74曲線和方程

1、7.4曲線和方程一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1.理解曲線和方程的概念;2.掌握求曲線方程的方法步驟.二建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1. “曲線的方程”、“方程的曲線”的定義：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（純粹性）(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)（完備性）那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線2. 求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合；（3）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程f(x,y)=0;（4）化方程f(x,y)=0

2、為最簡(jiǎn)形式；（5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) 上述五步法中,若中化簡(jiǎn)過程是同解變形過程；或最簡(jiǎn)方程的解集與原始方程的解集相同，則步驟可省略.一般地要檢驗(yàn)一下所求得的方程表示的曲線 是否與原曲線一致.3求曲線方程常用方法:直接法, 定義法,參數(shù)法,相關(guān)點(diǎn)法,待定系數(shù)法;4.曲線交點(diǎn)：求兩曲線的交點(diǎn)，就是解這兩條曲線方程組成的方程組5曲線C1:f1(x，y)=0和曲線C2:f2(x，y)=0則(1)過C1與C2交點(diǎn)(若有)的曲線系方程為:f1(x，y)f2(x，y)=0(R)(不表示C2).(2)方程f1(x，y)f2(x，y)=0表示曲線C1和C2和并(集).6.由方程畫曲線

3、(圖形)的步驟：化簡(jiǎn)方程,討論曲線性質(zhì)(對(duì)稱性,趨勢(shì)等)；討論曲線的范圍；求截距,或用反解法求出x、y的取值范圍;列表; 描點(diǎn)、連線7. 解析幾何的本質(zhì)(2004上海高考題):用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì),即: 根據(jù)已知條件求出表示平面曲線的方程；通過方程，研究平面曲線的性質(zhì). 這也是解析幾何中的兩個(gè)基本問題。三、雙基題目練練手1.曲線C的方程是f(x,y)=0, 點(diǎn)P(x0,y0)不在曲線C上，則方程f(x,y)+f(x0,y0)=0表示的曲線與曲線C的關(guān)系是 ( )A.有一個(gè)交點(diǎn) B.有無窮多個(gè)交點(diǎn) C.無交點(diǎn) D.上述三種情況都有可能2.方程表示的曲線形狀是 ( )A.直線2x+3y-

4、5=0和直線x=4 B. 直線2x+3y-5=0和射線x=4C. 直線2x+3y-5=0(x>3)和直線x=4 D. 直線2x+3y-5=0和曲線3.(2006四川)已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PA|=2|PB|則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于 ( . )A. B.4 C.8 D.94(2005重慶)若動(dòng)點(diǎn)（）在曲線上變化，則的最大值為（ ）A BC D25.過定點(diǎn)A(a,b)的兩直線 l1與 l2互相垂直,設(shè)l1交x軸于點(diǎn)M,l2交y軸于點(diǎn)N,則線段MN的叫點(diǎn)P的軌跡方程是_6. 垂直于y軸的直線與y軸及拋物線y2=2(x1)分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)P，點(diǎn)B在

5、y軸上且點(diǎn)A分的比為1:2，求線段PB中點(diǎn)的軌跡方程。簡(jiǎn)答:1-4.CCBA； 5.解:設(shè)P(x,y),則M(2x,0),N(0,2y),由AMAN得方程2ax+2by-a2-b2=0.6.解：點(diǎn)參數(shù)法 設(shè)A(0,t),B(0,3t),則P(t2/2 +1, t),設(shè)Q(x,y),則有,消去t得：y2=16(x)四、經(jīng)典例題做一做【例1】畫出方程log(1+y)x+log(1y)x=2 log(1+y)x × log(1y)x的曲線解：x>0, 1+y>0, 1y>0, 1+y¹1, 1y¹1Þ1<y<1,y¹0,

6、 x>0(1)當(dāng)x=1時(shí)，1<y<1, y¹0;(2)當(dāng)x>0,x¹1時(shí) Þlogx(1y2)=2Þx2+y2=1 (x>0, x¹1) 結(jié)合(1) (2)畫出圖形特別提示：要注意對(duì)曲線方程中變量的范圍進(jìn)行討論.【例2】已知O方程為x2+y2=4，定點(diǎn)A（4，0），求過點(diǎn)A且和O相切的動(dòng)圓圓心的軌跡.分析：兩圓外切，連心線長(zhǎng)等于兩圓半徑之和，兩圓內(nèi)切，連心線長(zhǎng)等于兩圓半徑之差，由此可得到動(dòng)圓圓心在運(yùn)動(dòng)中所應(yīng)滿足的幾何條件，然后將這個(gè)幾何條件坐標(biāo)化，即得到它的軌跡方程.解法一：設(shè)動(dòng)圓圓心為P（x，y），因?yàn)閯?dòng)圓過定點(diǎn)

7、A，所以|PA|即動(dòng)圓半徑.當(dāng)動(dòng)圓P與O外切時(shí)，|PO|=|PA|+2；當(dāng)動(dòng)圓P與O內(nèi)切時(shí)，|PO|=|PA|2.綜合這兩種情況，得|PO|PA|=2.將此關(guān)系式坐標(biāo)化，得|=2.化簡(jiǎn)可得（x2）2=1.解法二：由解法一可得動(dòng)點(diǎn)P滿足幾何關(guān)系|OP|PA|=2，即P點(diǎn)到兩定點(diǎn)O、A的距離差的絕對(duì)值為定值2，所以P點(diǎn)軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，中心在OA中點(diǎn)（2，0），實(shí)半軸長(zhǎng)a=1，半焦距c=2，虛半軸長(zhǎng)b=，所以軌跡方程為（x2）2=1.提煉方法: 法1是直接法,把動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示;法2是定義法,先定曲線類型(由曲線定義),再求有關(guān)參數(shù).是一種常用方法.解直線和

8、二次曲線交點(diǎn)問題時(shí)，要注意相交必有“>0”的條件。 【例3】(2006陜西)如圖,三定點(diǎn)A(2,1),B(0,1),C(2,1); 三動(dòng)點(diǎn)D,E,M滿足=t, = t , =t , t0,1 () 求動(dòng)直線DE斜率的變化范圍; ()求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程 -1O12xMDAECBy解法一: 如圖， ()設(shè)D(xD，yD)，E(xE，yE)，M(x，y) 由=t， = t ， 知(xD2，yD1)=t(2，2) 同理 kDE = = = 12t t0，1 ， kDE1，1 () =t (x+2t2，y+2t1)=t(2t+2t2，2t1+2t1)=t(2，4t2)=(2t，4t22t) ， y

9、= ， 即x2=4y t0，1， x=2(12t)2，2 即所求軌跡方程為: x2=4y， x2，2解法二: ()同上 () 如圖， =+ = + t = + t() = (1t) +t， = + = +t = +t() =(1t) +t， = += + t= +t()=(1t) + t = (1t2) + 2(1t)t+t2 設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由=(2，1)， =(0，1)， =(2，1)得 消去t得x2=4y， t0，1， x2，2 故所求軌跡方程為: x2=4y， x2，2 提煉方法：參數(shù)法求主程的關(guān)鍵是合理選擇參數(shù)，本題以決定動(dòng)點(diǎn)的實(shí)數(shù)t為參數(shù)是顯而易見的；參數(shù)法求方程的主要任

10、務(wù)是消參，本題用代入消元法消去了兩個(gè)參數(shù)x0,y0,在設(shè)點(diǎn)參數(shù)時(shí)，經(jīng)常使用這種消元技巧【例4】(2005北京)如圖，直線l1：與直線l2：之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W1，右半部分記為W2.（）分別用不等式組表示W(wǎng)1和W2；（）若區(qū)域W中的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到l1，l2的距離之積等于d2，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與（）中的曲線C相交于M1，M2兩點(diǎn)，且與l1，l2分別交于M3，M4兩點(diǎn). 求證OM1M2的重心與OM3M4的重心重合.解：（I）（II）直線由題意得 （III）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為. 由于直線l，曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，且l1

11、與l2關(guān)于x軸對(duì)稱，于是M1M2，M3M4的中點(diǎn)坐標(biāo)都為（a，0），所以O(shè)M1M2，OM3M4的重心坐標(biāo)都為，即它們的重心重合.當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為由由直線l與曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可知于是OM1M2的重心與OM3M4的重心也重合.【研討.欣賞】已知常數(shù)a>0，向量，經(jīng)過定點(diǎn)A（0，a）以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)B（0，a）以為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中（）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（）若過E（0，1）的直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn)，求的取值范圍解：（）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則又由題知向量與向量又向量與向量?jī)煞匠搪?lián)立消去參數(shù)，得點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程是 （），故

12、點(diǎn)P的軌跡方程為此時(shí)點(diǎn)E（0，1）為雙曲線的焦點(diǎn)若直線l的斜率不存在，其方程為x=0，l與雙曲線交于、， 此時(shí) 若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為化簡(jiǎn)得 直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)兩交點(diǎn)為， 則此時(shí)當(dāng)當(dāng)綜上所述，的取值范圍是 提煉方法:1.交軌法也是求軌跡方程的一種重要方法,具體過程是:(1).建立動(dòng)直線(或曲線)的方程;(2).消去動(dòng)直線(或曲線)方程中的參數(shù),得到交點(diǎn)(即動(dòng)點(diǎn))坐標(biāo)x,y的方程即為所求.2.“設(shè)而不求”是解題(2)的一個(gè)亮點(diǎn).在解直線與圓錐曲線交點(diǎn)、弦長(zhǎng)、斜率等問題時(shí)，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式作整體代換處理，是簡(jiǎn)潔高效化難為易的好方法。3.以向量的形式給出題設(shè),或用向量的方法求解

13、解析幾何問題,是一個(gè)新的命題方向,應(yīng)多留心關(guān)注.五提煉總結(jié)以為師1.求軌跡方程的一般步驟是：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn). 解題時(shí)應(yīng)先對(duì)動(dòng)點(diǎn)的形成過程進(jìn)行分析，找出引起點(diǎn)“動(dòng)”的因素，探求幾何關(guān)系，或建立參數(shù)方程,再求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y的方程2.如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識(shí)推出等量關(guān)系，求方程時(shí)可用直接法.3.如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可用曲線定義寫出方程，這時(shí)用定義法.4.如果軌跡動(dòng)點(diǎn)P（x，y）依賴于某已知曲線上另一動(dòng)點(diǎn)Q（a，b）變化，則可先列出關(guān)于x、y、a、b的方程組，利用x、y表示出a、b，把a(bǔ)、b代入已知曲線方程便得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方

14、程.此法稱為代入法（相關(guān)點(diǎn)法）.5.如果軌跡動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時(shí)，可先考慮將x、y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法.參數(shù)法中常選變角、變斜率或點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù). 要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)方程的影響6.處理涉及直線和二次曲線交點(diǎn)問題時(shí)，重視“設(shè)點(diǎn)不求”，用韋達(dá)定理進(jìn)行整體運(yùn)算的方法和策略同步練習(xí) 7.4曲線和方程【選擇題】1.直線被拋物線截得線段中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是 ( )A. B. C. D.292.直角坐標(biāo)系內(nèi),到到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點(diǎn)的軌跡方程是 ( )A.|x|-|y|=1 B.|x-y|=1 C.|x|-|y|=1 D.

15、|x±y|=13設(shè)曲線C對(duì)應(yīng)的方程為F(x,y)=0,命題甲為：點(diǎn)P的坐標(biāo)適合方程F(x,y)=0； 命題乙為：點(diǎn)P在曲線C上；命題丙為：點(diǎn)Q的坐標(biāo)不適合方程F(x,y)=0; 命丁為：點(diǎn)Q不在曲線C上.已知甲是乙的必要條件，但非充分條件，那么 （ ）A丙是丁的充分條件，但非丁的必要條件B丙是丁的必要條件，但非丁的充分條件C丙是丁的充要條件D丙非丁的充分條件，也非丁的必要條件【填空題】4.若動(dòng)點(diǎn)P在y=2x2+1上移動(dòng),則點(diǎn)P與點(diǎn)Q(0,-1)連線中點(diǎn)的軌跡方程是_5. 已知ABC中，ÐA,ÐB,ÐC所對(duì)應(yīng)的邊為a,b,c,且a>c>b,a,

16、c,b成等差數(shù)列，|AB|=2,求頂點(diǎn)C的軌跡方程6.已知ABC中，B（1，0）、C（5，0），點(diǎn)A在x軸上方移動(dòng)，且tanB+tanC=3，則 ABC的重心G的軌跡方程為_.簡(jiǎn)答.提示：1-3.ACA； 4.y= -2x2-35.解：|BC|+|CA|=4>2,由橢圓的定義可知，點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)軸為4，焦距為2, 短軸長(zhǎng)為2, 橢圓方程為, 又a>b, 點(diǎn)C在y軸左側(cè)，必有x<0,而C點(diǎn)在x軸上時(shí)不能構(gòu)成三角形，故x2, 因此點(diǎn)C的軌跡方程是：(2<x<0) 6.解：設(shè)A（x0，y0），tanB+tanC=3，=3，點(diǎn)A的軌跡方程為y0=（

17、x026x0+5）（x01且x05）.若G（x，y）為ABC的重心，則由重心坐標(biāo)公式：x=，y=，x0=3x6，且y0=3y.代入A點(diǎn)軌跡方程得G的軌跡方程為y1=（x3）2（x且x）.答案：y1=（x3）2（x且x）【解答題】7. 已知拋物線C：y=x2+mx1,點(diǎn)A(3,0),B(0,3)，若拋物線C與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍先分析如下解法：線段AB所在的直線方程是x+y=3,由方程組： (1) 消去y得： x2(m+1)x+4=0 (2) , 設(shè)f(x)= x2(m+1)x+4, 由于拋物線與線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故方程f(x)=0在區(qū)間0,3上有兩個(gè)不同根， 3<m&

18、#163;10/3點(diǎn)評(píng)：解析幾何中的軌跡方程，范圍問題，都涉及等價(jià)性，即充要條件的概念8. AB是圓O的直徑，且AB2a，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作MNAB，垂足為N，在OM上取點(diǎn)P，使OPMN，求點(diǎn)P的軌跡.解：以圓心O為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖），則O的方程為x2y2a2，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），并設(shè)圓與y軸交于C、D兩點(diǎn)，作PQAB于Q，則有.OPMN，OP2OM·PQ.x2+y2ay，即 x2（y±）2（）2.軌跡是分別以CO、OD為直徑的兩個(gè)圓.9. 設(shè)直線xy=4a與拋物線y2=4ax 交于兩點(diǎn)A，B (a為定值)，C為拋物線上任意一點(diǎn)，求ABC的

19、重心的軌跡方程分析：，是定點(diǎn)，影響ABC的重心運(yùn)動(dòng)的因素是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，故選點(diǎn)的坐標(biāo)作參數(shù)解：設(shè)ABC的重心為G(x,y) ,點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(x0,y0),A(x1,y1), B(x2,y2) 由方程組：消去y并整理得：x212ax+16a2=0 x1+x2=12a, y1+y2=(x14a)+(x24a)=(x1+x2)8a=4a由于G(x,y)為ABC的重心, GCBAoyx, 又點(diǎn)C(x0,y0)在拋物線上，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的方程得：(3y4a)2=4a(3x12a), 即(y)2 = (x4a) 又點(diǎn)C與A，B不重合，x ¹ (6±)a10.（2004春安徽）已知k0，直線l1：y=kx，l2：y=kx.（1）證明：到l1、l2的距離的平方和為定值a（a0）的點(diǎn)的軌跡是圓或橢圓；（2）求到l1、l2的距離之和為定值c（c0）的點(diǎn)的軌跡.（1）證明：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為動(dòng)點(diǎn)，則+=a，整理得+=1.因此，當(dāng)k=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓；當(dāng)k1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓.（2）解：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為動(dòng)點(diǎn)，則|ykx|+|y+kx|=c.當(dāng)yk|x|時(shí)，ykx+y+kx=c，即y