GramSchmidt正交化方法

1、Gram-Schmidt正交化方法 正射影 設(shè)歐式空間中向量線(xiàn)性無(wú)關(guān),令; (1);.則均非零向量,且兩兩正交.再令 則為規(guī)范正交組.將(1)重新寫(xiě)成, 其中, 有令則上式左端的實(shí)方陣是的格蘭母矩陣，記為：，上式右端中間的對(duì)角陣是的Gram矩陣.即有:因此注意：對(duì)任意一個(gè)向量組，無(wú)論它是線(xiàn)性相關(guān)，還是線(xiàn)性無(wú)關(guān)，它總有Gram矩陣（或者事先給出定義）.例1 設(shè)歐式空間中向量，則（1） 線(xiàn)性無(wú)關(guān);（2）線(xiàn)性相關(guān).證明:只證（2）設(shè)線(xiàn)性相關(guān)，則存在一個(gè)向量，不妨設(shè)為,可由其余向量線(xiàn)性表示:給階的行列式的第行乘數(shù)加到第行，得法一：由上頁(yè)證明推理過(guò)程立即得證。 法二：當(dāng)時(shí)，的行向量組線(xiàn)性相關(guān)，因此存在不

2、全為零的實(shí)數(shù)，使.即.故，即有.即有線(xiàn)性相關(guān).注：當(dāng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)時(shí)，且.推論1 設(shè)是歐氏空間中任意向量，則() 是半正定矩陣；() 是正定陣線(xiàn)性無(wú)關(guān).證明()對(duì)任意，主子式總大于或等于零.因此是半正定矩陣.()（）當(dāng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)時(shí)，對(duì)任意，主子式總大于零（因?yàn)榫€(xiàn)性無(wú)關(guān)）.故是正定陣.（）由例1，這是顯然的.推論2 ()設(shè)歐氏空間中向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則，且上式取等號(hào)兩兩正交.()設(shè)（歐），則.()設(shè)，則，故.當(dāng)可逆時(shí)，上式取等號(hào)，有.例2 設(shè)是歐氏空間中的向量，且它們線(xiàn)性無(wú)關(guān).證明.證明 令，其中.則是線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組的矩陣，故正定.假如的元素中，絕對(duì)值最大者不在主對(duì)角線(xiàn)，設(shè)，.則，.故.這樣的二階主子式.這與是正定陣相矛盾.因此的元素中，絕對(duì)值最大者必是主對(duì)角元，結(jié)論得證.注：從例2的證明中，可以看出這樣一個(gè)結(jié)論：任意階（實(shí)對(duì)稱(chēng)）正定陣的元素中，絕對(duì)值最大者必在主對(duì)角線(xiàn)上.設(shè)是維歐氏空間的規(guī)范正交基，則1）.2）.3）.4）.設(shè)是歐氏空間的有限維子空間，則.，表示法唯一.稱(chēng)為在上的正射影.當(dāng)為的規(guī)范正交基時(shí)，在上的正射影為.例3 證明，中向量到平面的距離等于.證明 ，在L（）的正射影的長(zhǎng)度即為所求：.例4 設(shè)是歐氏空間的一個(gè)規(guī)范正交組.證明，對(duì)于任意，以下不等式成立：.證明：令L，則，.簡(jiǎn)