勾股定理回顧與思考教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第一章 勾股定理回顧與思考一、學(xué)生起點(diǎn)分析通過前面三節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了勾股定理及逆定理的知識(shí)，并能應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實(shí)際問題，因而學(xué)生已經(jīng)具備解決本課問題所需的知識(shí)基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)同時(shí)在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力八年級(jí)學(xué)生已初步具有幾何圖形的觀察，幾何證明的理論思維能力他們希望老師創(chuàng)設(shè)便于他們進(jìn)行觀察的幾何環(huán)境，給他們發(fā)表自己見解和表現(xiàn)自己才華的機(jī)會(huì)，希望老師滿足他們的創(chuàng)造愿望，讓他們實(shí)際操作，使他們獲得施展自己創(chuàng)造才能的機(jī)會(huì)但對(duì)于勾股定理的綜合應(yīng)用，還需要學(xué)生具備一定的分析、歸納的思

2、維方法和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想意識(shí)，但學(xué)生在這一方面的可預(yù)見性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同學(xué)會(huì)有一些困難二、教學(xué)任務(wù)分析勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，理論上占有重要的地位，它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文化價(jià)值勾股定理也是后續(xù)有關(guān)幾何度量運(yùn)算和代數(shù)學(xué)習(xí)必要的基礎(chǔ)，具有學(xué)科的基礎(chǔ)性與廣泛的應(yīng)用本課時(shí)教學(xué)是復(fù)習(xí)課，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過程，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索與合作交流，以學(xué)生自主探索為主，并強(qiáng)調(diào)同桌之間的合作與交流，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生多方

3、面的能力讓學(xué)生通過動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口自主探索，感受數(shù)學(xué)的美，以提高學(xué)習(xí)興趣為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：讓學(xué)生回顧本章的知識(shí)，同時(shí)重溫這些知識(shí)尤其是勾股定理的獲得和驗(yàn)證的過程，體會(huì)勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用在回顧與思考的過程中，提高解決問題，反思問題的能力在反思和交流的過程中，體驗(yàn)學(xué)習(xí)帶來的無盡的樂趣通過對(duì)勾股定理歷史的再認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)愛國(guó)主義精神，體驗(yàn)科學(xué)給人來帶來的力量三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)環(huán)節(jié)第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理；第三環(huán)節(jié)：合作探究；第四環(huán)節(jié)：拓展提升；第五環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)第一環(huán)節(jié) 情境引入勾股定理，我們把它稱為世界第一定理它的重要性，通過這一章

4、的學(xué)習(xí)已深有體驗(yàn)。首先，勾股定理是數(shù)形結(jié)合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷史的同學(xué)知道，正是由于勾股定理得發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)，這一點(diǎn)，我們將在實(shí)數(shù)一章里講到，第三，勾股定理中的公式是第一個(gè)不定方程，有許許多多的數(shù)滿足這個(gè)方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最為著名的就是費(fèi)馬大定理，直到1995年，數(shù)學(xué)家懷爾斯才將它證明勾股定理是我們數(shù)學(xué)史的奇跡，我們已經(jīng)比較完整地研究了這個(gè)先人給我們留下來的寶貴的財(cái)富，這節(jié)課，我們將通過回顧與思考中的幾個(gè)問題更進(jìn)一步了解勾股定理的歷史，勾股定理的應(yīng)用目的：通過對(duì)勾股定理歷史及地位的解讀，讓學(xué)生了解知識(shí)脈絡(luò)及前后聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)

5、探究熱情效果：從歷史的深度提出問題，學(xué)生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好基礎(chǔ)第二環(huán)節(jié)：知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理本章知識(shí)要點(diǎn)及結(jié)構(gòu)：（第16題由學(xué)生獨(dú)立思考完成，小組代表展示）1勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果用和分別表示直角三角形的直角邊和斜邊，那么_ 2勾股定理各種表達(dá)式：在RtABC中，C=90，A，B，C的對(duì)邊也分別為，則=_，=_，=_ 3勾股定理的逆定理：在ABC中，若三邊滿足_，則ABC為_ 4勾股數(shù)：滿足_的三個(gè)_，稱為勾股數(shù)5幾何體上的最短路程是將立體圖形的_展開，轉(zhuǎn)化為_上的路程問題，再利用_兩點(diǎn)之間，_解決最短線路問題6直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關(guān)系

6、？（教師引導(dǎo)，小組討論、總結(jié)）從邊的關(guān)系來說，當(dāng)然就是勾股定理；從角度的關(guān)系來說，由于直角三角形中有一個(gè)特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個(gè)銳角互余直角三角形作為一個(gè)特殊的三角形如果又有一個(gè)銳角是，那么的角所對(duì)的直角邊時(shí)斜邊的一半7舉例說明，如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形判斷一個(gè)三角形是直角三角形可以從角、邊兩個(gè)方面去判斷（1）從定義即從角出發(fā)去判斷一個(gè)三角形是直角三角形例如：在ABC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)定義可判斷ABC是直角三角形在ABC中，由三角形的內(nèi)角和定理可知，ABC是直角三角形（2）從邊出發(fā)來判斷一個(gè)三角形是直角三角形其實(shí)從邊來判斷直角三角形它的理論依據(jù)就是判定直角

7、三角形的條件（即勾股定理的逆定理） 例如：ABC的三條邊分別為，而，根據(jù)勾股定理的逆定理可知ABC是直角三角形，但這里要注意的是b所對(duì)的角在ABC三條邊的比為，ABC是直角三角形8通過回顧與思考中的問題的交流，由同學(xué)們自己建立本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 （小組內(nèi)展示自己總結(jié)的知識(shí)框圖，相互交流完善知識(shí)框圖；每個(gè)小組選取一名代表，展示本組的知識(shí)框圖）三邊的關(guān)系勾股定理（性質(zhì)定理）歷史、應(yīng)用直角三角形 直角三角形的判別勾股定理的逆定理（判定定理）應(yīng)用目的：復(fù)習(xí)與直角三有形有關(guān)的知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)的前后聯(lián)系，把勾股定理及判定納入直角三角形的知識(shí)體系中，把以前的零散的知識(shí)形成知識(shí)體系通過學(xué)生相互交流，整理知識(shí)框圖復(fù)

8、習(xí)本章知識(shí)點(diǎn)，自覺內(nèi)化到自身的知識(shí)體系中效果：學(xué)生有獨(dú)立思考的空間，與有合作交流的舞臺(tái)，動(dòng)靜結(jié)合，相得益彰第三環(huán)節(jié)：合作探究?jī)?nèi)容：探究一：利用勾股定理求邊長(zhǎng)已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4，求第三邊長(zhǎng)的平方解：（1）當(dāng)兩直角邊為3和4時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為25；（2）當(dāng)斜邊為4，一直角邊為3時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為7注意事項(xiàng)：因?qū)W生習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3和4時(shí)，斜邊長(zhǎng)為5但這一理解的前提是3、4為直角邊而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊探究二：利用勾股定理求圖形面積：1求出下列各圖中陰影部分的面積_(3)21圖（1）陰影部分的面積為；

9、（答案：1）圖（2）陰影部分的面積為；（答案：81）圖（3）陰影部分的面積為；（答案：5）2 已知RtABC中，若，求RtABC的面積探究三：利用勾股定理逆定理判定ABC的形狀或求角度1. 在ABC中，的對(duì)邊分別為，且，則（ ）.（A）為直角 （B）為直角 （C）為直角 （D）不是直角三角形解：，故選（A）.注意事項(xiàng)：因?yàn)槌Ｒ姷闹苯侨切伪硎緯r(shí)，一般將直角標(biāo)注為，因而有同學(xué)就習(xí)慣性的認(rèn)為就一定表示直角，加之對(duì)本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯(cuò)誤.該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為，即，因根據(jù)這一公式進(jìn)行判斷2已知ABC的三邊為a，b，c，有下列各組條件，判定ABC的形狀（1）；（2）解：（1）（2）均為直角三

10、角形探究四：勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用：B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東方向以每小時(shí)8 n mile的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15 n mile的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34 n mile，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？解：甲船航行的距離為BM=（n mile），乙船航行的距離為BP=（n mile），MBP為直角三角形，乙船是沿著南偏東方向航行的注意事項(xiàng)：勾股定理的使用前提是直角三角形，而本題需對(duì)三角形做出判斷，判斷的依據(jù)是勾定理的逆定理，其形式為“若，則學(xué)生容易不先對(duì)三角形做出判斷而直接應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算目的：通過對(duì)四大問題的探究，培養(yǎng)同學(xué)

11、們歸納知識(shí)的能力，并將各種數(shù)學(xué)基本思想方法滲透其中，如對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，鼓勵(lì)學(xué)生由代數(shù)表示聯(lián)想到幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)代數(shù)表示，從而認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系如對(duì)分類討論的滲透，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度效果：探究四綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題，這種貼近生活的實(shí)例，訓(xùn)練學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，通過學(xué)生的解答和討論，讓學(xué)生自我解決疑難，既是對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固應(yīng)用，又讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅第四環(huán)節(jié)：拓展提升內(nèi)容：我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）圖2由“弦圖”變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成記圖中正方形ABCD，正方形EFGH

12、，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是 （答案為）目的：學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國(guó)古代人民的聰明才智。在我們的數(shù)學(xué)史上，好多結(jié)論的發(fā)現(xiàn)都是這樣一個(gè)過程，都是從幾個(gè)或大量的特例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想出結(jié)論，然后以前面的理論作為基礎(chǔ)，證明猜想，一個(gè)偉大的成果就誕生了。效果：運(yùn)用勾股定理和方程思想解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)生活中處處皆數(shù)學(xué)，并且使新知得到了鞏固，能力得到了訓(xùn)練，認(rèn)識(shí)得到了升華第五環(huán)節(jié)：交流小結(jié)內(nèi)容：師生相互交流總結(jié)：1.本章知識(shí)要點(diǎn)及在學(xué)習(xí)中用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？2你在學(xué)習(xí)過程中是否積極參與？是否與同伴進(jìn)行了有

13、效的合作交流？目的：鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會(huì)到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用及它們的悠久歷史效果：學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，總結(jié)解決問題的思路與方法，并贊嘆我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)1課本復(fù)習(xí)題2思考題：一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示正方形DEFH的邊長(zhǎng)為2 m，坡角m當(dāng)正方形DEFH運(yùn)動(dòng)到什么位置，即當(dāng)AE m時(shí)，有（答案為：）四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思本節(jié)課是復(fù)習(xí)課，利用勾股定理和勾股逆定理來解決實(shí)際問題勾股定理是在學(xué)生已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它揭示了一個(gè)三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，而勾股定理逆用的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形針對(duì)我班學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，先由淺入深，在學(xué)生的自主探究與合作交流中解決問題，這樣既遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又充分體現(xiàn)了“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人、教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”的教學(xué)理念.本節(jié)課圍繞激趣引入，歸納知識(shí)-綜合練習(xí)，應(yīng)用知識(shí)課堂小結(jié)三部分，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心讓學(xué)生自己繪制知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，進(jìn)一步體會(huì)本章所學(xué)知識(shí)之間的前后聯(lián)系，并培養(yǎng)了學(xué)生這方面的能力設(shè)計(jì)的題目既考察了對(duì)基本知識(shí)的掌握情況，又注重了綜合課的特點(diǎn)，注重對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合利