MATLAB在求二階系統(tǒng)中階躍響應(yīng)的分析及應(yīng)用

1、摘要二階系統(tǒng)控制系統(tǒng)按數(shù)學模型分類時的一種形式，是用數(shù)學模型可表示為二階線性常微分方程的系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的解的形式，可由對應(yīng)傳遞函數(shù)W(s)的分母多項式P(s)來判別和劃分，P(s)的一般形式為變換算子s的二次三項代數(shù)式。 代數(shù)方程P(s)=0的根，可能出現(xiàn)四種情況。1.兩個實根的情況，對應(yīng)于兩個串聯(lián)的一階系統(tǒng)。如果兩個根都是負值，就為非周期性收斂的穩(wěn)定情況。 2.當a10，a2>0，即一對共軛虛根的情況,將引起頻率固定的等幅振蕩，是系統(tǒng)不穩(wěn)定的一種表現(xiàn)。 3.當a1<0，a1-4a2<0，即共軛復(fù)根有正實部的情況，對應(yīng)于系統(tǒng)中發(fā)生發(fā)散型的振蕩,也是不穩(wěn)定的一種表現(xiàn)。4.當a1

2、>0，a1-4a2<0，即共軛復(fù)根有負實部的情況，對應(yīng)于收斂型振蕩，且實部和虛部的數(shù)值比例對輸出過程有很大的影響。一般以阻尼系數(shù)來表征，取在0.40.8之間為宜。當>0.8后，振蕩的作用就不顯著，輸出的速度也比較慢。而<0.4時，輸出量就帶有明顯的振蕩和較大的超調(diào)量，衰減也較慢，這也是控制系統(tǒng)中所不希望的。當激勵為單位階躍函數(shù)時，電路的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)。階躍響應(yīng)g(t)定義為：系統(tǒng)在單位階躍信號u(t)的激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。關(guān)鍵詞：二階系統(tǒng) 階躍響應(yīng) MATLAB/Simulink MATLAB在求二階系統(tǒng)中階躍響應(yīng)的分析及應(yīng)用1 訓(xùn)練目的和

3、要求 通過對MATLAB仿真軟件的語言的學習，學會在MATLAB中解決電路原理、模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)、數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)等所學課本上的問題，進一步熟悉并掌握MATLAB在電路、信號與系統(tǒng)、自動控制原理、數(shù)字信號處理等中的應(yīng)用。通過對軟件的應(yīng)用，鞏固已學知識。以求達到通過訓(xùn)練能熟練掌握MATLAB的應(yīng)用，能夠深入到實際問題中。要求通過理論分析所要求題目并通過MATLAB仿真比較實驗結(jié)果。2 理論分析計算已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，求其階躍響應(yīng)。并分析變化時，其階躍響應(yīng)的變化情況。本題要求求解一個簡單的二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)，研究二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，當無阻尼自然頻率為1時阻尼比對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。了解

4、一下基礎(chǔ)知識后就可以很自然的解決題目了，我們可以對二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進行分析后對無阻尼自然頻率賦值1來求解。然后再用MATLAB仿真。二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準形式：其中，T為時間常數(shù)，也稱為無阻尼自由振蕩周期 自然頻率（或無阻尼振蕩周期） 阻尼比（相對阻尼系數(shù)） 二階系統(tǒng)的特征方程： 特征根為：由題目可知，=1，為一參數(shù)，因此對于的取值進行分類說明(1)欠阻尼 0 < < 1將=1帶入，可得到阻尼比在此區(qū)間內(nèi)時的階躍響應(yīng)。（2）臨界阻尼 = 1臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)將=1帶入，可得到阻尼比在此區(qū)間內(nèi)時的階躍響應(yīng)。特點：單調(diào)上升，無振蕩，無超調(diào)，趨近于1，

5、無穩(wěn)態(tài)誤差。(3)過阻尼 > 1將=1帶入，可得到阻尼比在此區(qū)間內(nèi)時的階躍響應(yīng)。特點：單調(diào)上升，無振蕩，過度過程時間長，趨近于1，無穩(wěn)態(tài)誤差。（4）無阻尼狀態(tài) = 0系統(tǒng)有一對共軛虛根系統(tǒng)在無阻尼下的單位階躍響應(yīng)為：結(jié)論：二階系統(tǒng)的阻尼比決定了其振蕩特性 < 0 時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定； 1 時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；0<<1時，有振蕩，愈小，振蕩愈嚴重,但響應(yīng)愈快；= 0時，出現(xiàn)等幅振蕩。3 MATLAB仿真根據(jù)以上理論分析，用MATLAB編程分析?？梢杂脙煞N方法求解。3.1 程序一（用函數(shù)來求解）由傳遞函數(shù)與階躍響應(yīng)的關(guān)系，編程如下：syms s %定義

6、系統(tǒng)參數(shù)ssyms x%定義阻尼比xilaplace( (1/(s3 + 2*x*s2 + s )%拉普拉斯逆變換函數(shù)求解ans =1-(cosh(t*(x2-1)(1/2) + (x*sinh(t*(x2-1)(1/2)/(x2-1)(1/2)/exp(t*x)%帶有阻尼比參數(shù)的階躍響應(yīng)3.2 程序二（使用內(nèi)置函數(shù)step）kosai=0.1:0.1:1.0,2.0;figure(1)hold onfor i=kosainum=1;den=1,2*i,1;step(num,den)endtitle('The Step Response of Two Order System'

7、);hold off結(jié)果如圖3-1所示：圖3-1 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)階躍響應(yīng)4 Simulink仿真4.1 Simulink簡介Simulink是MATLAB中的一種可視化仿真工具， 是一種基于MATLAB的框圖設(shè)計環(huán)境，是實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個軟件包，被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真中。Simulink可以用連續(xù)采樣時間、離散采樣時間或兩種混合的采樣時間進行建模，它也支持多速率系統(tǒng)，也就是系統(tǒng)中的不同部分具有不同的采樣速率。為了創(chuàng)建動態(tài)系統(tǒng)模型，Simulink提供了一個建立模型方塊圖的圖形用戶接口(GUI) ，這個創(chuàng)建過程只需單擊和拖動鼠標操作

8、就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。4.2 仿真過程1.根據(jù)實驗選擇好仿真元件，設(shè)置仿真參數(shù)和選擇解法器2.運行仿真3.仿真結(jié)果分析建立仿真界面如圖，輸入幾個函數(shù)進行驗證。圖4-1=0.1時仿真圖 圖4-2 =0.1時仿真結(jié)果對取不同值進行驗證，結(jié)果如下： 圖4-3=0.3時仿真結(jié)果 圖4-4=1時仿真結(jié)果 圖 4-5 =0.1時仿真結(jié)果 分析比較可知以上幾種方法結(jié)果一樣。5 小結(jié)通過本次強化訓(xùn)練，我基本了解并掌握了MATLAB在電路原理中的應(yīng)用，知道了如何在MATLAB以及simulink里面處理分析電路方面的問題，對待電子方面知識學習我又了解了

9、一個強有力的仿真工具，對以后也會有很大的幫助。通過本次實驗了解到，MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）的簡稱，是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點,使MATLAB成為一個強大的數(shù)學軟件。在新的版本中也加入了對C，F(xiàn)ORTR

10、AN，C+ ，JAVA的支持。可以直接調(diào)用,用戶也可以將自己編寫的實用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用。應(yīng)用到自動控制方面也很方便。通過MATLAB在電路原理二階系統(tǒng)求階躍響應(yīng)的分析實驗過程中，不僅了解到了MATLAB強大的功能，而且分析起來非常方便，各種參數(shù)調(diào)整起來很簡潔，生成圖像后分析結(jié)果一目了然。可以非常直觀的比較分析隨阻尼比參數(shù)變化節(jié)約相應(yīng)的變化，比較可以得出工程中適合的阻尼比范圍。對以后的學習以及工程中的可能應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。這次實驗后，深深的被MATLAB強大的計算分析仿真功能所吸引，決心以后要更加深入的了解并且掌握與運用它來解決實際問題?？傊芤娣藴\。參考文獻1 陳曉平等.MATLAB在電路與信號及控制理論中的應(yīng)用.中國科學技術(shù)大學出版社.20