求解非線性方程組的二分法

1、科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)學(xué)術(shù)論壇求解非線性方程組的二分法張飛飛馬群黃家慶佟曉君（河北理工大學(xué)河北唐山；中材建設(shè)有限公司北京）摘要：文中給出一種解非線性超越方程組的數(shù)值方法，先用二分法原理給出解一個(gè)一元方程的流程，繼而利用這個(gè)流程給出解二元方程組的流程，再推廣到元的方程組中。在數(shù)值計(jì)算過程中，通過對超越方程組的一元化處理，僅利用方程有根區(qū)間兩端的函數(shù)值互為相反數(shù)這一特性便可得到方程根，拓展了數(shù)值計(jì)算的收斂區(qū)間，克服了傳統(tǒng)解法中初值難以確定的問題。在工程可靠度的計(jì)算中，采用本文方法具有獨(dú)特的優(yōu)勢。關(guān)鍵詞：可靠度計(jì)算非線性超越方程組二分法數(shù)值計(jì)算中圖分類號：文獻(xiàn)標(biāo)識碼：文章編號：（）（）引言在結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算過程

2、中，需要運(yùn)用數(shù)值方法求解復(fù)雜的非線性超越方程組。大量實(shí)踐表明，采用傳統(tǒng)的梯度法、擬牛頓法等常因不收斂而導(dǎo)致求解失敗，原因是這些方法要求在解的收斂區(qū)域不僅連續(xù)光滑，而且函數(shù)和導(dǎo)數(shù)具有單調(diào)性，這就使得收斂區(qū)域被限定在很小的范圍內(nèi)。由于所選擇的初值很難進(jìn)入這個(gè)范圍內(nèi)，因此使得結(jié)果發(fā)散。我們提出了一種依照二分法原理求解多元超越方程組的新方法，由于該方法僅要求有根區(qū)間兩端的函數(shù)值互為相反數(shù)的條件，因此收斂區(qū)域很大，初值非常容易確定。大量計(jì)算表明，當(dāng)隨機(jī)變量為非正態(tài)分布且極限狀態(tài)方程高度非線性時(shí)，采用本文提出的的方法具有明顯的優(yōu)勢。解一元超越方程的二分法設(shè)方程為f(x)=0，令f(x)，在區(qū)間，上取值，給

3、定精度和步長，從開始取值，求出值，再讓增加一個(gè)步長，求出f(x+h)值，判斷是否小于零，若小于零，則在這個(gè)步長內(nèi)有解，那么二分步長，計(jì)算這個(gè)步長中點(diǎn)值f(x+h)，若小于給定精度，則此時(shí)的步長中點(diǎn)值是方程的解，若不小于給定精度，則判斷是否小于零，小于則區(qū)間有根，那么把賦值給，即后，再重復(fù)判斷和二分區(qū)間；若大于零，則小于零，那么把賦值給，即，重復(fù)判斷和二分區(qū)間，直到二分的區(qū)間小于給定精度，則取區(qū)間中點(diǎn)為根，找到滿足精度要求的根，找到根之后，在把找跟區(qū)間向前推進(jìn)一步；若大于零，則這個(gè)小區(qū)間無根，就把區(qū)間向前推一步，再重復(fù)判斷。那么重復(fù)以上步驟，直到取值到區(qū)間有端點(diǎn)。解的過程的簡要流程如下：如圖。圖

4、解二元超越方程組的二分法設(shè)方程組為：（，），（）（，），（）則先令，（，），則方程組變?yōu)椋海?，），（）（，），（）用中介紹的方法解一元方程（），解出，把解出的值代入，求出其函數(shù)值，并增加給定元一個(gè)步長值，此時(shí)方程圖科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)學(xué)術(shù)論壇（）和（）變?yōu)椋海ǎ?，（）（，），（）再用中介紹的的方法解一元方程（），解出，把解出的值代入，求出其函數(shù)值，并與前一次的函數(shù)值相乘，若乘積小于零，則在的這一個(gè)步長中，方程組有解，可用二部分所述二分這個(gè)步長的方法求出解集；若大于零，則此步長區(qū)間中無解，則增加給定元一個(gè)步長值，把求根區(qū)間科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)向前推進(jìn)，重復(fù)前面的步驟，直到給定元取值結(jié)束。簡要的流程圖如下：如圖

5、。元超越方程組的二分法在給出了用二分法求解一元超越方程和二元方程組的思路之后，我們把求解多元的方程組轉(zhuǎn)化到求解一元方程來達(dá)到求解的目的。對于一個(gè)有三元的方程組來說，可先給定其中一個(gè)元的初值，使方程組變成一個(gè)二元的方程組和一個(gè)二元方程，然后用部分所述方法解出二元方程組，再把方程組的解集代入剩下的一個(gè)方程中，求出其函數(shù)值；再增加給定元一個(gè)步長值，使方程組變成一個(gè)二元的方程組和一個(gè)二元方程，然后用部分所述方法解出二元方程組，再把方程組的解集代入剩下的一個(gè)方程中，求出這時(shí)的函數(shù)值，并與前一次的函數(shù)值相乘，若乘積小于零，則在這個(gè)步長中方程組有解，可用二部分所述方法求出解集；若大于零，則此步長區(qū)間中無解，

6、則增加給定元一個(gè)步長值，重復(fù)前面的步驟，直到給定元取值結(jié)束。對于元方程組則是以此類推。解元方程組的流程圖如下：如圖。結(jié)語二分法是一種逐一搜索的方法，運(yùn)用二分法原理求解多元非線性超越方程組時(shí)，由于收斂條件要求很低，初值便于確定，因此對于諸如工程可靠度計(jì)算之類復(fù)雜問題采用本文方法具有明顯的優(yōu)勢。但是隨著未知元的增加，搜索的次數(shù)會(huì)增加的很多，與傳統(tǒng)方法相比計(jì)算時(shí)間會(huì)延長，但目前計(jì)算機(jī)的性能可以解決此類問題?，F(xiàn)已編制了計(jì)算機(jī)應(yīng)用程序供工程應(yīng)用。參考文獻(xiàn)魏毅強(qiáng)數(shù)值計(jì)算方法北京：科學(xué)出版社，劉永強(qiáng)等編，算法語言與計(jì)算方法基礎(chǔ)科學(xué)出版社，工程中的數(shù)值方法北京：科學(xué)出版社，數(shù)值分析版北京：高等教育出版社，羅堅(jiān)

7、等語言程序設(shè)計(jì)北京：中國鐵道出版社，圖（上接頁）重要地位和協(xié)助職能。在精忠廟廟首的協(xié)助下，確保民間行會(huì)及戲曲活動(dòng)的有序、正常運(yùn)行。精忠廟廟首的一項(xiàng)重要職責(zé)就是負(fù)責(zé)處理行會(huì)內(nèi)部、外部紛爭，及違犯行規(guī)等日常事件，借以維護(hù)和確保戲行內(nèi)部及民間戲班、戲園演出活動(dòng)的正常、有序進(jìn)行。此僅光緒十五年京城梨園兩件大事的處理上，即可看出精忠廟廟首在行內(nèi)的權(quán)威性，及職權(quán)行使的有效性?！坝罐I夫、家奴慶和園茲事，梨園公憤罷演七天”光緒十五年七月二十一、二十二日，左御使許應(yīng)騤和副都御使楊頤家中轎夫、家奴張大順、張文紀(jì)等數(shù)人，在大柵欄慶和園戲園肆意茲事，還仗勢伙同巡城御使、中城坊官正指揮等人私自封閉慶和園，斥責(zé)戲園卯頭

8、，當(dāng)即引起周邊各處戲園、戲班同僚的一致不滿。經(jīng)孫菊仙、楊月樓等諸廟首、戲園園主、戲班班主及各界票友、友人共議，決定不能縱容此事。遂京城梨園決定罷演七天，以表斗爭之決心。罷演之前，精忠廟共集錢四千八百余吊發(fā)放于民間各班，用以罷演期間藝人糊口。罷演規(guī)模之大，氣勢之高，振動(dòng)京師，甚至得到了孝欽皇后（慈禧）的重視。其下令著吊賞銀九千六百吊補(bǔ)于藝人，牽涉班社每班約獲賞銀一千二百吊。并勒令許應(yīng)騤、楊頤二人即刻查辦相關(guān)責(zé)任人，于慶和園門前示眾十日，以示懲戒。精忠廟幾位廟首在此事件中，借助多方的合作和配合，憑借行會(huì)內(nèi)部的團(tuán)結(jié)和自身的果斷與機(jī)智，妥善的處理了此次沖突，控制了混亂的局面。不僅圓滿解決了問題，亦向世人證明了梨園公會(huì)內(nèi)部的團(tuán)結(jié)與力量和對梨園事務(wù)的有效管理。參考文獻(xiàn)周明泰清昇平署存檔事例漫抄北京：幾禮居戲曲叢書第四種，中華民國二十二年朱希祖整理昇平署檔案記北京：北平燕京大學(xué)出版，民國二十年王芷章清昇平署志略北京：國立北平研究院史學(xué)研究會(huì)出版，中華民國二十六徐蘭沅、唐吉徐蘭沅操琴生活北京：中國戲劇出版社，（清）吳長元宸垣識略北京：北京古籍出版社，趙翼檐曝雜記北京：中華書局，年中國人民政治