七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一單元精講

1、【基礎(chǔ)知識(shí)鞏固】 相交線與平行線5.1相交線5.1.1相交線 有關(guān)概念 鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，那么這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。 對(duì)頂角：如果一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，那么這兩個(gè)角互為對(duì)頂角。 對(duì)頂角的性質(zhì): 對(duì)頂角相等.5.1.2垂線 有關(guān)概念 1.垂直定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足。 從垂直的定義可知， 判斷兩條直線互相垂直的關(guān)鍵：只要找到兩條直線相交時(shí)四個(gè)交角中一個(gè)

2、角是直角。 2 垂直的表示： 1）圖形： 2）文字：a、b互相垂直, 垂足為O 3）符號(hào)：ab或ba,若要強(qiáng)調(diào)垂足,則記為：ab, 垂足為O  4）垂直的書寫形式： 當(dāng)直線AB與CD相交于O點(diǎn)，AOD=90°時(shí)，ABCD，垂足為O。3 書寫形式： 判定：AOD=90°（已知）            ABCD（垂直的定義） 反之，若直線AB與CD垂直

3、，垂足為O，那么，AOD=90°。  性質(zhì)： ABCD （已知）             AOD=90° （垂直的定義） (AOC=BOC=BOD=90°) 4.垂線的性質(zhì)（1） 過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直. 垂線的性質(zhì)（2） 連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短或說成垂線段最短 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂

4、線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。5.1.3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角 5.2平行線及其判定 5.2.1平行線 有關(guān)概念 1.平行線的定義： 在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。2.平行線的表示： 我們通常用符號(hào)“/”表示平行。 同一平面內(nèi)的兩條不重合的直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行 3.平行公理： 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 如果a/c, b/c; 那么a/b 如果兩條直

5、線都垂直于第三條直線,那么這兩條直線互相平行. 如果ac, ab;那么b/c 5.2.2平行線的判定有關(guān)概念 一般地，判定兩直線平行有以下的方法： 1.兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)單地說，同位角相等，兩直線平行 2.兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行. 簡(jiǎn)單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行. 3.兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行. 簡(jiǎn)單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行. 5.3 平行線的性質(zhì) &#

6、160;平行線的性質(zhì) 1.平行線的性質(zhì)1 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等. 簡(jiǎn)寫為：兩直線平行，同位角相等. 2.平行線的性質(zhì)2 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等. 簡(jiǎn)寫為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等. 3.平行線的性質(zhì)3 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ). 簡(jiǎn)寫為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).5.3.2命題、定理 判斷一件事情的語句叫做命題。 注意： 1、只要對(duì)一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是命題。 2、如果一個(gè)句子沒有對(duì)某一件事情作出任何判

7、斷，那么它就不是命題。  命題是由題設(shè)(或條件)和結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。 兩直線平行，   同位角相等。 題設(shè)（條件）    結(jié)論  命題一般都寫成“如果，那么”的形式。 “如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論。 注意：添加“如果”、“那么”后，命題的意義不能改變，改寫的句子要完整，語句要通順，使命題的題設(shè)和結(jié)論更明朗，易于分辨，改寫過程中，要適當(dāng)增加詞語，切不可生搬硬套。 正確的命題叫

8、真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題。 真命題的正確性是經(jīng)過推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理。 5.4平移 1、把一個(gè)圖形 整體沿某一個(gè)方向 移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同   。  2、新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)就是 對(duì)應(yīng)點(diǎn)  。連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等。 3、 圖形的這種移動(dòng)，叫做平移變換   ，簡(jiǎn)稱平移  。 形狀不變，大小不變&#

9、160;  ，位置改變      . 6. 本章應(yīng)注意的幾個(gè)問題 （1）垂直和垂線：垂直指兩條直線的位置關(guān)系，垂線指具有垂直特性的直線。 （2）對(duì)頂角與對(duì)頂角相等：對(duì)頂角是對(duì)兩個(gè)具有特殊位置的角的名稱；對(duì)頂角相等反映的是兩個(gè)角間的大小關(guān)系。 （3）對(duì)頂角相等和同位角相等：前者一定正確的，后者不一定正確，必須在附加條件（兩直線平行）時(shí)才成立。 （4）平行線的性質(zhì)公理和判定定理互逆。 （5）公理和定理都是真命題，公理不需證明，定理要證明。 （6）兩線垂直和兩線平行建立了角與線之間的聯(lián)系，是數(shù)（角的大小）與形（線的位置）

10、結(jié)合，這為計(jì)算，證明找到了一條轉(zhuǎn)化的新路，要學(xué)會(huì)這些知識(shí)。 例題 1. 基本概念、基本性質(zhì)問題 例1. 判斷題 （1）同一個(gè)角的鄰補(bǔ)角是對(duì)頂角。（ ） （2）相等的角是對(duì)頂角。（ ） （3）有三條直線a、b、c，如果，那么a/c。（ ） （4）如果延長線段AB，延伸射線CD，它們?nèi)匀徊幌嘟?，那么這條線段與這條射線互相平行。（ ） （5）點(diǎn)到直線的距離即是點(diǎn)到直線的垂線段。（ ） （6）不相交的兩條直線叫做平行線。（ ） （7）同位角相等。（ ） （8）同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，兩直線不平行。（ ） （9）過一點(diǎn)，有且只有一條直線和這條直線平行。（ ） （10）三線八角中，如果有一對(duì)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么所有

11、的同位角相等，所有的內(nèi)錯(cuò)角相等。（ ） 解：（1）。符合對(duì)頂角定義。 （2）× （3）。垂直于同一條直線的兩直線平行。 （4）×如圖中：延長線段AB與射線OM不相交，它們不平行。 （5）×。點(diǎn)到直線的垂線段的長度叫點(diǎn)到直線的距離。 （6）×。缺少“在同一平面內(nèi)”的條件。 （7）×。兩直線平行，才有同位角相等。 （8）。如果兩直線平行，則同旁內(nèi)角互補(bǔ)，與題設(shè)條件不矛盾。 （9）×。如果這一點(diǎn)在已知直線上，則沒有直線和已知直線平行。 （10）。一對(duì)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則兩直線平行，故所有的同位角、內(nèi)錯(cuò)角分別相等。 2. 計(jì)算題 （1）與垂直有關(guān)

12、的計(jì)算題 例2. 如圖所示，求的度數(shù)。 分析：要求的度數(shù)，題中又沒具體指明哪一個(gè)角的大小，所以本題的突破口一定集中在已知條件“”上。解題時(shí)要從這個(gè)已知條件著手。 解： 說明：與垂直有關(guān)的計(jì)算題借助兩線垂直推出交角等于90°實(shí)現(xiàn)了由線的位置關(guān)系向角的大小的轉(zhuǎn)化，常結(jié)合如角平分線性質(zhì)等知識(shí)求解。 （2）證明線段相等 例3. 已知：如圖所示，M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)。求證：MC=ON。 證法1：M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)， 證法2：M、N分別為AC、BC中點(diǎn)， 說明：上面證法從多個(gè)角度分別證明了同一個(gè)結(jié)論，展示了一題多證（解）的思維方法。其中證法4還從設(shè)元代換的角度

13、論證了線段相等的結(jié)論，這說明了利用代數(shù)方法也可以進(jìn)行幾何的證明，開辟了證明的一個(gè)新路子。證明線段目前用得較多的方法利用中點(diǎn)性質(zhì)或通過計(jì)算兩個(gè)線段長度再判定線段相等。 （3）證明直線的平行 例4. 已知：如圖所示，求證：BE/CF。 證明： 說明：本例要注意不能直接由推出EB/CF，因?yàn)樗鼈儾皇峭唤?，也不是?nèi)錯(cuò)角。證明兩線平行的方法很多，根據(jù)題目的不同采取不同的方法。 （4）證明直線的垂直、直線的平行的綜合問題 例5. 已知BE平分。求證：（1）AB/CD；（2）BE/DG；（3）； 證明：（1）， （2） （角平分線性質(zhì)，等量代換）。 （3）由已證可得（兩直線平行，同位角相等）， 又 說明：

14、證兩線垂直，一般從垂直定義入手考慮，即證明兩直線的交角等于90°。而推得交角為90°，要根據(jù)平行線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，平角性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)。【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一. 判斷題 1. 判斷對(duì)錯(cuò)。 （1）從直線上一點(diǎn)畫一條射線與直線組成的兩角相等，那么射線與直線互相垂直。（ ） （2）6點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針互相垂直。（ ） （3）對(duì)頂角的角平分線互為反向延長線。（ ） （4）已知直線AB上一點(diǎn)M，直線AB外一點(diǎn)N，連結(jié)MN，則。（ ） （5）過直線外一點(diǎn)，只有一條直線垂直于已知直線。（ ） （6）同角的鄰補(bǔ)角相等。（ ） （7）經(jīng)過直線外一點(diǎn)畫線段的垂線，垂足一定在

15、線段上。（ ） （8）同一個(gè)角的兩個(gè)鄰補(bǔ)角是對(duì)頂角。（ ） 2. 判斷對(duì)錯(cuò)。 （1）不相交的兩條直線叫做平行線。（ ） （2）兩條直線被第三條直線所截，則它們的同位角相等。（ ） （3）許多直線都與直線平行，那么這許多直線都互相平行。（ ） （4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，必然有一個(gè)角是鈍角，另一個(gè)角是銳角。（ ） （5）兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角不一定互補(bǔ)。（ ） 3. 下面命題是真命題的打“”，是假命題的打“×”。 （1）畫直線的垂線只能畫一條。（ ） （2）若兩條直線相交，只要有一個(gè)角是直角，則這兩條直線互相垂直。 （3）若a=b，則ac=bc。（ ） （4）若互為補(bǔ)角。（ ）

16、 （5）。（ ）二. 填空題 4. 如圖所示，是直線_和_被直線_所截產(chǎn)生的，它們是_角；是直線_和_被直線_所截產(chǎn)生的，它們是_角；是直線_和_被直線_所截產(chǎn)生的，它們是_。 5. 如圖所示，AB、CD相交于點(diǎn)O，叫做_，叫做_，叫_ ,叫做_。 6. 若的余角是_，鄰補(bǔ)角是_。 7. 某紀(jì)念碑的表面是梯形，現(xiàn)量得碑底兩角都是，那么碑頂兩角的大小是_。 8. 過鈍角的頂點(diǎn)向它的一邊作垂線，將此鈍角分成兩個(gè)度數(shù)之比為6：1的角，則此鈍角為_度。 9. 命題“鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直”的題設(shè)是_，結(jié)論是_。 10. 如圖所示，（1）已知AD平分。求證：；（2）已知：AD/CE，。求證：。 11. 如圖所示，已知，求證：。 12. 如圖所示，AB/CD，E是AB、CD外一點(diǎn)，求證：?！驹囶}答案】一. 判斷題 1. （1）（2）&#