金融風(fēng)險與金融數(shù)學(xué)(北京大學(xué))

1、1金融風(fēng)險和金融數(shù)學(xué) 2什么是風(fēng)險和什么是金融風(fēng)險？ 風(fēng)險是可能發(fā)生的危險可能發(fā)生的危險。 風(fēng)險不確定性。 金融風(fēng)險就是金融中可能發(fā)生的危險金融中可能發(fā)生的危險。 換句話說，就是可能發(fā)生的錢財損失可能發(fā)生的錢財損失。 金融風(fēng)險金融中的不確定性。金融中的不確定性。 金融風(fēng)險包括市場風(fēng)險，信用風(fēng)險、流動性風(fēng)險，營運風(fēng)險等等。3什么是金融經(jīng)濟學(xué)和金融數(shù)學(xué)？ 金融經(jīng)濟學(xué)與其他經(jīng)濟學(xué)科的主要區(qū)別就在于市場環(huán)境的不確定性。市場環(huán)境的不確定性。 金融經(jīng)濟學(xué)主要研究不確定性市場環(huán)境下的金融商品的定價理論。 金融數(shù)學(xué)就是金融商品定價的數(shù)學(xué)理論。 因此，也可以說，金融經(jīng)濟學(xué)以至金融數(shù)學(xué)都是研究金融風(fēng)險的理論。4研

2、究不確定性的數(shù)學(xué)概率論 直到現(xiàn)在為止，研究不確定性的最主要的數(shù)學(xué)學(xué)科是概率論概率論 (其他還有：模糊數(shù)學(xué)、混沌理論、集值分析、微分包含等)。 概率論幾乎可以說是起源于研究“金融風(fēng)險”的。那是一種簡單的“金融風(fēng)險”問題：賭博賭博。5概率論的早期歷史 Blaise Pascal (1623-1662)Pierre de Fermat (1601-1665)1654 年 Pascal 與 Fermat 的五封通信，奠定概率論的基礎(chǔ)。他們當(dāng)時考慮一個擲骰子問題，開始形成數(shù)學(xué)期望的概念，并以“輸贏的錢的數(shù)學(xué)期望”來為賭博“定價”。6Pascal Fermat 問題 二人擲骰子賭博，先擲滿 5 次雙 6

3、點者贏。有一次，A 擲滿 4 次雙 6 點，B 擲滿 3 次雙 6 點。由于天色已晚，兩人無意再賭下去，那么該怎樣分割賭注？ 答案：A 得 3/4, B 得 1/4. 結(jié)論：應(yīng)該用數(shù)學(xué)期望來定價。7概率論的早期歷史 (續(xù))Jacob Bernoulli (1654-1705)1713 年發(fā)表猜度術(shù) (Ars Conjectandi)。這是當(dāng)時最重要、最有原創(chuàng)性的概率論著作。由此引起所謂“圣彼德堡悖論”問題。8“圣彼德堡悖論”問題 有這樣一場賭博：第一次贏得 1 元，第一次輸?shù)诙乌A得 2 元，前兩次輸?shù)谌乌A得 4 元，一般情形為前 n 次輸，第 n+1 次贏得 元。問：應(yīng)先付多少錢，才能使這

4、場賭博是“公平”的？ 如果用數(shù)學(xué)期望來定價，答案將是無窮！2n9“圣彼德堡悖論” 1738 年發(fā)表對機遇性賭博的分析提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險度量新理論”。指出用“錢的數(shù)學(xué)期望”來作為決策函數(shù)不妥。應(yīng)該用“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”。Daniel Bernoulli （1700-1782)10期望效用函數(shù) 1944 年在巨著對策論與經(jīng)濟行為中用數(shù)學(xué)公理化方法提出期望效用函數(shù)。這是經(jīng)濟學(xué)中首次嚴(yán)格定義風(fēng)險。John von Neumann (1903-1957)Oskar Morgenstern (1902-1977)11用期望效用函數(shù)來刻劃風(fēng)險 所謂期望效用函數(shù)是定義在一個隨機變量集合上的函數(shù)

5、，它在一個隨機變量上的取值等于它作為數(shù)值函數(shù)在該隨機變量上取值的數(shù)學(xué)期望。用它來判斷有風(fēng)險的利益，那就是比較“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”。 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 獲得 x, 以概率 (1-p) 獲得 y 的機會，那么其期望效用函數(shù)值為 u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y).12有風(fēng)險與無風(fēng)險之間的比較 機會 (x,y,p) 與肯定得到 px+(1-p)y 之間的利益比較就是比較 u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y) 與 u(px+(1-p)y) 之間的大小。如果它們相等，表示對風(fēng)風(fēng)險中性險中性 (不在乎)；一般取 表示對風(fēng)險愛好。風(fēng)險愛好。13Arrow-Pr

6、att 風(fēng)險厭惡度量 這就歸結(jié)為函數(shù) u 的凸性的比較。它的程度可用 -u/u 來度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。14期望效用函數(shù)的爭論 期望效用函數(shù)似乎是相當(dāng)人為、相當(dāng)主觀的概念。一開始就受到許多批評。其中最著名的是“ Allais 悖論” (1953)。 由此引起許多非期望效用函數(shù)的研究，涉及許多古怪的數(shù)學(xué)。但都不很成功。Maurice Allais (1911-) 1986 年諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者。15Knight 的風(fēng)險、不確定性與利潤(1921) Knight 不承認(rèn)“風(fēng)險=不確定性”，提出“風(fēng)險”是有概率分布的隨機性，而“不確定性”是不可能

7、有概率分布的隨機性。 Knight 的觀點并未被普遍接受。但是這一觀點成為研究方法上的區(qū)別。Frank Hyneman Knight (1885-1972) 16Arrow-Debreu 的不確定狀態(tài) 1954 年 Arrow 和Debreu 發(fā)表一般經(jīng)濟均衡的嚴(yán)格數(shù)學(xué)公理化證明。 他們在處理不確定性時采用Knight 的觀點。光有狀態(tài)，沒有概率。Kenneth J. Arrow （1921-) 1972年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者Gerard Debreu (1921-)1983年諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者17Arrow (1953) 證券價值對于風(fēng)險的最優(yōu)配置的作用 Arrow 的文章被認(rèn)為是第一篇用數(shù)

8、學(xué)模型論證證券如何分散金融風(fēng)險的研究論文。18“華爾街的革命”19 在華爾街發(fā)生的兩次革命已經(jīng)開創(chuàng)了在金融界需要研究型的數(shù)學(xué)家的專長。第一次革命是對股權(quán)基金管理的訣竅引進數(shù)量方法，它開始于 Harry Markowitz 在 1952 年發(fā)表的博士論文證券組合選擇。第二次金融中的革命開始于 1973 年 Fisher Black 和 Myron Scholes (請教了Robert Merton)發(fā)表對期權(quán)定價問題的解答。Black-Scholes 公式給金融行業(yè)帶來了現(xiàn)代鞅和隨機分析的方法；這種方法使投資銀行能夠?qū)o窮無盡的“衍生證券”進行生產(chǎn)、定價和套期保值。201990 年諾貝爾經(jīng)濟獎獲

9、得者Harry Markowitz, (1927-) 證券組合選擇理論Merton Miller, (1923-2000) Modigliani-Miller 定理 (MMT)William Sharpe, (1934-)資本資產(chǎn)定價模型（CAPM)211997 年諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者Fisher Black (1938-1995)期權(quán)定價公式1973 年 Black-Scholes-Merton期權(quán)定價理論問世Robert Merton, (1944-)連續(xù)時間金融學(xué)Myron Scholes, (1941-) 期權(quán)定價公式22Markowitz 證券組合選擇問題 一個投資者同時在許多種證券上

10、投資，那么應(yīng)該如何選擇各種證券的投資比例，使得投資收益最大，風(fēng)險最小。 Markowitz 把證券的收益率看作一個隨機變量，而收益定義為這個隨機變量的數(shù)學(xué)期望，風(fēng)險則定義為這個隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差。 如果把各證券的投資比例看作變量，問題就歸結(jié)為怎樣使證券組合的收益最大、風(fēng)險最小的數(shù)學(xué)規(guī)劃。23Markowitz 問題的數(shù)學(xué)形式24Markowitz 理論的基本結(jié)論 對每一固定收益都求出其最小風(fēng)險，那么在風(fēng)險收益平面上，就可畫出一條曲線，它稱為組合前沿。 在證券允許賣空的條件下，組合前沿是一條雙曲線的一支；在證券不允許賣空的條件下，組合前沿是若干段雙曲線段的拼接。 組合前沿的上半部稱為有效前沿。對于

11、有效前沿上的證券組合來說，不存在收益和風(fēng)險兩方面都優(yōu)于它的證券組合。25風(fēng)險收益圖 和 有效前沿風(fēng)險收益26風(fēng)險收益圖 和 有效前沿27滬深兩市的風(fēng)險收益圖28Markowitz 的基本思想 風(fēng)險在某種意義下是可以度量的。 各種風(fēng)險有可能互相抑制，或者說可能“對沖”。因此，投資不要“把雞蛋放在一個籃子里”，而要“分散化”。 在某種“最優(yōu)投資”的意義下，收益大意味著要承擔(dān)的風(fēng)險也更大。29互相關(guān)的概念30關(guān)于我國股市的互相關(guān)0.250.300.350.400.450.500.551997-12-171998-01-281998-03-111998-04-221998-06-031998-07-1

12、51998-08-261998-10-071998-11-181998-12-301999-02-101999-03-241999-05-051999-06-1607/28/199909/08/199910/20/199912/01/199901/12/200002/23/200004/05/200005/17/200006/28/200008/09/200009/20/2000平均相關(guān)系數(shù)CAPM市場風(fēng)險31Tobin 的二基金分離定理 由于 Markowitz 問題是線性問題，因而兩個有不同收益的解的線性組合就可生成整個組合前沿。 這兩個特殊的組合可以看成“基金”。這個結(jié)果稱為二基金分離定

13、理。二基金分離定理。它是Tobin (1958) 首先提出的。James Tobin, (1918-) 1981年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者32資本資產(chǎn)定價模型 (CAPM) Sharpe (1964) 和另一些經(jīng)濟學(xué)家，則進一步在一般經(jīng)濟均衡的框架下，假定所有投資者都以 Markowitz 的準(zhǔn)則來決策，而導(dǎo)出全市場的證券組合是有效的以及所謂資本資產(chǎn)定價模型 (Capital Asset Pricing Model, CAPM)。這一模型認(rèn)為，每種證券的收益率都只與市場收益率和無風(fēng)險收益率有關(guān)。33資本資產(chǎn)定價模型 (CAPM)無風(fēng)險收益率證券收益率市場收益率E : 平均值 (數(shù)學(xué)期望)Cov:

14、協(xié)方差；Var: 方差34各種證券的風(fēng)險收益圖35無套利假設(shè) Miller 與 Modigliani (1958)的 M-M 定理不但為公司理財這門新學(xué)科奠定了基礎(chǔ)，并且首次在文獻中明確提出無套利假設(shè)。所謂無套利假設(shè)是指在一個完善的金融市場中，不存在套利機會 (即確定的低買高賣之類的機會)。Franco Modigliani, (1918-) 1985 年諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者36無套利假設(shè)和 B-S 期權(quán)定價理論 以無套利假設(shè)作為出發(fā)點的一大成就也就是 Black-Scholes 期權(quán)定價理論。 期權(quán)是指以某固定的執(zhí)行價格在一定的期限內(nèi)買入某種股票的權(quán)利。期權(quán)在它被執(zhí)行時，如果股票的市價高于期權(quán)

15、規(guī)定的執(zhí)行價格，那么期權(quán)的價格就是市價與執(zhí)行價格之差；反之，期權(quán)是無用的，其價格為零。 現(xiàn)在要問，期權(quán)未到期時的價值。37 為解決這一問題，Black 和 Scholes先把模型連續(xù)動態(tài)化。他們假定模型中有兩種證券，一種是債券，它是無風(fēng)險證券，其收益率是常數(shù)；另一種是股票，它是風(fēng)險證券，沿用 Markowitz 的傳統(tǒng)，它也可用證券收益率的期望和方差來刻劃，但是動態(tài)化以后，其價格的變化滿足一個隨機微分方程，其含義是隨時間變化的隨機收益率，其期望值和方差都與時間間隔成正比。這種隨機微分方程稱為幾何布朗運動。38 然后，利用每一時刻都可通過股票和期權(quán)的適當(dāng)組合對沖風(fēng)險，使得該組合變成無風(fēng)險證券，從

16、而就可得到期權(quán)價格與股票價格之間的一個偏微分方程，其中的參數(shù)是時間、期權(quán)的執(zhí)行價格、債券的利率和股票價格的“波動率”。出人意料的是這一方程居然還有顯式解。于是 Black-Scholes 期權(quán)定價公式就這樣問世了。39Black-Scholes 期權(quán)定價公式40Black-Scholes 期權(quán)定價公式 c(x,t) 是股價為 x, 時刻為 t 的歐式買入期權(quán)的價值；K 為期權(quán)的執(zhí)行價；T 是到期日；r 是無風(fēng)險利率； 為股票價格的波動率（標(biāo)準(zhǔn)差）；N 稱為累積正態(tài)分布函數(shù)； 除了 需要估計以外，其他都可直接觀察到，用起來很方便。41Black-Scholes 模型和方程式債券方程：股票方程：B

17、lack-Scholes 方程42Black-Scholes 期權(quán)定價公式股價期權(quán)價t=TtTK43Black-Scholes 公式計算軟件44用期權(quán)對沖股價風(fēng)險合成的投資組合差價股價股價期權(quán)價買入股票賣出 (看跌) 期權(quán)股價獲利45Black-Scholes-Merton的基本思想 “沒有免費的午餐” (無套利假設(shè))。 無套利假設(shè)可用來為金融產(chǎn)品，尤其是為金融衍生產(chǎn)品定價。 如果一個投資組合使所有市場風(fēng)險都被對沖，那么它就相當(dāng)于無風(fēng)險證券 (國庫券)。46Black-Scholes-Merton 理論的歷史意義 The Black-Scholes option pricing model e

18、stablished the everyday use of mathematical models as essential tools in the world of finance, both in the classroom and on the trading floor. 無論是在教室里還是在交易大廳中，Black-Sholes 期權(quán)定價模型都作為實質(zhì)性的工具，確立了數(shù)學(xué)模型在金融界的日常運用。47歷史意義 (續(xù)) The model offers a methodology to predict the seemingly unpredictable by using the l

19、essons of complex mathematics and probability theory to forecast stock valuations, making it possible to successfully manage risk in the financial market. 模型提供一種方法論，它用復(fù)雜的數(shù)學(xué)和概率論來預(yù)測看起來是不可預(yù)知的股票估值，使得有可能來成功地管理金融市場中的風(fēng)險。48歷史意義 (續(xù)) In less than thirty years it has changed the course of economic theory and f

20、inancial practice. 在不到三十年的時間里，它已經(jīng)改變了經(jīng)濟理論的課程和金融實踐。49歷史意義 (續(xù)) The work of Robert Merton, Fischer Black and Myron Scholes is the culmination of a series of discoveries and theories spanning the twentieth century. Merton、Black 和 Scholes 的工作是整個二十世紀(jì)中一系列發(fā)現(xiàn)和理論的累積。50歷史意義 (續(xù)) From Louis Bachelier, an obscure

21、French mathematician who wrote at the turn of the century, through the contributions of scholars such as Harry Markowitz, John Lintner, William Sharpe, Eugene Fama, Franco Modigliani, and Merton Miller, the quest to apply the lessons of probability theory to the stock market has been a key focus of

22、twentieth-century American finance.51歷史意義 (續(xù)) 從一位鮮為人知的法國數(shù)學(xué)家 Bachelier 在世紀(jì)之交撰文，再通過諸如 Markowitz、Lintner、Sharpe、Fama、Modigliani、Miller 這樣的學(xué)者的貢獻，尋求把概率論應(yīng)用于股市已經(jīng)成為二十世紀(jì)美國金融學(xué)的關(guān)鍵的焦點。 引自哈佛商學(xué)院 Baker 圖書館網(wǎng)頁52資產(chǎn)定價基本定理 Black-Scholes 理論的成功使人們認(rèn)識到用“無套利假設(shè)”來為金融商品定價是非常強有力的。這一思想被 Stephen Ross (1940-) 等進一步發(fā)展為“資產(chǎn)定價基本定理” (19

23、78)。 這一定理的最簡單情形可在下述模型中來敘述：假定當(dāng)前狀態(tài)確定，未來有 S 種不確定狀態(tài)。市場中有 J 種證券。53資產(chǎn)定價基本定理 (續(xù)) 資產(chǎn)定價基本定理：資產(chǎn)定價基本定理：無套利假設(shè)等價于存在 S 個正常數(shù)，使得每種證券的當(dāng)前價格等于其 S 種未來價格與這 S 個常數(shù)的乘積和。 如果有一種始終為 1 的無風(fēng)險證券，那么這 S 個常數(shù)可看作每一狀態(tài)發(fā)生的概率。54資產(chǎn)定價基本定理 (續(xù)) 與以前的“賭博定價”相比較，它既不再是用“錢的數(shù)學(xué)期望”來“定價”，也不再是用“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”來“定價”，而是用“錢對某種概率的數(shù)學(xué)期望”來“定價”。 如果無風(fēng)險證券有收益，同樣的結(jié)果對證券的

24、“折現(xiàn)價格”也成立。 對于一般的動態(tài)情形，這里的概率即所謂“等價概率鞅測度”。用這種方法定價就稱為“鞅方法”。55資產(chǎn)定價基本定理 (續(xù)) 1979 年，Cox, Ross 和 Rubinstein 就用這樣的方法，先對離散時間的期權(quán)定價，再取極限連續(xù)化，同樣得到 Black-Scholes 期權(quán)定價公式。 這一方法不但容易理解，并且是一種有效的計算方法。這就是所謂“二叉樹方法”?，F(xiàn)在已成為一種常用的方法。56二叉樹計算方法57市場有效性假設(shè) 于是問題歸結(jié)為“無套利假設(shè)”是否總成立。 Black-Scholes 公式的成功說明“無套利假設(shè)”在許多情況下都是成立的。 一般情況下，這是市場是否有效

25、的問題，即“市場價格是否完全反映可接受的信息”的問題 (Fama, 1970)。Eugene F. Fama (1939-)58市場有效性假設(shè) (續(xù)) 通常市場有效性分為三類：弱有效 (價格已反映其歷史，這時技術(shù)分析無效)、半強有效 (價格已反映所有公開信息，這時基本分析無效) 和強有效 (價格已反映所有內(nèi)部信息，這時“黑箱操作”無效)。許多實證檢驗都支持前兩種有效，但后一種有效則不一定。59市場有效性與信息傳遞 近年來人們逐漸認(rèn)識到，市場有效性與其他“市場分析”手段之間并沒有那么水火不相容。尤其是怎樣來度量“市場效率”成為人們所關(guān)注的問題。 市場是否有效的關(guān)鍵在于市場信息傳遞是否有效。股市中

26、出現(xiàn)的做莊、跟風(fēng)等現(xiàn)象都引起人們關(guān)注。最近出現(xiàn)的一門新學(xué)科行為金融學(xué)就研究這類問題。60Grossman-Stiglitz 悖論 這類問題的研究引起大量數(shù)學(xué)家不熟悉、甚至從未考慮過的數(shù)學(xué)問題。下述悖論就是一個例子。 如果市場已經(jīng)充分反映各種信息，那么投資者就沒有必要搜集信息。但是如果誰都不搜集信息，市場如何充分反映各種信息？(Grossman-Stiglitz, 1980)Stanford J. GrossmanJoseph E. Stiglitz61狂怒的大女子主義者的寓言和股票市場 我寫這個寓言是在1997年10月股市大跌的一個星期之后。它發(fā)生在一個地點不明的愚昧的大女子主義村子里。在這個

27、村子里，有50對夫婦，每個女人在別人的丈夫?qū)ζ拮硬恢覍崟r會立即知道，但從來不知道自己的丈夫是否忠實。該村嚴(yán)格的大女子主義章程要求，如果一個女人能夠證明她的丈夫不忠實，她必須在當(dāng)天殺死他。又假定女人們都贊同這一章程，并且都很聰明，也都能意識到別的女人的聰明；同時，還都很仁慈，即她們從不向那些丈夫不忠實的女人通風(fēng)報信。假定在這個村子里發(fā)生了這樣的事：所有這50個男人都不忠實，但沒有哪一個女人能夠證明她的丈夫的不忠實，以至這個村子能夠快活而又小心翼翼地一如既往。62寓言和股票市場 (續(xù)) 有一天早晨，森林的遠處有一位德高望重的女族長來拜訪。她的誠實眾所周知，她的話就像法律。她暗中警告說村子里至少有一

28、個風(fēng)流的丈夫。這個事實，根據(jù)她們已經(jīng)知道的，只該有微不足道的后果，但是一旦這個事實成為公共知識，會發(fā)生什么？ 答案是，在女族長的警告之后，將先有49個平靜的日子，然后，到第50天，在一場大流血中，所有的女人都殺死了她們的丈夫。 要弄明白這一切是如何發(fā)生的，我們首先假定這里只有一個不忠實的丈夫A先生。除了A太太外，所有人都知道A先生的背叛，因而當(dāng)女族長發(fā)表她的聲明的時候，只有A太太從中得知一點新消息。作為一個聰明人，她意識到如果任何其他的丈夫不忠實，她將會知道。因此，她推斷出A先生就是那個風(fēng)流鬼，于是在當(dāng)天就殺了他。63寓言和股票市場 (續(xù)) 現(xiàn)在假定有兩個不忠實的男人，A先生和B先生。除了A太太和B太太以外，所有人都知道這兩起背叛，而A太太只知道B太太家的，B太太只知道A太太家的。A太太因而從女族長的聲明中一無所獲。但是第一天過后，B太太并沒有殺死B先生，她推斷出A先生一定也有罪。B太太也是這樣，她從A太太第一天沒有殺死A先生這一事實得知，B先生也有罪。于是在第二天，A太太和B太太都殺死了她們的丈夫。 如果情形改為恰好有三個有罪的丈夫，A先生、B 先生和C先生，那么女族長的聲明在第一天不會造成任何影響，但類似于前面描述的