MATLAB多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值或最優(yōu)值

1、實(shí)驗(yàn)六多元函數(shù)的極值【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹? 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。2 多元函數(shù)自由極值的求法3 多元函數(shù)條件極值的求法.4 學(xué)習(xí)掌握MATLAB軟件有關(guān)的命令。【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】1計(jì)算多元函數(shù)的自由極值對(duì)于多元函數(shù)的自由極值問(wèn)題,根據(jù)多元函數(shù)極值的必要和充分條件,可分為以下幾個(gè)步驟:步驟1.定義多元函數(shù)步驟2.求解正規(guī)方程,得到駐點(diǎn)步驟3.對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn),求出二階偏導(dǎo)數(shù)步驟4. 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn),計(jì)算判別式,如果,則該駐點(diǎn)是極值點(diǎn),當(dāng)為極小值, 為極大值;,如果,判別法失效,需進(jìn)一步判斷; 如果,則該駐點(diǎn)不是極值點(diǎn).2計(jì)算二元函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的最大值和最小值設(shè)函數(shù)在有界區(qū)域上連續(xù)

2、，則在上必定有最大值和最小值。求在上的最大值和最小值的一般步驟為：步驟1. 計(jì)算在內(nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值；步驟2. 計(jì)算在的各個(gè)邊界線上的最大值和最小值；步驟3. 將上述各函數(shù)值進(jìn)行比較，最終確定出在內(nèi)的最大值和最小值。3函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的MATLAB命令MATLAB中主要用diff求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),用jacobian求Jacobian矩陣。diff(f,x,n) 求函數(shù)f關(guān)于自變量x的n階導(dǎo)數(shù)。jacobian(f,x)求向量函數(shù)f關(guān)于自變量x(x也為向量)的jacobian矩陣。可以用help diff, help jacobian查閱有關(guān)這些命令的詳細(xì)信息【實(shí)驗(yàn)方法與步驟】 練習(xí)1 求函數(shù)的極值

3、點(diǎn)和極值.首先用diff命令求z關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)>>clear; syms x y;>>z=x4-8*x*y+2*y2-3;>>diff(z,x)>>diff(z,y)結(jié)果為ans =4*x3-8*y ans =-8*x+4*y即再求解正規(guī)方程，求得各駐點(diǎn)的坐標(biāo)。一般方程組的符號(hào)解用solve命令，當(dāng)方程組不存在符號(hào)解時(shí)，solve將給出數(shù)值解。求解正規(guī)方程的MATLAB代碼為：>>clear; >>x,y=solve('4*x3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x

4、9;,'y')結(jié)果有三個(gè)駐點(diǎn)，分別是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判別式中的二階偏導(dǎo)數(shù)：>>clear; syms x y;>>z=x4-8*x*y+2*y2-3;>>A=diff(z,x,2)>>B=diff(diff(z,x),y)>>C=diff(z,y,2)結(jié)果為A=2*x2B =-8 C =4由判別法可知和都是函數(shù)的極小值點(diǎn)，而點(diǎn)Q(0,0)不是極值點(diǎn)，實(shí)際上，和是函數(shù)的最小值點(diǎn)。當(dāng)然，我們可以通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖形來(lái)觀測(cè)極值點(diǎn)與鞍點(diǎn)。>>clear; >>x=-5:0

5、.2:5; y=-5:0.2:5;>>X,Y=meshgrid(x,y);>>Z=X.4-8*X.*Y+2*Y.2-3;>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')結(jié)果如圖6.1圖6.1 函數(shù)曲面圖可在圖6.1種不容易觀測(cè)極值點(diǎn)與鞍點(diǎn),這是因?yàn)閦的取值范圍為-500,100,是一幅遠(yuǎn)景圖,局部信息丟失較多,觀測(cè)不到圖像細(xì)節(jié).可以通過(guò)畫(huà)等值線來(lái)觀測(cè)極值.>>contour(X,Y,Z, 600)>>xlabel('

6、x'),ylabel('y')結(jié)果如圖6.2圖6.2 等值線圖由圖6.2可見(jiàn),隨著圖形灰度的逐漸變淺,函數(shù)值逐漸減小,圖形中有兩個(gè)明顯的極小值點(diǎn)和.根據(jù)提梯度與等高線之間的關(guān)系,梯度的方向是等高線的法方向,且指向函數(shù)增加的方向.由此可知,極值點(diǎn)應(yīng)該有等高線環(huán)繞,而點(diǎn)周圍沒(méi)有等高線環(huán)繞,不是極值點(diǎn),是鞍點(diǎn).練習(xí) 求函數(shù)在條件下的極值.構(gòu)造Lagrange函數(shù)求Lagrange函數(shù)的自由極值.先求關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)>>clear; syms x y k>>l=x*y+k*(x+y-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y

7、)>>diff(l,k)得再解正規(guī)方程>>clear; syms x y k>>x,y,k=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')得進(jìn)過(guò)判斷,此點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn),此時(shí)函數(shù)達(dá)到最大值.練習(xí)3 拋物面被平面截成一個(gè)橢圓,求這個(gè)橢圓到原點(diǎn)的最長(zhǎng)與最短距離.這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上就是求函數(shù)在條件及下的最大值和最小值問(wèn)題.構(gòu)造Lagrange函數(shù)求Lagrange函數(shù)的自由極值.先求關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)>>clear; s

8、yms x y z u v>>l=x2+y2+z2+u*(x2+y2-z)+v*(x+y+z-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,z)>>diff(l,u)>>diff(l,v)得再解正規(guī)方程>>clear;>>x,y,z,u,v=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0','x2+y2-z=0','x+y+z-1=0','x

9、','y','z','u','v')得上面就是Lagrange函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，求所求的條件極值點(diǎn)必在其中取到。由于所求問(wèn)題存在最大值與最小值（因?yàn)楹瘮?shù)在有界閉集，上連續(xù)，從而存在最大值與最小值），故由求得的兩個(gè)函數(shù)值，可得橢圓到原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為，最短距離為。練習(xí)4 求函數(shù)在上半圓上的最大值和最小值。首先畫(huà)出等高線進(jìn)行觀測(cè)，相應(yīng)的MATLAB程序代碼為：>>clear; >>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4;>>X,Y=meshgrid(x,y);>>Z=X.2+Y.

10、2-4*X-2*Y+7;>>contour(X,Y,Z,100)>>xlabel('x'),ylabel('y')結(jié)果如圖6.3圖6.3 等值線觀測(cè)圖6.3可看出，在區(qū)域內(nèi)部有唯一的駐點(diǎn)，大約位于在該點(diǎn)處漢書(shū)趣的最小值。在圓弧與直線的交點(diǎn)處取得最大值，大約位于。下面通過(guò)計(jì)算加以驗(yàn)證。求函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的駐點(diǎn)，計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值。求z關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)>>clear; syms x y;>>z=x2+y2-4*x-2*y+7;>>diff(z,x)>>diff(z,y)結(jié)果得解正規(guī)方程>>

11、;clear; x,y=solve('2*x-4=0','2*y-2=0','x','y')得駐點(diǎn)為(2,1),相應(yīng)的函數(shù)值為2。求函數(shù)在直線邊界上的最大值和最小值。將代入原函數(shù)，則二元函數(shù)變?yōu)橐辉瘮?shù)首先觀測(cè)此函數(shù)圖形，相應(yīng)的MATLAB程序代碼為：>>x=-4:0.01:4; y=x.2-4*x+7;>>plot(x,y);>>xlabel('x'),ylabel('z')結(jié)果如圖6.4所示圖6.4 函數(shù)圖由圖6.4可看出，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，時(shí)函數(shù)取得最小值

12、。下面用計(jì)算驗(yàn)證。對(duì)函數(shù)求導(dǎo)>>clear; syms x ;>>z=x2-4*x+7; diff(z,x)得，可知駐點(diǎn)為，而邊界點(diǎn)為，計(jì)算著三個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值可得當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值39，時(shí)函數(shù)取得最小值3。求函數(shù)在圓弧邊界線上的最大值和最小值。此邊界線可用參數(shù)方程表示。則二元函數(shù)變?yōu)橐辉瘮?shù)首先觀測(cè)此函數(shù)圖形，相應(yīng)的MATLAB程序代碼為：>>t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23;>>plot(t,z);>>xlabel('t'),ylabel('z')結(jié)果如圖6.5所示圖6.5 函數(shù)圖由圖6.5可看出，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值，時(shí)函數(shù)取得最大值。下面用計(jì)算驗(yàn)證。對(duì)函數(shù)求導(dǎo)>>clear; syms t ;>>z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t)得,解正規(guī)方程>>clear; >>t=solve('16*sin(t)-8*cos(t)=0','t')>>numeric(t) %求出t的數(shù)值得，邊