531約數(shù)與倍數(shù)題庫學(xué)生版

1、5-3約數(shù)與倍數(shù)教學(xué)目標(biāo)本講中的知識點并不難理解，對于約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、最小公倍數(shù)的定義我們在學(xué)校的課本上都已經(jīng)學(xué)習(xí)過，所以重點在于一些性質(zhì)的應(yīng)用，完全平方數(shù)在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，所以對于平方差公式還有一些主要性質(zhì)一定要記住.本講力求實現(xiàn)的一個核心目標(biāo)是讓孩子對數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個深入的認(rèn)識，即所謂的整數(shù)唯一分解定理，教師可以在課前讓學(xué)生練習(xí)幾個兩位或三位整數(shù)的分解，然后幫學(xué)生做一個找規(guī)律式的不完全歸納，讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“原來任何一個數(shù)字都可以表示為的結(jié)構(gòu)”知識點撥一、 約數(shù)的概念與最大公約數(shù)0被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外1 求最大公約數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來

2、例如：，所以；短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘例如：，所以；輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)(如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的)例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；所以1515和600的最大公約數(shù)是152 最大公約數(shù)的性質(zhì)幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)

3、；幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以3 求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)1. 求最小公倍數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：，所以；短除法求最小公倍數(shù)；例如： ，所以；2. 最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)3. 求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個

4、分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求例如： 注意：兩個最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1 兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果為、的最大公約數(shù)，且，那么互質(zhì)，所以、的最小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：，即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；最大公約數(shù)是、及最小公倍數(shù)的約數(shù)2 兩個數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。即，此性質(zhì)比較簡單，學(xué)生比較容易掌握。3 對于任意3個連續(xù)的自然數(shù)，如果三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為a)奇偶

5、奇，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)例如：，210就是567的最小公倍數(shù)b)偶奇偶，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍數(shù)為性質(zhì)不是一個常見考點，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾個數(shù)最小公倍數(shù)一定不會比它們的乘積大”。四、求約數(shù)個數(shù)與所有約數(shù)的和1 求任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù)一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為，所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24個。(包括1和

6、1400本身)約數(shù)個數(shù)的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應(yīng)重點講解，公式的推導(dǎo)過程是建立在開篇講過的數(shù)字“唯一分解定理”形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分?？嫉钠y題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴一個數(shù)有多少個約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個條件將原數(shù)“還原構(gòu)造”出來，或者是“構(gòu)造出可能的最值”。2 求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：，所以21000所有約數(shù)的和

7、為此公式?jīng)]有第一個公式常用，推導(dǎo)過程相對復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的記憶即可。例題精講模塊一、約數(shù)與倍數(shù)、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)基本概念【例 1】 把一張長1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，而沒有剩余，問：能裁成最大的正方形紙塊的邊長是多少？共可裁成幾塊？【鞏固】 一個房間長450厘米，寬330厘米現(xiàn)計劃用方磚鋪地，問需要用邊長最大為多少厘米的方磚多少塊(整塊)，才能正好把房間地面鋪滿？ 【例 2】 有336個蘋果，252個桔子，210個梨，用這些水果最多可以分成多少份同樣的禮物？在每份禮物中，三樣水果各多少？ 【鞏固】 把20個梨和25個蘋果平

8、均分給小朋友，分完后梨剩下2個，而蘋果還缺2個，一共最多有多少個小朋友？ 【鞏固】 教師節(jié)那天，某校工會買了320個蘋果、240個桔子、200個鴨梨，用來慰問退休的教職工，問用這些果品，最多可以分成多少份同樣的禮物(同樣的禮物指的是每份禮物中蘋果、桔子、鴨梨的個數(shù)彼此相等)？在每份禮物中，蘋果、桔子、鴨梨各多少個？ 【例 3】 現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？【鞏固】 用這九個數(shù)碼可以組成362880個沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，求這些數(shù)的最大公約數(shù)【鞏固】 用2、3、4、5、6、7這六個數(shù)碼組成兩個三位數(shù)A和B，那么A、B、540這三個數(shù)的最大公約

9、數(shù)最大可能是_【例 4】 兩個自然數(shù)的和是50，它們的最大公約數(shù)是5，試求這兩個數(shù)的差【鞏固】 一個兩位數(shù)有6個約數(shù)，且這個數(shù)最小的3個約數(shù)之和為10，那么此數(shù)為幾？【例 5】 (西城區(qū)13中入學(xué)試題)一次考試，參加的學(xué)生中有得優(yōu)，得良，得中，其余的得差，已知參加考試的學(xué)生不滿50人，那么得差的學(xué)生有多少人？【鞏固】 甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90，乙、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是105，甲、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是126，那么甲數(shù)是多少? 【鞏固】 一次考試，參加的學(xué)生中有得優(yōu)，得良，得中，其余的得差，已知參加考試的學(xué)生不滿100人，那么得差的學(xué)生有多少人？【例 6】 動物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生，如只

10、分給第一群，則每只猴子可得12粒；如只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒那么平均給三群猴子，每只可得多少粒？ 【鞏固】 加工某種機器零件，要經(jīng)過三道工序，第一道工序每名工人每小時可完成6個零件，第二道工序每名工人每小時可完成10個零件，第三道工序每名工人每小時可完成15個零件。要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序最少共需要多少名工人?（假設(shè)這三道工序可以同時進(jìn)行）【例 7】 大雪后的一天，小明和爸爸同時步測一個圓形花圃的周長，他倆的起點和步行方向完全相同，小明每步長54厘米，爸爸每步長72厘米由于兩人腳印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60個腳印求圓形花圃的周長

11、 【鞏固】 甲、乙兩人同時從A點背向出發(fā)，沿400米的環(huán)形跑道行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米，兩人至少經(jīng)過多長時間才能在A點相遇？ 【鞏固】 3條圓形跑道，圓心都在操場中的旗桿處，甲、乙、丙3人分別在里圈、中圈、外圈沿同樣的方向跑步.開始時，3人都在旗桿的正東方向，里圈跑道長千米，中圈跑道長千米，外圈跑道長千米.甲每小時跑千米，乙每小時跑4千米，丙每小時跑5千米.問他們同時出發(fā)，幾小時后，3人第一次同時回到出發(fā)點? 【鞏固】 有甲、乙、丙三個人在操場跑道上步行，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走120米，丙每分鐘走70米已知操場跑道周長為400米，如果三個人同時同向從同一地點出發(fā)，問幾分鐘

12、后，三個人可以首次相聚？ 【例 8】 已知兩個自然數(shù)的積為240，最小公倍數(shù)為60，求這兩個數(shù) 【鞏固】 已知兩數(shù)的最大公約數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126，求這兩個數(shù)的和是多少？ 【鞏固】 已知兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)為4，最小公倍數(shù)為120，求這兩個數(shù) 【鞏固】 兩個自然數(shù)的和是125，它們的最大公約數(shù)是25，試求這兩個數(shù) 模塊二、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例 9】 數(shù)360的約數(shù)有多少個?這些約數(shù)的和是多少? 【鞏固】 已知兩個數(shù)都是只含質(zhì)因數(shù)3和5，它們的最大公約數(shù)是75，已知有12個約數(shù)，有10個約數(shù)，求與的和 【例 10】 甲、乙兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是7，并且甲數(shù)除以乙數(shù)所

13、得的商是.乙數(shù)是_.【鞏固】 甲數(shù)是36，甲、乙兩數(shù)最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，那么乙數(shù)是多少？ 【鞏固】 馬鵬和李虎計算甲、乙兩個兩位數(shù)的乘積，馬鵬把甲數(shù)的個位數(shù)字看錯了，得乘積473；李虎把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯了，得乘積407，那么甲、乙兩數(shù)的乘積應(yīng)是_.【例 11】 如圖，鼴鼠和老鼠分別從長157米的小路兩端A、B開始向另一端挖洞。老鼠對鼴鼠說：“你挖完后，我再挖?！边@樣一來，由于老鼠原來要挖的一些洞恰好也是鼴鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少個洞？ 【鞏固】 有一些小朋友排成一行，從左面第一人開始每隔2人發(fā)一個蘋果；從右面第一人開始每隔4人發(fā)一個桔子，結(jié)果有10個小朋友蘋果和桔子都

14、拿到.那么這些小朋友最多有多少人？（）【鞏固】 在一根長木棍上，有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種刻度線把木棍分成12等份，第三種刻度線把木棍分成15等份，如果沿每條刻度線把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？【例 12】 已知正整數(shù)a、b之差為120，它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍，那么a、b中較大的數(shù)是多少？ 【鞏固】 已知兩個自然數(shù)的和為54，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為114，求這兩個自然數(shù)【例 13】 （2008第四屆“IMC國際數(shù)學(xué)邀請賽”（新加坡）六年級復(fù)賽）如圖，A、B、C是三個順次咬和的齒輪，當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈時，B恰好轉(zhuǎn)3圈：當(dāng)B轉(zhuǎn)4圈時，C恰好轉(zhuǎn)5圈

15、，則A、B、C的齒數(shù)的最小數(shù)分別是多少？ 【例 14】 求滿足條件的a、b的值(a、b都是四位數(shù)) 【例 15】 為自然數(shù)，且，、與690都有大于l的公約數(shù)的最小值為多少？ 【例 16】 一個兩位數(shù)有6個約數(shù)，且這個數(shù)最小的3個約數(shù)之和為10，那么此數(shù)為幾？ 【鞏固】 如果你寫出12的所有約數(shù)，1和12除外，你會發(fā)現(xiàn)最大的約數(shù)是最小約數(shù)的3倍現(xiàn)有一個整數(shù)n，除掉它的約數(shù)1和n外，剩下的約數(shù)中，最大約數(shù)是最小約數(shù)的15倍，那么滿足條件的整數(shù)n有哪些？ 【例 17】 在1到100中，恰好有6個約數(shù)的數(shù)有多少個？ 【鞏固】 恰有8個約數(shù)的兩位數(shù)有_個 【鞏固】 在三位數(shù)中，恰好有9個約數(shù)的數(shù)有多少個

16、？ 【鞏固】 能被2145整除且恰有2145個約數(shù)的數(shù)有 個 【鞏固】 能被210整除且恰有210個約數(shù)的數(shù)有 個 【鞏固】 (2008年仁華考題)1001的倍數(shù)中，共有 個數(shù)恰有1001個約數(shù) 【例 18】 已知偶數(shù)A不是4的整數(shù)倍，它的約數(shù)的個數(shù)為12，求4A的約數(shù)的個數(shù). 【鞏固】 自然數(shù)N有45個正約數(shù)。N的最小值為 ?！纠?19】 (2008年101中學(xué)考題)已知A數(shù)有7個約數(shù)，B數(shù)有12個約數(shù)，且A、B的最小公倍數(shù)，則 【鞏固】 如果一個自然數(shù)的2004倍恰有2004個約數(shù)，這個自然數(shù)自己最少有多少個約數(shù)？ 【例 20】 設(shè)A共有9個不同的約數(shù)，B共有6個不同的約數(shù)，C共有8個不同的約數(shù)，這三個數(shù)中的任何兩個都不整除，則這三個數(shù)之積的最小值是多少？ 【例 21】 已知自然數(shù)A、B滿足以下2個性質(zhì)：A、B不互質(zhì) A、B的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和為35。那么A+B