版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1999 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分。把正確答案填寫在題中橫線上。)(1) (2) (3) 的通解為 (4) 設(shè)n 階矩陣A 的元素全為1,則A 的個特征值是 (5) 設(shè)兩兩相互獨立的三事件A, B 和C 滿足條件:則 二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分。每小題給出得四個選項中,只有一個是符合題目要求的,把所選項前的字母填在提后的括號內(nèi)。)(1)設(shè)是連續(xù)函數(shù),是的原函數(shù),則 ( )(A) 當(dāng)是奇函數(shù)時,必是偶函數(shù)。(B) 當(dāng)是偶函數(shù)時,必是奇函數(shù)。(C) 當(dāng)是周期函數(shù)時,必是周期函數(shù)。(D)
2、當(dāng)是單調(diào)增函數(shù)時,必是單調(diào)增函數(shù)。(2)設(shè)其中是有界函數(shù),則在處 ( ) (A)極限不存在 (B)極限存在,但不連續(xù)(C)連續(xù),但不可導(dǎo) (D)可導(dǎo)(3) 設(shè)其中則等于 ( )(A) (B) (C) (D)(4)設(shè)A 是矩陣, B 是矩陣,則(A)當(dāng)時,必有行列式 (B)當(dāng)時,必有行列式(C)當(dāng)時,必有行列式 (D)當(dāng)時,必有行列式(5)設(shè)兩個相互獨立的隨機(jī)變量X 和Y 分別服從正態(tài)分布N和N,則(A) (B) (C) (D) 三、(本題滿分5分)設(shè),是由方程和=0所確定的函數(shù),其中和分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求。四、(本題滿分5分)求其中a,b 為正常數(shù), L 為從點A沿曲線到點
3、O的弧.五、 (本題滿分6分)設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo),且,.過曲線上任意一點作該曲線的切線及軸的垂線,上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為,區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為,并設(shè)恒為1,求此曲線的方程.六、(本題滿分6分)試證:當(dāng)時,七、(本題滿分6分)為清除井底的污泥,用纜繩將抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口見圖,已知井深30m,抓斗自重, 纜繩每米重 ,抓斗抓起的污泥重,提升速度為,在提升過程中,污泥以的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口,問克服重力需作多少焦耳的功?(說明:其中分別表示米,牛頓,秒,焦耳;抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計.)八、(本題滿分7分)設(shè)S 為
4、橢球面的上半部分,點PS,為S 在點P 處的切平面,為點O到平面的距離,求九、(本題滿分7分)設(shè)(1) 求的值;(2) 試證:對任意的常數(shù)>0, 級數(shù)收斂十、(本題滿分8分)設(shè)矩陣其行列式又A 的伴隨矩陣有一個特征值,屬于的一個特征向量為求和的值.十一、(本題滿分6分)設(shè)A 為m 階實對稱矩陣且正定,B為m×n實矩陣,為B的轉(zhuǎn)置矩陣,試證:為正定矩陣的充分必要條件是B的秩.十二、(本題滿分8分)設(shè)隨機(jī)變量X 與Y 相互獨立,下表列出了二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律及關(guān)于X 和關(guān)于Y 的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值,試將其余數(shù)值填入表中的空白處. Y X 1十三、(本題滿分6分)設(shè)總體X 的概
5、率密度為是取自總體X 的簡單隨機(jī)樣本.(1) 求的矩估計量(2) 求的方差1999 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.把正確答案填寫在題中橫線上.)(1)【答案】【分析】利用的等價變換和洛必達(dá)法則求函數(shù)極限.【詳解】方法1: 方法2:(2)【答案】【分析】欲求,唯一的辦法是作變換,使含有中的“轉(zhuǎn)移”到之外【詳解】令,則,所以有 (3)【答案】其中為任意常數(shù).【分析】先求出對應(yīng)齊次方程的通解,再求出原方程的一個特解.【詳解】原方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為:解得,故的通解為由于非齊次項為因此原方程的特解可設(shè)為代入原方程可求得,故所求通解為
6、(4)【詳解】因為(對應(yīng)元素相減) 兩邊取行列式,令,得,故矩陣A的n個特征值是n和0(重)(5)【答案】【詳解】根據(jù)加法公式有因為,設(shè)由于兩兩相互獨立,所以有,又由于,因此有所以 又,從而,則有,解得 因,故 ,即二、選擇題(1)【答案】( A )【詳解】應(yīng)用函數(shù)定義判定函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性.的原函數(shù)可以表示為于是當(dāng)為奇函數(shù)時,從而有即 F(x)為偶函數(shù). 故(A)為正確選項.(B)、(C)、(D)可分別舉反例如下:是偶函數(shù),但其原函數(shù)不是奇函數(shù),可排除(B);是周期函數(shù),但其原函數(shù)不是周期函數(shù),可排除(C);在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增函數(shù),但其原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)非單調(diào)增函數(shù),可排除(D).(2)
7、【答案】( D )【詳解】由于可導(dǎo)必連續(xù),連續(xù)則極限必存在,可以從函數(shù)可導(dǎo)性入手.因為 從而,存在,且,故正確選項為(D). (3)【答案】( C )【詳解】由題設(shè)知,應(yīng)先將從0,1)作偶延拓,使之成為區(qū)間1,1上的偶函數(shù),然后再作周期(周期2)延拓,進(jìn)一步展開為傅里葉級數(shù), 而是的間斷點,按狄利克雷定理有,(4)【答案】B 【詳解】方法1:是矩陣,是矩陣,則是階方陣,因.當(dāng)時,有. (的系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)),故有行列式,故應(yīng)選(B).方法2:是矩陣, 當(dāng)時, 則 (系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)) ,方程組必有非零解,即存在,使得,兩邊左乘,得,即有非零解,從而,故選(B).方法3:
8、用排除法(A),取 ,(A)不成立(C),取 ,(C)不成立(D),取 ,(D)不成立,故選(B).(5)【答案】B【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì):服從正態(tài)分布的獨立隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布. 因相互獨立,且,所以, 其中,由期望的性質(zhì):,由獨立隨機(jī)變量方差的性質(zhì): 所以 ,(一般來說遇到正態(tài)分布的小題,主要就考兩點,標(biāo)準(zhǔn)化和對稱性,考慮問題也是從這兩點出發(fā))A選項: 因由標(biāo)準(zhǔn)化的定義:若,則所以,將其標(biāo)準(zhǔn)化有(保證變換過程中概率不變,所以不等號的左邊怎么變,右邊也同樣的變化)又因為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖像是關(guān)于軸對稱,所以,而,所以A錯.B選項:將其標(biāo)準(zhǔn)化有:(根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對稱性)故B正確
9、.C選項:將其標(biāo)準(zhǔn)化有:,故C錯.D選項:將其標(biāo)準(zhǔn)化有:,故D錯.三【詳解】分別在和的兩端對求導(dǎo)數(shù),得整理后得 解此方程組,得四【詳解】方法1:湊成閉合曲線,應(yīng)用格林公式.添加從點沿到點的有向直線段, 如圖,則利用格林公式,前一積分其中D為+L所圍成的半圓域,后一積分選擇為參數(shù),得:可直接積分 ,故 方法2:將曲線積分分成兩部分,其中一部分與路徑無關(guān),余下的積分利用曲線的參數(shù)方程計算.前一積分與路徑無關(guān),所以對后一積分,取的參數(shù)方程,則,從到,得從而 五【詳解】如圖,曲線上點處的切線方程為所以切線與軸的交點為由于因此于是 又,根據(jù)題設(shè) 即 兩邊對求導(dǎo)并化簡得 這是可降階得二階常微分方程,令則,
10、則上述方程可化為分離變量得,解得 即從而有 ,根據(jù) 可得故所求曲線得方程為 六【詳解】構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,證法1:令 易知又 可見,當(dāng)時,;當(dāng)時,因此,為的最小值,即當(dāng)時,所以為單調(diào)增函數(shù). 又因為,所以有時 ;時,所以利用函數(shù)單調(diào)性可知,為的最小值,即所以有時,證法2:先對要證的不等式作適當(dāng)變形,當(dāng)時,原不等式顯然成立;當(dāng)時,原不等式等價于 當(dāng)時,原不等式等價于令 則 又因為利用函數(shù)單調(diào)性可知當(dāng)時,即當(dāng)時,即綜上所述,當(dāng)時,七【詳解】建立坐標(biāo)軸如圖所示,解法1:將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功,其中是克服抓斗自重所作的功;是克服纜繩重力作的功;為提出污泥所作的功. 由題意知將抓斗由處
11、提升到處,克服纜繩重力所作的功為= 纜繩每米重×纜繩長×提升高度從而 在時間間隔內(nèi)提升污泥需做功為將污泥從井底提升至井口共需時間所以 因此,共需做功 解法2:將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功記為,當(dāng)抓斗運動到處時,作用力包括抓斗的自重, 纜繩的重力, 污泥的重力即 于是 八【分析】先寫出切平面方程,然后求,最后將曲面積分化成二重積分.【詳解】點,在點處的法向量為,設(shè)為上任意一點,則的方程為,化簡得由點到平面的公式,到的距離從而 用投影法計算此第一類曲面積分,將投影到平面,其投影域為由曲面方程知 于是因此 故有 九【詳解】(1) 因為又由部分和數(shù)列有 因此 (2) 先估計的值
12、,因為,令,則,即所以 所以 由于,所以收斂,從而也收斂.十【詳解】根據(jù)題設(shè),有一個特征值,屬于的一個特征向量為 根據(jù)特征值和特征向量的概念,有 把代入中,得則. 把代入,于是 即也即,常數(shù)乘以矩陣,需用乘以矩陣的每一個元素矩陣相等,則矩陣的對應(yīng)元素都相同,可得因, 的特征值,的特征值,故由(1),(3)兩式得,兩邊同除,得 整理得,代入(1)中,得. 再把代入(2)中得又由,以及,有(其中的指數(shù)3,1分別是1的行數(shù)和列數(shù))故 因此十一【詳解】“必要性”. 設(shè)為正定矩陣,則由定義知,對任意的實維列向量,有 即于是,即對任意的實維列向量,都有. (若,則矛盾). 因此,只有零解,故有(有唯一零解的充要條件是).“充分性”. 因為階實對稱矩陣,則,故根據(jù)實對稱矩陣的定義知也為實對稱矩陣. 若,則線性方程組只有零解,從而對任意的實維列向量,有. 又為正定矩陣,所以對于有 故為正定矩陣(對任意的實維列向量,有).十二【詳解】離散型隨機(jī)變量邊緣分布律的定義:(通俗點說就是在求關(guān)于的邊緣分布時,就把對應(yīng)的所有都加起來,同理求關(guān)于的邊緣分布時,就把對應(yīng)的所有都加起來)故 即而由表知,所以又根據(jù)相互獨立,則有:即因,而所以再由邊緣分布的定義有所以 又由獨立性知所以 由邊緣分布定義有所以 再由,所以而 故 又,所以所以有:YX1十三【詳解】矩估計的實質(zhì)在于用樣本矩來估計相
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 營銷渠道管理課程設(shè)計
- 竹編研學(xué)單元課程設(shè)計
- 成本控制制度管理辦法(2篇)
- 二零二五年度智慧城市建設(shè)合伙經(jīng)營收益分成合同3篇
- 2025年導(dǎo)購員年終工作總結(jié)(2篇)
- 二零二五年度出租車駕駛員權(quán)益保障承包協(xié)議3篇
- 2025年綠化工作管理制度樣本(2篇)
- 課程設(shè)計坐標(biāo)圖
- 二零二五年度家庭別墅專業(yè)保潔外包服務(wù)協(xié)議
- 2025年學(xué)校衛(wèi)生室工作計劃例文(2篇)
- GB/T 35199-2017土方機(jī)械輪胎式裝載機(jī)技術(shù)條件
- GB/T 28591-2012風(fēng)力等級
- GB/T 14864-2013實心聚乙烯絕緣柔軟射頻電纜
- 思博安根測儀熱凝牙膠尖-說明書
- 信息學(xué)奧賽-計算機(jī)基礎(chǔ)知識(完整版)資料
- 數(shù)字信號處理(課件)
- 出院小結(jié)模板
- HITACHI (日立)存儲操作說明書
- (新版教材)蘇教版二年級下冊科學(xué)全冊教案(教學(xué)設(shè)計)
- 61850基礎(chǔ)技術(shù)介紹0001
- 電鏡基本知識培訓(xùn)
評論
0/150
提交評論