課堂探究 1.4.2微積分基本定理

1、.課堂探究探究一 利用微積分根本定理求簡單的定積分1微積分根本定理是求定積分的一種根本方法，其關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，特別注意y的原函數(shù)是yln x根本過程分為兩步：求fx的原函數(shù)Fx；計算FbFa的值2求定積分時要注意積分變量，有時在被積函數(shù)中含有參數(shù)，但它不一定是積分變量，例如在定積分x2tdx中，積分變量是x，m和t是常數(shù)【典型例題1】 計算以下定積分：1xdx；21t3dt；3dx；4cos xexdx；5x12dx；6t2dx.思路分析：求原函數(shù)時要和求導數(shù)運算聯(lián)絡起來，充分借助導數(shù)公式和導數(shù)運算法那么解：1x，xdxx2202.21t3，1t3dt.3ln x，dxln xln

2、 2ln 1ln 2.4sin xexcos xex，cos xexdxsin xex010e1e.5x12x22x1，x22x1，x12dx.6t2xt2，t2dxt2xt2.探究二 利用微積分根本定理和定積分的性,質(zhì)求定積分1求復雜函數(shù)定積分要根據(jù)定積分的性質(zhì)1有限個函數(shù)代數(shù)和差的積分，等于各個函數(shù)積分的代數(shù)和差，即f1x±f2x±±fnxdxf1xdx±f2xdx±±fnxdx.2常數(shù)因子可提到積分符號外面，即kfxdxkfxdx.3當積分上限與下限交換時，積分值一定要反號，即fxdxfxdx.4定積分對區(qū)間的可加性，假設(shè)ca，

3、b，那么有fxdxfxdxfxdx.2對被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分，根據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性，分段積分再求和3對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要去掉絕對值符號才能積分4當被積函數(shù)的原函數(shù)是一個復合函數(shù)時，要特別注意原函數(shù)的求解，與復合函數(shù)的求導區(qū)分開來例如：對于被積函數(shù)ysin 3x，其原函數(shù)應為ycos 3x，而其導數(shù)應為y3cos 3x，再如：被積函數(shù)ye2x時，其原函數(shù)是ye2x，而其導數(shù)是y2e2x.【典型例題2】 計算以下定積分：1fxdx，其中fx2|x4|dx；3 0sin2xdx；4e2xdx；5dx.思路分析：首先對被積函數(shù)進展恰當?shù)幕?、變形，然后再求定積分解：1fxdxx

4、2dx4dx4x4；2|x4|dx4xdxx4dx224；3sin2xdxdx0；4e2xdxe4；5 dxdx|sin xcos x|dx|sin xcos x|dx|sin xcos x|dxcos xsin xdxsin xcos xdxsin xcos xcos xsin x22.探究三 利用定積分求平面圖形的面積1利用定積分求平面圖形的面積時，一般步驟是：畫草圖；求曲線的交點定出積分上、下限；確定被積函數(shù)，但要保證求出的面積是非負的；寫出定積分并計算2求由一條曲線yfx和直線xa，xbab及y0所圍成平面圖形的面積S.圖中，fx0，fxdx0，因此面積Sfxdx；圖中，fx0，fxd

5、x0，因此面積Sfxdx；圖中，當axc時，fx0，當cxb時，fx0，因此面積S|fx|dxfxdxfxdx.3求由兩條曲線fx和gx，直線xa，xbab所圍成平面圖形的面積S.圖中，fxgx0，面積Sfxgxdx；圖中，fx0，gx0，面積Sfxdx|gx|dxfxgxdx.【典型例題3】 1求拋物線yx2x與x軸所圍成圖形的面積；2求曲線ycos x與兩坐標軸所圍成圖形的面積；3求直線y2x3與拋物線yx2圍成圖形的面積思路分析：畫出圖形，結(jié)合圖形分析定積分的積分區(qū)間，同時注意面積與積分的關(guān)系解：1由圖形可知，所求面積為S|x2x|dxxx2dx.2畫出曲線ycos x，由于當0x時，c

6、os x0，x時，cos x0，故圖形的面積為|cos x|dxcos xdxcos xdxsin xsin x3.3如圖，由求得兩曲線的交點為1,1和3,9，于是陰影部分的面積為S2x3x2dxx22x3dx.“教書先生恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼，從最初的門館、私塾到晚清的學堂，“教書先生那一行當怎么說也算是讓國人景仰甚或敬畏的一種社會職業(yè)。只是更早的“先生概念并非源于教書，最初出現(xiàn)的“先生一詞也并非有傳授知識那般的含義。?孟子?中的“先生何為出此言也？；?論語?中的“有酒食，先生饌；?國策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生為父兄或有學問、有德行的長輩。其實?國策?中本身就有“

7、先生長者，有德之稱的說法?？梢姟跋壬夥钦嬲摹袄蠋熤猓故桥c當今“先生的稱呼更接近?？磥?，“先生之根源含義在于禮貌和尊稱，并非具學問者的專稱。稱“老師為“先生的記載，首見于?禮記?曲禮?，有“從于先生，不越禮而與人言，其中之“先生意為“年長、資深之傳授知識者，與老師、老師之意根本一致。要練說，得練看?？磁c說是統(tǒng)一的，看不準就難以說得好。練看，就是訓練幼兒的觀察才能，擴大幼兒的認知范圍，讓幼兒在觀察事物、觀察生活、觀察自然的活動中，積累詞匯、理解詞義、開展語言。在運用觀察法組織活動時，我著眼觀察于觀察對象的選擇，著力于觀察過程的指導，著重于幼兒觀察才能和語言表達才能的進步?！皫熤拍睿篌w是從先秦時期的“師長、師傅、先生而來。其中“師傅更早那么意指春秋時國君的老師。?說文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱也。“師之含義，如今泛指從事教育工作或是傳授知識技術(shù)也或是某方面有特長值得學習者。“老師的原意并非由“老而形容“師?！袄显谂f語義中也是一種尊稱，隱喻年長且學識淵博者。“老“師連用最初見于?史記?，有“荀卿最為老師之說法。漸漸“老師之說也不再有年齡的限制，老