7第七章習(xí)題及答案

1、習(xí)題71.一工廠利用三種原料能生產(chǎn)五種產(chǎn)品，其有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：每萬件產(chǎn)品所用原料數(shù)（kg）產(chǎn)品現(xiàn)在原料數(shù)（kg）ABCDE原料甲乙丙111202112032122102421每萬件產(chǎn)品利潤（萬元）820102021(1) 求最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃.(2) 對(duì)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)c1、c4分別作靈敏度分析.(3) 對(duì)約束條件的常數(shù)項(xiàng)b1、b2分別作靈敏度分析.(4) 如果引進(jìn)新產(chǎn)品F，已知生產(chǎn)F1萬件要用原材料甲、乙、丙分別為1、2、1公斤，問F的利潤多少時(shí)才有利于投產(chǎn)？如果每萬件F可得到利潤12萬元，問F是否有利于投產(chǎn)？(5) 如果新增加煤耗不允許超過10噸的限制，而生產(chǎn)每萬件A、B、C、D、E產(chǎn)品分別需要煤3

2、、2、1、2、1噸，問原最優(yōu)方案是否需要改變？如果改變，應(yīng)如何改變？解：設(shè)用分別表示計(jì)劃生產(chǎn)產(chǎn)品A、B、C、D、E的單位數(shù)量（萬件）模型為： 標(biāo)準(zhǔn)形： (1) 基對(duì)應(yīng)的初始單純形表. 8 20 10 20 21 0 0 001 2 1 0 1 1 0 0101 0 1 3 2 0 1 0241 2 2 2 2 0 0 121換基迭代 -2 0 0 20 11 -10 0 0-1001/2 1 1/2 0 1/2 1/2 0 051 0 1 3 2 0 1 0240 0 1 2 1 -1 0 111繼續(xù) -3 -2 -11 0 0 -1 0 -10-2201 2 1 0 1 1 0 0101/2

3、 -1 -1 0 0 1 1 -3/25/2-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/21/2所以,即D生產(chǎn)1/2萬件，E生產(chǎn)10萬件，獲得最大利潤220萬元.(2) 對(duì)c1作靈敏度分析記則（由最優(yōu)基對(duì)應(yīng)）任以為最優(yōu)基 -3 -2 -11 0 0 -1 0 -10-2201 2 1 0 1 1 0 0101/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/25/2-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/21/2若要原最優(yōu)解不變，應(yīng)滿足條件：，則的價(jià)值系數(shù)時(shí)，最優(yōu)解最優(yōu)值不變.對(duì)c4作同樣的靈敏度分析任以為最優(yōu)基 -3 -2 -11 0 0 -1 0 -10-220-1 2 1 0 1 1 0 0101

4、/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/25/2-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/21/2若要原最優(yōu)解不變，應(yīng) ，所以 ，最優(yōu)值變?yōu)?(3) 對(duì)b1作靈敏度分析設(shè)最優(yōu)基，則新的基解所以令得到，即時(shí)，最優(yōu)基不變。對(duì)b4作靈敏度分析可以得到，即時(shí)，最優(yōu)基不變。(4) 設(shè)生產(chǎn)新產(chǎn)品F萬件，每單位的利潤為萬元 原最優(yōu)解是該問題的一個(gè)可行解。任取為基，= 所以時(shí)，B不是最優(yōu)基，可取非0值，從而安排生產(chǎn)F有利。檢驗(yàn)數(shù)為： -3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 1-2201 2 1 0 1 1 0 0 1101/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 3/25/2-1/2 -1 0 1 0

5、 -1 0 1/2 -1/21/2變?yōu)?0 0 -9 0 0 1 1 0 0 0 -1 1 1 0 0 0即每萬件F可得利潤12萬元時(shí)，應(yīng)生產(chǎn)D為萬件，E為萬件，F(xiàn)為萬件。(5) 新增約束條件標(biāo)準(zhǔn)形 將（1）添入原最優(yōu)基對(duì)應(yīng)的單純形表 -3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 0 -2201 2 1 0 1 1 0 0 0101/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 05/2-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 01/23 2 1 2 1 0 0 0 110為對(duì)偶可行基對(duì)偶單純形法 -33 -22 -11 0 0 -11 0 0 -10 -2101 2 1 0 1 1 0 0

6、010-4 -4 -1 0 0 -1/2 1 0 -3/2 41 0 0 1 0 -1/2 0 0 1/20-3 -2 0 0 0 -1 0 1 -11所以最優(yōu)解，即改變?yōu)橹簧a(chǎn)E為10萬件。3.求解下列線性規(guī)劃問題的對(duì)偶問題：（2） （3） 解(1) 對(duì)偶問題： (2) 對(duì)偶問題：3.判斷下列說法是否正確，為什么？（1） 如果線性規(guī)劃的原問題存在可行解，則其對(duì)偶問題也一定存在可行解.（2） 如果線性規(guī)劃的對(duì)偶問題無可行解，則其原問題也一定無可行解.（3） 如果線性規(guī)劃的原問題和對(duì)偶問題都具有可行解，則其原問題和對(duì)偶問題一定具有有限最優(yōu)解.（4） 已知線性規(guī)劃問題，若x是它的一個(gè)基解，y是其對(duì)

7、偶問題的基解，則恒有.解：1. ×。如原問題是無界解，則對(duì)偶問題無可行解。P167 Th3。2. ×。（1）的逆否命題。3. 。P167 Thm44. ×。原問題 對(duì)偶問題 若為可行解 則有 但若為基解，則不一定6.已知線性規(guī)劃問題（1） 寫出它的對(duì)偶問題；（2） 應(yīng)用對(duì)偶理論證明原問題和對(duì)偶問題都存在最優(yōu)解.解：對(duì)偶問題 （1） 原問題顯然有可行解對(duì)偶問題可行解則由Thm4（P167）得原問題和對(duì)偶問題都有最優(yōu)解8.某文具用品廠用原材料白坯紙生產(chǎn)原稿紙、日記本和練習(xí)本三種產(chǎn)品。該廠現(xiàn)有工人100人，每月白坯紙供應(yīng)量為3萬公斤。已知工人的勞動(dòng)生產(chǎn)率為：每人每月可生

8、產(chǎn)原稿紙30捆，或生產(chǎn)日記本30打，或練習(xí)本30箱。已知原材料消耗為：每捆原稿紙用白坯紙公斤，每打日記本用白坯紙公斤，每箱練習(xí)本用白坯紙公斤。又知每生產(chǎn)一捆原稿紙可獲利潤2元，生產(chǎn)一打日記本獲利3元，生產(chǎn)一箱練習(xí)本獲利1元，試確定：（1） 現(xiàn)有生產(chǎn)條件下獲利最大的方案；（2） 如白坯紙的供應(yīng)數(shù)量不變，當(dāng)工人數(shù)不足時(shí)可招收臨時(shí)工，臨時(shí)工工資支出為每人每月40元，則該工廠要不要招收臨時(shí)工，招收多少臨時(shí)工合適？解：設(shè)每月生產(chǎn)原稿紙捆，日記本打，練習(xí)本箱標(biāo)準(zhǔn)形 以為基的初始單純形表02 3 1 0 03000300001 1 1 1 0 0 1變?yōu)?9000-1 0 -2 -3 03000-100001 1 1 1 0-10 0 1對(duì)偶單純形法-80000 0