一級(jí)倒立擺的Simulink仿真

1、單級(jí)倒立擺穩(wěn)定控制 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)在忽略了空氣阻力及各種摩擦之后，可抽象成小車和勻質(zhì)擺桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。 圖1 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng) 圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)假設(shè)小車質(zhì)量M =0.5kg，勻質(zhì)擺桿質(zhì)量m=0.2kg，擺桿長(zhǎng)度2l =0.6m，x(t)為小車的水平位移，為擺桿的角位移，。控制的目標(biāo)是通過(guò)外力(t)使得擺直立向上（即）。該系統(tǒng)的非線性模型為：，其中。解：一、 非線性模型線性化及建立狀態(tài)空間模型因?yàn)樵诠ぷ鼽c(diǎn)附近（）對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化，所以可以做如下線性化處理：當(dāng)很小時(shí)，由cos、sin的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式可知，忽略高次項(xiàng)后，可得cos1，sin，20；因此模型線性化后如下： （J+ml2

2、）+mlx=mgl (a) ml+(M+m) x=u (b) 其中取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為輸出包括小車位移和擺桿的角位移.即X= Y= 由線性化后運(yùn)動(dòng)方程組得X1=x=x2 x2=x=x3+uX3 =x4 x4=x3+u 故空間狀態(tài)方程如下：X= + u X= + uY= = 二、通過(guò)Matlab仿真判斷系統(tǒng)的可控與可觀性，并說(shuō)明其物理意義。（1）判斷可控性代碼： A=0 1 0 0;0 0 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0; B=0;1.8182;0;-4.5455;P=ctrb(A,B);n=rank(P);運(yùn)行了得n= 4所以P為滿秩，系統(tǒng)能控（2）判斷可觀性代碼：

3、A=0 1 0 0;0 0 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0; B=0;1.8182;0;-4.5455; C=1 0 0 0;0 0 1 0;P=obsv(A,C);n=rank(P);運(yùn)行了得n= 4所以P為滿秩，系統(tǒng)能觀。三、能否通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)？若能，通過(guò)Matlab仿真確定反饋控制規(guī)律K（如圖2），使得閉環(huán)極點(diǎn)配置在上。并給出系統(tǒng)在施加一個(gè)單位脈沖輸入時(shí)狀態(tài)響應(yīng)曲線；答： 因?yàn)橄到y(tǒng)完全能控，所以能通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。要將閉環(huán)極點(diǎn)配置在上，所以期望特征方程為|I(A-BK)|=（+1）*（+2）*(（+1）2+1） =4+53+10

4、2+10+4 Matlab求解K如下： A=0 1 0 0;0 0 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0; B=0;1.8182;0;-4.5455; J=-1 -2 -1+i -1-i; K=place(A,B,J);運(yùn)行得：K= -0.089378 -0.22345 -9.0957 -1.1894;未加入極點(diǎn)配置。仿真圖： 未進(jìn)行極點(diǎn)配置仿真電路圖（1）X的響應(yīng)圖：的響應(yīng)圖：配置后：加入極點(diǎn)配置仿真圖（2）X的響應(yīng)圖：的響應(yīng)圖：四、 用MatLab中的lqr函數(shù)，可以得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的K。要求用LQR控制算法控制倒立擺擺動(dòng)至豎直狀態(tài)，并可以控制倒立擺左移和右移；欲

5、對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)，及小化性能指標(biāo)為： J= 1 2 0XTQX+UTRUdt編寫matalab程序如下：A=0 1 0 0;00 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0;B=0;1.8182;0;-4.5455;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0x=1;y=1;Q=x 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 y 0; 0 0 0 0;R=1;G=lqr(A,B,Q,R);A1=(A-B*G);B1=B;C1=C;D1=D;t=0:0.01:5;U=zeros(size(t);x0=0.1 0 0.1 0;Y,X=lsim(A1,B1,C1,D1,U,

6、t,x0);plot(t,Y);legend('小車','倒立擺');運(yùn)行可得：G=-1 -1.5495 -18.68 -3.4559由圖分析可得調(diào)節(jié)時(shí)間很長(zhǎng)，所以增加Q的比重，將上程序中的x,y改為x=150,y=150.運(yùn)行可得：G=-12.247 -9.3413 -41.934 -7.7732比較可得，控制效果明顯改善。但反饋增益變大，意味著控制作用變強(qiáng)，消耗能量變大。將G放入系統(tǒng)中，進(jìn)行simulink仿真可得：仿真電路圖：仿真結(jié)果：X的響應(yīng)圖：的響應(yīng)圖：五、寫出本次仿真實(shí)驗(yàn)的心得體會(huì)。本實(shí)驗(yàn)，從數(shù)學(xué)建模到仿真系統(tǒng)的搭建，再到加進(jìn)控制環(huán)節(jié)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，最后得出結(jié)果的過(guò)程中，參考了大量的資料，通過(guò)對(duì)比整合，設(shè)計(jì)出了適合自己的一套實(shí)驗(yàn)方法：倒立擺數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)部分：首先用線性化數(shù)學(xué)模型，接著用動(dòng)態(tài)系統(tǒng)空間狀態(tài)方程法導(dǎo)出狀態(tài)方程系數(shù)矩陣，然后用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可控可觀判斷及進(jìn)行幾點(diǎn)配置，加入配置后在Simulink軟件上進(jìn)行系統(tǒng)仿真。最后通過(guò)matlab求解線性二次型最優(yōu)控制的G矩陣，然后加入形同進(jìn)行Simulink仿真。 通過(guò)本實(shí)驗(yàn)，掌握了倒立擺仿真的整個(gè)過(guò)程，熟悉了MATLAB的仿真軟件Simulink的使用，也對(duì)系統(tǒng)控制有