù)學(xué)(理)壓軸題(含答案)1(北京17)設(shè){an}和{bn}是兩個等差數(shù)列，記cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs這s個數(shù)中最大的數(shù)．〔Ⅰ〕假設(shè)an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并證明{cn}是等差數(shù)列；〔Ⅱ〕證明：或者對任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)n≥m時，；或者存在正整數(shù)m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差數(shù)列．2〔北京16〕設(shè)數(shù)列A：，,…(N≥2)。如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數(shù)k都有＜，那么稱n是數(shù)列A的一個“G時刻〞。記“G〔A〕是數(shù)列A的所有“G時刻〞組成的集合。〔I〕對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出G〔A〕的所有元素；(II)證明：假設(shè)數(shù)列A中存在使得>，那么G〔A〕；(III〕證明：假設(shè)數(shù)列A滿足-≤1〔n=2,3,…,N〕,那么G〔A〕的元素個數(shù)不小于-。3〔北京15〕數(shù)列滿足：，，且．記集合．〔Ⅰ〕假設(shè)，寫出集合的所有元素；〔Ⅱ〕假設(shè)集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；〔Ⅲ〕求集合的元素個數(shù)的最大值．4〔北京14〕對于數(shù)對序列，記，，其中表示和兩個數(shù)中最大的數(shù)，對于數(shù)對序列P(2,5),(4,1)，求的值.記為四個數(shù)中最小值，對于由兩個數(shù)對組成的數(shù)對序列g(shù)和，試分別對和的兩種情況比較和的大小.〔3〕在由5個數(shù)對組成的所有數(shù)對序列中，寫出一個數(shù)對序列使最小，并寫出的值.〔只需寫出結(jié)論〕.5〔北京13〕是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項的最大值記為，第項之后的各項，，的最小值記為，〔1〕假設(shè)為，，，，，，，，，是一個周期為4的數(shù)列〔即對任意，〕寫出，，，的值?！?〕設(shè)為非負(fù)整數(shù)，證明：〔〕的充分必要條件為是公差為的等差數(shù)列。〔3〕證明：假設(shè)，〔〕那么的項只能是1或2，且有無窮多項為1.6〔北京12〕設(shè)A是由m×n個實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記S(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。對于A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和〔1≤ⅰ≤m〕，Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和〔1≤j≤n〕：記K(A)為∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。對如下數(shù)表A，求K〔A〕的值；11-0.80.1-0.3-1〔2〕設(shè)數(shù)表A∈S〔2,3〕形如11CAB-1求K〔A〕的最大值；〔3〕給定正整數(shù)t，對于所有的A∈S〔2,2t+1〕，求K〔A〕的最大值。7〔北京11〕假設(shè)數(shù)列〔〕滿足，那么稱為數(shù)列，記?！并瘛硨懗鲆粋€滿足，且的數(shù)列；〔Ⅱ〕假設(shè)，證明數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是；8〔北京10〕集合對于，，定義A與B的差為A與B之間的距離為〔Ⅰ〕證明：，且;〔Ⅱ〕證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)(Ⅲ)設(shè)P，P中有m(m≥2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P).證明：〔P〕≤.9〔北京09〕數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于.〔Ⅰ〕分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；〔Ⅱ〕證明：，且；〔Ⅲ〕證明：當(dāng)時，成等比數(shù)列.1(北京17)【解析】〔1〕易知，，且，，．∴，，．下面我們證明，對且，都有．當(dāng)且時，∵且，∴．因此，對且，，那么．又∵，故對均成立，從而為等差數(shù)列．〔2〕設(shè)數(shù)列與的公差分別為，，下面我們考慮的取值．對，，…，，考慮其中任意項〔且〕，下面我們分，，三種情況進(jìn)行討論．〔1〕假設(shè)，那么①假設(shè)，那么那么對于給定的正整數(shù)而言，此時，故為等差數(shù)列．②假設(shè)，那么那么對于給定的正整數(shù)而言，．此時，故為等差數(shù)列．此時取，那么是等差數(shù)列，命題成立．〔2〕假設(shè)，那么此時為一個關(guān)于的一次項系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù)．故必存在，使得當(dāng)時，那么當(dāng)時，〔，〕．因此，當(dāng)時，．此時，故從第項開始為等差數(shù)列，命題成立．〔3〕假設(shè)，那么此時為一個關(guān)于的一次項系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)．故必存在，使得當(dāng)時，那么當(dāng)時，〔，〕因此，當(dāng)時，．此時令，，下面證明對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，．①假設(shè)，那么取〔表示不大于的最大整數(shù)〕當(dāng)時，，此時命題成立．②假設(shè)，那么取當(dāng)時，．此時命題也成立．因此，對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，．綜合以上三種情況，命題得證．2〔北京16〕解：〔Ⅰ〕根據(jù)題干可得，a1=﹣2，a2=2，a3=﹣1，a4=1，a5=3，a1＜a2滿足條件，2滿足條件，a2＞a3不滿足條件，3不滿足條件，a2＞a4不滿足條件，4不滿足條件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5滿足條件，因此G〔A〕={2，5}．〔Ⅱ〕因為存在an＞a1，設(shè)數(shù)列A中第一個大于a1的項為ak，那么ak＞a1≥ai，其中2≤i≤k﹣1，所以k∈G〔A〕，G〔A〕≠?；〔Ⅲ〕設(shè)A數(shù)列的所有“G時刻〞為i1＜i2＜L＜ik，對于第一個“G時刻〞i1，有＞a1≥ai〔i=2，3，L，i1﹣1〕，那么﹣ai≤﹣≤1．對于第二個“G時刻〞i1，有＞≥ai〔i=2，3，L，i1﹣1〕，那么﹣≤﹣≤1．類似的﹣≤1，…，﹣≤1．于是，k≥〔﹣〕+〔﹣〕+L+〔﹣〕+〔﹣a1〕=﹣a1．對于aN，假設(shè)N∈G〔A〕，那么=aN．假設(shè)N?G〔A〕，那么aN≤，否那么由〔2〕知，，L，aN，中存在“G時刻〞與只有k個“G時刻〞矛盾．從而k≥﹣a1≥aN﹣a1．3〔北京15〕解：〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕因為集合存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)。由當(dāng)時，都是3的倍數(shù)。如果，那么集合的所有元素都是3的倍數(shù)。如果，因為或，所以是3的倍數(shù)，于是是3的倍數(shù)。類似可得，都是3的倍數(shù)。綜上，假設(shè)集合存在一個元素是3的倍數(shù)，那么的所有元素都是3的倍數(shù)?！并蟆臣僭O(shè)，由，可歸納證明，因為是正整數(shù)，由，所以是2的倍數(shù)。從而當(dāng)時，時4的倍數(shù)。如果是3的倍數(shù)，由〔Ⅱ〕知對所有正整數(shù)，是3的倍數(shù)。因此當(dāng)時，.這時的元素個數(shù)不超過5.如果不是3的倍數(shù)，由〔Ⅱ〕知對所有正整數(shù)，不是3的倍數(shù)。因此當(dāng)時，這時的元素個數(shù)不超過8.當(dāng)時，由8個元素。綜上可知：集合的元素個數(shù)的最大值為8.4〔北京14〕解：〔I〕=8〔Ⅱ〕.當(dāng)m=a時，==因為，且，所以≤當(dāng)m=d時，因為≤，且所以≤。所以無論m=a還是m=d，≤都成立。〔Ⅲ〕數(shù)對序列〔4,6〕，〔11,11〕，〔16,11〕，〔11,8〕，〔5,2〕的值最小，=10，=26，=42，=50，=525〔北京13〕解：〔1〕，，，〔2〕充分性：假設(shè)是公差為的等差數(shù)列，那么于是，必要性：假設(shè)〔〕，假設(shè)是第一個使得的項，那么，，與矛盾因此是不減的數(shù)列進(jìn)而，，即因此是公差為的等差數(shù)列?！?〕首先，中的項不能是，否那么，矛盾其次，中的項不能超過，用反證法證明如下：假設(shè)中有超過的項，設(shè)是第一個大于的項，中一定存在某項為，否那么與矛盾。當(dāng)時，，否那么與矛盾；因此存在最大的在到之間，使得，此時綜上，中沒有超過的項所以中的項只能是或下面證明有無數(shù)個，用反證法證明如下：假設(shè)為最后一個，那么，矛盾因此有無數(shù)個6〔北京12〕解：〔1〕由題意可知，，，，∴〔2〕先用反證法證明：假設(shè)，那么，∴同理可知，∴由題目所有數(shù)和為即∴與題目條件矛盾∴．易知當(dāng)時，存在∴的最大值為1〔3〕的最大值為.首先構(gòu)造滿足的：，.經(jīng)計算知，中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且，，.下面證明是最大值.假設(shè)不然，那么存在一個數(shù)表，使得.由的定義知的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都不小于，而兩個絕對值不超過1的數(shù)的和，其絕對值不超過2，故的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間中.由于，故的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于.設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負(fù)，由對稱性不妨設(shè)，那么.另外，由對稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負(fù).考慮的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過個正數(shù)和不少于個負(fù)數(shù)，每個正數(shù)的絕對值不超過1〔即每個正數(shù)均不超過1〕，每個負(fù)數(shù)的絕對值不小于〔即每個負(fù)數(shù)均不超過〕.因此，故的第一行行和的絕對值小于，與假設(shè)矛盾.因此的7〔北京11〕解：〔Ⅰ〕0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。〔答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5〕〔Ⅱ〕必要性：因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以.所以A5是首項為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+〔2000—1〕×1=2023.充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1……a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因為a1=12，a2000=2023,所以a2000=a1+1999. 故是遞增數(shù)列. 綜上，結(jié)論得證。 〔Ⅲ〕令 因為 …… 所以因為所以為偶數(shù),所以要使為偶數(shù),8〔北京10〕證明：〔I〕設(shè)，，因為，，所以,從而又由題意知，，.當(dāng)時，;當(dāng)時，所以(II)設(shè)，，，，.記，由〔I〕可知所以中1的個數(shù)為，的1的個數(shù)為。設(shè)是使成立的的個數(shù)，那么由此可知，三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，即,,三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)。〔III〕,其中表示中所有兩個元素間距離的總和，設(shè)種所有元素的第個位置的數(shù)字中共有個1，個0那么=由于所以從而9〔北京0