數(shù)值代數(shù)實(shí)驗(yàn)報(bào)告材料(1)絕對(duì)經(jīng)典

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案我上文考數(shù)值代數(shù)實(shí)驗(yàn)報(bào)告Numerical Linear Algebra And ItsApplications學(xué)生所在學(xué)院：理學(xué)院學(xué)生所在班級(jí)：計(jì)算數(shù)學(xué)10-1學(xué)生姓名：戈?yáng)|潮指導(dǎo)教師：于春肖教務(wù)處2012年12月實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)名稱：Poisson方程邊值問(wèn)題的五點(diǎn)差分格式實(shí)驗(yàn)時(shí)間：2012 年12月13日 星期四實(shí)驗(yàn)成績(jī)： 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^(guò)上機(jī)利用Matlab數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)Poisson方程的邊值問(wèn)題的五點(diǎn)差分格式的 線性代數(shù)方程組來(lái)認(rèn)真解讀Poisson方程邊值問(wèn)題的具體思想與方法，使我們 掌握得更加深刻，并且做到學(xué)習(xí)與使用并存，增加學(xué)習(xí)的實(shí)際動(dòng)手性，不再讓 學(xué)習(xí)局限于書(shū)本和紙上

2、，而是利用計(jì)算機(jī)學(xué)習(xí)來(lái)增加我們的學(xué)習(xí)興趣。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：禾用Poisson方程來(lái)解下列問(wèn)題：c2uc2u2j -(丁 + 7)= 2冗2sin71 xsin71 y,(x, y)e 建:x2:y2u(x,y) = 0,(x, y)：:,其中c w (x, y)0 M x,y <1 4夏是c的邊界。邊值問(wèn)題的解釋是 u(x,y) =sin二xsin二y(1)用例題中模型問(wèn)題的方法取 N=5,10 (也可以取N=20列出五點(diǎn)差分格式 的線性代數(shù)方程組三、實(shí)驗(yàn)過(guò)程：系數(shù)矩陣A的Matlab實(shí)現(xiàn)函數(shù)如下：%t 件名：poisson.mfunction T=poisson(N)for i=1:Na

3、(i)=4;endb=diag(a);for j=1:N-1b(j,j+1)=-1;end精彩文檔for j=2:N b(j,j-1)=-1;endfor i=1:NI(i)=-1； endI=diag(I)；for i=1:N:N*Nfor j=1:NT(i+j-1,i:i+N-1)=b(j,:); endendfor i=1:N:N*N-Nfor j=1:NT(i+j-1,i+N:i+N-1+N)=I(j,:); endendfor i=1+N:N:N*Nfor j=1:NT(i+j-1,i-N:i-1)=I(j,:); endend求解常數(shù)項(xiàng)b的Matlab實(shí)現(xiàn)函數(shù)如下:%!數(shù)名：con

4、stant.m function b=constant(N) n=N+1;h=1/n;i=1;for y=1/n:1/n:N/nfor x=1/n:1/n:N/nf(i)=2*pi*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y); i=i+1;end end b=h*h*f;b=b'四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果(總結(jié)/方案)精彩文檔在Matlab運(yùn)行窗口輸入>>A=poisson(5) Enter輸出結(jié)果A =Columns 1 through 114-1000-100000-14-1000-100000-14-1000-100000-14-1000-100000-140000-10-100

5、004-1000-10-1000-14-100000-1000-14-100000-1000-14-100000-1000-14000000-100004000000-1000-10000000-100000000000-100000000000-100000000000-1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Columns 12 through 2200000000000精彩文檔00 0000000000000-1000-14-1

6、0000000000000000000000000000000000000000000000000000-10000000000-10000000000-10000000000-1000000-1000-1000004-1000-10000- 14-1000-10000-14-1000-10000-140000-1000004-1000-1- 1000-14-10000-1000-14-10000-1000-14-10000-1000-1400000-10000400000-1000-1000000-10000000000-10000000000-10Columns 23 through 25

7、000000000000000000000000000000000000精彩文檔000000000000000- 1000 -1000-1000- 1004 -10- 14-10 -14在運(yùn)行窗口輸入>>b=constant(5) Enter常數(shù)項(xiàng)的輸出結(jié)果b = 0.1371 0.2374 0.2742 0.2374 0.1371 0.2374 0.41120.4749 0.4112 0.2374 0.2742 0.4749 0.5483 0.4749 0.27420.2374 0.4112 0.4749 0.4112 0.2374 0.1371 0.2374 0.27420.2

8、374 0.1371 T所以A*u=b的五點(diǎn)差分格式為4ui, j - ui +,j - ui-1, j - ui, j 1 ui, j -1 - h fi ,j(i,j=1,2)實(shí)驗(yàn)二實(shí)驗(yàn)名稱：用Jacobi迭代法和SO他代法求解方程組實(shí)驗(yàn)時(shí)間：2012 年12月13日 星期四實(shí)驗(yàn)成績(jī)： 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^(guò)上機(jī)利用Matlab數(shù)學(xué)軟件采用Jacobi迭代法和SO砂代法來(lái)求解方程組， 求解過(guò)程中了解兩種迭代方法的基本思想與迭代過(guò)程，并分析兩種迭代方法的 收斂性和實(shí)用用以及他們的異同點(diǎn)。并且熟悉Matlab軟件的實(shí)用方法，并且做到學(xué)習(xí)與使用并存，增加學(xué)習(xí)的實(shí)際動(dòng)手性，不再讓學(xué)習(xí)局限于書(shū)本和紙上，

9、精彩文檔而是利用計(jì)算機(jī)學(xué)習(xí)來(lái)增加我們的學(xué)習(xí)興趣。二、實(shí)驗(yàn)背景：考慮線性方程組Ax =b時(shí)，一般當(dāng)A為低階稠密矩陣時(shí)，用主元消去法解此方 程組是有效方法。但是，對(duì)于由工程技術(shù)中產(chǎn)生的大型稀疏矩陣方程組( A的 階數(shù)很高，但零元素較多，例如求某些偏微分方程數(shù)值解所產(chǎn)生的線性方程組)， 利用迭代法求解此方程組就是合適的，在計(jì)算機(jī)內(nèi)存和運(yùn)算兩方面，迭代法通 常都可利用A中有大量零元素的特點(diǎn)。雅克比迭代法就是眾多迭代法中比較早 且較簡(jiǎn)單的一種，其命名也是為紀(jì)念普魯士著名數(shù)學(xué)家雅可比。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：22口 2,ou,Fu、c2.-(2) =2冗 sinnxsinny,(x,y/ c 22x yu(x,y)

10、 = 0,(x,y) f 其中c w «x,y)0 < x,y <1 ,dc是建的邊界。邊值問(wèn)題的解釋是 u(x,y)=sin二xsin二y(1)取初始向量u(0)各分量均為1,分別用Jacobi迭代法和 SOR迭代法 (w=1,1.25,1.5,1.75 )解方程組，迭代至 |u(k) -U(k-1)| < 106s時(shí)結(jié)束，給 出各種情形的迭代次數(shù)，和|u*-u|L其中u*是迭代至最后的結(jié)果，u是解函數(shù)u (x, y)在(xi,yi)上的值作為分量的向量，對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析(G-S)四、實(shí)驗(yàn)過(guò)程：Matlab主函數(shù)如下：%定函數(shù)start.m%start.mfun

11、ction start(N)clcw=N*N;i=1;x0=ones(w,1);disp('方程的系數(shù)矩陣為：')精彩文檔T=poisson(N)disp('常數(shù)項(xiàng)為：)b=constant(N)disp('雅克比迭代后的解和迭代次數(shù)為：)x1 k1=jacobi(T,b,x0)for w=1:0.25:1.75disp('超松弛迭代的解和迭代次數(shù)為：)x2 k2(i)=ESOR(T,b,x0,w)i=i+1;enddisp('精確解為)x=exact(N)disp('雅克比迭代后的解與準(zhǔn)確解的誤差為)w=max(abs(x1-x)for

12、 t=1:3w(t)=max(abs(x1-x)enddisp('超松弛迭代后的解與準(zhǔn)確解的誤差分別為')w表示矩陣A的Matlab函數(shù)如下：%&成N階的系數(shù)矩陣poisson.mfunction T=poisson(N)for i=1:Na(i)=4;endb=diag(a);for j=1:N-1b(j,j+1)=-1;endfor j=2:Nb(j,j-1)=-1;endfor i=1:NI(i)=-1;endI=diag(I);for i=1:N:N*Nfor j=1:NT(i+j-1,i:i+N-1)=b(j,:);精彩文檔endendfor i=1:N:N*

13、N-Nfor j=1:NT(i+j-1,i+N:i+N-1+N)=I(j,:);endendfor i=1+N:N:N*Nfor j=1:NT(i+j-1,i-N:i-1)=:);endend常數(shù)b的Matlab實(shí)現(xiàn)函數(shù)如下：%方程常數(shù)項(xiàng)實(shí)現(xiàn)函數(shù)constant.mfunction b=constant(N)n=N+1;h=1/n;i=1;for y=1/n:1/n:N/nfor x=1/n:1/n:N/nf(i)=2*pi*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y);i=i+1;endendb=h*h*f;b=b'超松弛迭代法(SOR的Matlab實(shí)現(xiàn)函數(shù)如下：%i數(shù)名：ESOR.

14、mfunction x k=ESOR(A,b,x0,omiga,eps)Ax=b%©松弓S ( SOR,Successive Over-Relaxation )迭代法求解線性方程組%x k=ESOR(A,b,x0,eps)%x:解向量，列向量%k:迭代次數(shù)%A:系數(shù)矩陣%b:列向量%x0:迭代初始值，列向量%omiga:松弛因子，可缺省，缺省值為 1,即為GS迭代法%eps:誤差限，可缺省，缺省值為 0.5e-6加用舉例：精彩文檔%A=4 3 0;3 4 -1;0 -1 4;b=24;30;-24;x0=1;1;1;omiga=1.25;%x k=ESOR(A,b,x0,omiga,

15、0.5e-6)%x=ESOR(A,b,x0)if nargin=4eps=0.5e-6;endif nargin=3omiga=1;eps=0.5e-6;end% 僉查輸入?yún)?shù)n=length(b);if size(A,1) = n 11n = length(xO)disp('輸入?yún)?shù)有誤！)；x=''k=''return;end煙代求解k=0;x=zeros(n,1);while 1k=k+1;for i=1:nz=0;for j=1:i-1z=z+A(i,j)*x(j);endfor j=i+1:nz=z+A(i,j)*x0(j);endx(i)=(

16、1-omiga)*x0(i)+omiga*(b(i)-z)/A(i,i);endif norm(x-x0)<=eps | k=30 break;endx0=x;endif k=50精彩文檔disp('迭代次數(shù)太多！)x='' endreturn;Jacobi迭代法的Matlab實(shí)現(xiàn)函數(shù)如下：%!數(shù)名：jacobi.mfunction x,n=jacobi(A,b,x0,eps,varargin)if nargin=3eps=1.0e-6;M=200;elseif nargin<3errorreturnelseif nargin=5 M=varargin1;e

17、ndD=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D(L+U);f=Db;x=B*x0+f;n=1;while norm(x-x0)>=epsx0=x;x=B*x0+f;n=n+1;if(n>=M)disp('warming:迭代次數(shù)太多，可能不收斂！ ');return end end準(zhǔn)確值matlab實(shí)現(xiàn)函數(shù)%!數(shù)名：exect.m function b=exact(N) n=N+1;h=1/n;i=1;for y=1/n:1/n:N/n精彩文檔for x=1/n:1/n:N/nf(i)=sin(pi*x)*sin(pi

18、*y); i=i+1;end end b=f;b=b'五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果（總結(jié)/方案）1、在運(yùn)行窗口輸入>>start(5) Enter精彩文檔(1)Jacobi迭代后的輸出結(jié)果x10.8861=0.25580.76740.44300.44300.44300.76740.44300.25580.8861Tk1=87（2）超松弛迭代法（0.51160.51160.7674SOR0.44300.25580.44300.76740.88610.44301.02320.88610.51160.25580.44300.5116的輸出結(jié)果x2=0.25580.44310.51170.4431

19、0.25580.44310.76750.88620.76750.44310.51170.88621.02330.88620.51160.44310.76750.88620.76740.44310.25580.44310.51160.44310.2558Tk2=303= 1.25時(shí)x2=0.25580.44300.51160.44300.25580.44300.76740.88610.76740.44300.51160.88611.02320.88610.51160.44300.76740.88610.7674 0.44300.2558 0.44300.51160.44300.2558Tk2=2

20、83 =1.5 時(shí)x2 =0.2558 0.4430 0.5116 0.4430 0.2558 0.4430 0.7674 0.88610.76740.44300.51160.88611.02320.88610.51160.44300.76740.88610.76740.44300.25580.44300.51160.4430 0.2558 Tk2 = 253=1.75 時(shí)x2 =0.25570.44300.51160.44290.25590.44300.76730.8860 0.7674 0.4430 0.5116 0.8860 1.0232 0.8860 0.5116 0.4429 0.7

21、6740.88600.76730.44300.25590.44300.51160.4430 0.2558Tk2 = 30(3)誤差計(jì)算雅克比迭代后的解與準(zhǔn)確解的誤差為w = 0.0232超松弛迭代后的解與準(zhǔn)確解的誤差分別為w = 0.0232 0.0232 0.02321、在運(yùn)行窗口輸入>>start(10) Enter(1) Jacobi迭代后的輸出結(jié)果x1 :=0.07990.15340.21440.25810.28080.28080.25810.21440.15340.07990.15340.29430.41140.49520.53890.53890.49520.41140.

22、29430.15340.21440.41140.57510.69230.75330.75330.69230.57510.41140.21440.25810.49520.69230.83320.90670.90670.83320.69230.49520.25810.28080.53890.75330.90670.98660.98660.90670.75330.53890.28080.28080.53890.75330.90670.98660.98660.90670.75330.53890.28080.25810.49520.69230.83320.90670.90670.83320.69230.

23、49520.25810.21440.41140.57510.69230.75330.75330.69230.57510.41140.21440.15340.29430.41140.49520.53890.53890.49520.41140.29430.15340.07990.15340.21440.25810.28080.28080.25810.2144 0.1534 0.0799 T k1 = 200(2)超松弛迭代法(SOR的輸出結(jié)果3 =1時(shí)x2 = 0.08550.27320.52590.22860.60530.95760.57130.56421.03660.72990.26890.7

24、2370.51940.08410.22300.22650.57130.43770.43220.95590.79700.29350.95100.87690.22650.60030.56420.16110.15930.16380.16170.57030.61070.22480.87690.95760.29780.78880.95260.43380.42870.56330.22480.08290.22860.08410.52310.73370.27460.72731.04020.57030.56330.95100.60530.22300.51680.2702T0.27460.16380.43380.

25、79700.52590.51941.03840.79560.29300.87250.72730.16170.42870.29350.29830.31370.30980.79560.73370.27020.95260.95590.27320.72370.79010.30980.30620.29300.29780.43770.16110.72990.88150.29830.79011.03840.52310.51680.78880.43220.15930.26893=1.25 時(shí)x2= 0.08550.27320.52590.22860.60530.95760.57130.56421.03660.

26、7299精彩文檔0.22650.57130.43770.43220.95590.79700.29350.95100.87690.16380.16170.57030.61070.22480.87690.95760.29780.78880.95260.22860.08410.52310.73370.27460.72731.04020.57030.56330.95100.27460.16380.43380.79700.52590.51941.03840.79560.29300.87250.29830.31370.30980.79560.73370.27020.95260.95590.27320.72

27、370.29780.43770.16110.72990.88150.29830.79011.03840.52310.51680.26890.22650.43380.60530.72730.79010.78880.72370.60030.42870.22300.16170.30980.43220.51940.56420.56330.51680.42870.30620.15930.08410.16110.22480.27020.29350.29300.26890.22300.15930.0829Tk2=303= 1.5 時(shí)x2=0.08140.15600.21780.26190.28470.261

28、10.2168 0.15500.08070.15600.29900.41750.50200.54570.54530.50070.41570.29710.15470.21780.41750.58300.70110.76220.76160.69940.58060.41510.21620.26190.50200.70110.84310.91670.91600.84120.69840.49930.26000.28470.54570.76220.91670.99670.99600.91470.75950.54300.28280.28440.54530.76160.91600.99600.99540.91

29、420.75910.54270.28270.26110.50070.69940.84120.91470.91420.83960.69720.49850.25970.21680.41570.58060.69840.75950.75910.69720.57900.41400.21560.15500.29710.41510.49930.54300.54270.49850.41400.29600.15420.08070.15470.21620.26000.28280.28270.25970.21560.15420.0803Tk2 = 303= 1.75 時(shí)x2= 0.07980.15310.21430

30、.25790.28070.28070.25810.21450.15340.08000.15310.29410.41140.49520.53890.53890.49540.41160.29450.15350.21430.41140.57510.69230.75330.75340.69240.57520.41150.21430.25790.49520.69230.83330.90670.90670.83330.69220.49510.25810.28070.53890.75330.90670.98660.98660.90660.75310.53890.28080.28070.53890.75340

31、.90670.98660.98660.90650.75330.53890.28080.25810.49540.69240.83330.90660.90650.83330.69220.49520.25800.21450.41160.57520.69220.75310.75330.69220.57510.41140.21440.15340.29450.41150.4951精彩文檔0.53890.53890.49520.41140.29430.15340.28440.0800 0.1535 0.2143 0.2581 0.2808 0.2808 0.25800.21440.15340.0799 Tk

32、=30(3)誤差計(jì)算雅克比迭代后的解與準(zhǔn)確解的誤差為w =0.0068超松弛迭代后的解與準(zhǔn)確解的誤差分別為w = 0.0068 0.0068 0.0068總結(jié)：在兩種迭代方法中，當(dāng) SO所選取的W值有所變化的時(shí)候迭代次數(shù) 也有所變化，但是都要比Jacobi迭代要低，當(dāng)N取5的時(shí)候，Jacobi迭代次 數(shù)為87次，而當(dāng)用SOR迭代的時(shí)候 W取1、1.25、1.5、1.75不同值的時(shí)候迭 代次數(shù)分別為30、28、25、30次，在精度要求相同的情況下相對(duì)于Jacobi迭代要對(duì)很多，因此在本次試驗(yàn)中的SOR4代收斂速度要比Jacobi迭代要快。而 且誤差都一樣。說(shuō)明這兩種方法只是在收斂速度上有所不同，

33、最后的迭代結(jié)果 的精確度還是相同的。實(shí)驗(yàn)二實(shí)驗(yàn)名稱：用Jacobi迭代法和SOR失代法求解方程組實(shí)驗(yàn)時(shí)間：2012年12月13日 星期四 實(shí)驗(yàn)成績(jī)： 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模菏煜acobi迭代法求矩陣特征值問(wèn)題的思想和一般步驟，并且利用 matlab 實(shí)現(xiàn)。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：利用Jacobi迭代方法求解矩陣 A=1 2 3;2 2 4;3 4 3; 的特征值及相應(yīng)的特征向量三、實(shí)驗(yàn)過(guò)程：編寫(xiě)MATLA程序如下：function k,Bk,V,D,Wc=jacobite(A,jd,max1)n,n=size(A);Vk=eye(n);Bk=A;state=1;k=0;P0=eye(n);Aij=abs(Bk-diag(diag(Bk);m1 i=max(Aij);m2 j=max(m1);i=i(j);while (k<=max1)&(state=1)k=k+1,aij=abs(Bk-diag(diag(Bk);m1 i=max(abs(aij);m2 j=max(m1);i=i(j),j,Aij=(Bk-diag(diag(Bk);mk=m2*sign(Aij(i,j),Wc=m2,Dk=diag(diag(Bk);Pk=P0;c=(Bk(j,j)-Bk(i,i)/(2*B