2017年度年新人教A版本高中數(shù)學(xué)必修四 2.5（平面向量應(yīng)用舉例）導(dǎo)學(xué)案

1、2.5平面向量應(yīng)用舉例導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會(huì)用平面向量知識(shí)解決幾何問題的兩種方法-向量法和坐標(biāo)法，可以用向量知識(shí)研究物理中的相關(guān)問題的“四環(huán)節(jié)” 和生活中的實(shí)際問題；2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何和物理問題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的積極主動(dòng)的探究意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。 【導(dǎo)入新課】回顧提問：（1）若O為重心,則+=。（2）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個(gè)四邊形為等腰梯形.類比幾何元素之間的關(guān)系,你會(huì)想到向量運(yùn)算之間都有什么關(guān)系?(3) 兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力.為什么？教師：本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何和物理問題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以

2、及用向量解決平面幾何和物理問題的步驟，已經(jīng)布置學(xué)生們課前預(yù)習(xí)了這部分，檢查學(xué)生預(yù)習(xí)情況并讓學(xué)生把預(yù)習(xí)過程中的疑惑說出來。新授課階段探究一：（）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論若，則，且所在直線平行或重合相類比，你有什么體會(huì)？（）由學(xué)生舉出幾個(gè)具有線性運(yùn)算的幾何實(shí)例教師：平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來： 例如，向量數(shù)量積對(duì)應(yīng)著幾何中的長度.如圖： 平行四邊行中，設(shè),，則（平移），（長度）向量，的夾角為.因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題。通過向量運(yùn)算研究幾何運(yùn)算之間的關(guān)系，如距離、夾角等把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系本節(jié)課，我們就通過幾個(gè)具體實(shí)例，來說明向量

3、方法在平面幾何中的運(yùn)用。例1 證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和已知：平行四邊形ABCD求證：分析：證明：用向量方法解決平面幾何問題，主要有下面三個(gè)步驟：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系變式訓(xùn)練：中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)（1）證明A、O、E三點(diǎn)共線；（2）用表示向量。例2 如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之

4、間的關(guān)系嗎？分析：解：說明：本例通過向量之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)法使用向量方法證明平面幾何問題的常用方法探究二：（1）兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力.為什么？（2）在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng),兩臂夾角越小越省力.為什么？向量在物理中的應(yīng)用，實(shí)際上就是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量運(yùn)算解決向量問題，最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象例3 在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？分析：解：通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)由逐漸變大時(shí)，由逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此，|F

5、1|有小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問題，思考下面的問題：為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少？|F1|能等于|G|嗎？為什么？例4 如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少(精確到0.1min)？分析：解：本例關(guān)鍵在于對(duì)“行駛最短航程”的意義的解釋，即“分析”中給出的船必須垂直于河岸行駛，這是船的速度與水流速度的合速度應(yīng)當(dāng)垂直于河岸，分析清楚這種關(guān)系后，本例就容易解決了。例5 已知 ,的夾角為60o,當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，？例6

6、 如圖，ABCD為正方形，P是對(duì)角線DB上一點(diǎn)，PECF為矩形，求證：PA=EF； PAEF. 若，得； 若，得例7 如圖，矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O，點(diǎn)P是圓周上任意一點(diǎn)，求證：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.證明: 例8 已知P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且345延長AP交BC于點(diǎn)D，若，用、表示向量、解：課堂小結(jié)利用向量的方法解決平面幾何問題的“三步曲”？（1） 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，（2） 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，（3） 把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。作業(yè)見同步練習(xí)拓展提升一、 選擇題1.給出下面四個(gè)結(jié)論： 若線段AC=AB+BC，則向量； 若向量，則線段AC=AB

7、+BC； 若向量與共線，則線段AC=AB+BC; 若向量與反向共線，則.其中正確的結(jié)論有 （ ）A. 0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)2.河水的流速為2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜止速度大小為 （ ）A.10 B. C. D.123.在中，若=0，則為 ( ）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.無法確定二、填空題4.已知兩邊的向量，則BC邊上的中線向量用、表示為 。參考答案例1 分析：用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時(shí)，我們常常要考慮向量的數(shù)量積注意到， ，我們計(jì)算和證明：不妨設(shè)a，b，則a+b，a-b，|a|2，|b|2得( a+b)·

8、;( a+b)= a·a+ a·b+b·a+b·b= |a|2+2a·b+|b|2 同理,|a|2-2a·b+|b|2 +得 2(|a|2+|b|2)=2()所以，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和例2 分析：由于R、T是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，所以要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關(guān)系即可解：設(shè)a，b，則a+b因?yàn)榕c共線，因此，存在實(shí)數(shù)m，使得=m(a+b)又因?yàn)榕c共線，因此存在實(shí)數(shù)n，使得=n= n(b- a)由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)整理得ab0由于向量a、b

9、不共線，所以有解得所以同理 于是 所以 ARRTTC例3 分析：上面的問題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學(xué)模型只要分析清楚F、G、三者之間的關(guān)系（其中F為F1、F2的合力）,就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋解：不妨設(shè)|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F1|=通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)由逐漸變大時(shí)，由逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此，|F1|有小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力例4分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對(duì)岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時(shí)間最短考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對(duì)岸（用幾何畫板演示水流速度對(duì)船的實(shí)際航行的影響）解：=(km/h)，所以， (min)答：行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是3.1 min例5 解：若，得；若，得例6 解：以D為原點(diǎn)，為x軸正方