概率論 第四章 隨機變量的數(shù)字特征

1、第四章隨機變量的數(shù)字特征§1數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望先通過下面的實例說明數(shù)學(xué)期望的直觀含義某車間共有臺機床，這些機床由于各種原因時而工作時而停機，因而在任意時刻工作著的機床數(shù)是一隨機變量。為評估該車間機床的使用效率，需要知道車間中同時工作著的機床的平均數(shù)作了20次觀察，結(jié)果如下：工作機床數(shù)01234頻數(shù)01397頻率0/101/203/209/207/20從表中可看出，在20次觀察中，有1次“1臺工作”， 有3次“2臺工作”， 有9次“3臺工作”， 有7次“4臺工作”， “機床都不工作”的情況未出現(xiàn)在20次觀察中，工作機床總數(shù)為。所以，車間中同時工作機床的平均數(shù)為式中，0

2、/20、1/20、3/20、9/20、7/20是的5種可能取值的頻率，或概率的近似值。可以看出，的平均數(shù)并不是的5種可能取值的簡單算術(shù)平均數(shù)。這種簡單的算術(shù)平均數(shù)不能真實反映出隨機變量的平均情況，因為取各個值的可能性即概率是不相等的。這個“平均數(shù)”應(yīng)是隨機變量所有可能取的值與相應(yīng)概率的乘積之和，即以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值。為此，我們引入數(shù)學(xué)期望這一概念。定義1 設(shè)離散型隨機變量的分布律為，若級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)的和為隨機變量的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記作，即。 【例1】 【例2】 設(shè)，求。解 設(shè)的分布律為01則它的數(shù)學(xué)期望 【例3】 設(shè)，求。二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 定義2 設(shè)連續(xù)型隨

3、機變量的概率密度為，若反常積分絕對收斂，則稱反常積分的值為隨機變量的數(shù)學(xué)期望，記作，即【例4】 設(shè)隨機變量在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布，求。【例5】 設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求。三、二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望 定義3 二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望為。 設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律為，則 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度為，則【例6】 設(shè)的概率密度為求。四、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè)是一個隨機變量且已知其概率分布，則作為的函數(shù)也是一個隨機變量。 要計算的數(shù)學(xué)期望，可以先由的概率分布求出的概率分布，再按期望定義求。但更方便的是利用的分布及與的函數(shù)關(guān)系直接計算的數(shù)學(xué)期望。定理1 設(shè)離散型隨機變量的分布律

4、為，是實值連續(xù)函數(shù)，且級數(shù)絕對收斂，則隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。定理2 設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為，是實值連續(xù)函數(shù)，且反常積分絕對收斂，則隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。 【例7】 設(shè)隨機變量的分布律為求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 【例8】 設(shè)隨機變量在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布，求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 【例9】 設(shè)，求。 【例10】 求使商店所獲利潤最大的進貨量。定理3 設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律為，是實值連續(xù)函數(shù)，且級數(shù)絕對收斂，則隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。定理4 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度為，是實值連續(xù)函數(shù)，且反常積分絕對收斂，則隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。 【例11】 求隨機變量函數(shù)

5、的數(shù)學(xué)期望。五、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)下面給出數(shù)學(xué)期望的幾個性質(zhì)，并假設(shè)所提到的數(shù)學(xué)期望均存在性質(zhì) （c為常數(shù)）。性質(zhì)（為常數(shù)）。性質(zhì)3設(shè)是任意兩個隨機變量，則有。這一性質(zhì)可推廣到有限個隨機變量的情形，即。性質(zhì)4設(shè)是兩個相互獨立的隨機變量，則有。這一性質(zhì)也可推廣到有限個相互獨立的隨機變量的情形，即有。運用數(shù)學(xué)期望的這些性質(zhì)，可以簡化一些隨機變量數(shù)學(xué)期望的計算。 【例12】 設(shè)，求。 【例13】 設(shè)，求。 【例14】 求停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。以上兩例中，將分解為個隨機變量之和，然后利用隨機變量之和的數(shù)學(xué)期望等于隨機變量數(shù)學(xué)期望之和的性質(zhì)，來求數(shù)學(xué)期望的這種處理方法，具有一定的普遍意義。 【例15】盛書p.

6、98.例13。 設(shè)電路中電流與電阻是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為， 試求電壓的均值。§2方差一、方差的定義 在許多實際問題中，往往只知道隨機變量的數(shù)學(xué)期望是不夠的，還需要知道隨機變量取值與其均值的偏離程度。 先看下面的例子。在相同的條件下，甲、乙兩人對長度為的某零件進行測量，測量結(jié)果分別用表示，已知的概率分布如下：00.10.80.100.10.20.40.20.1容易算出，即甲、乙兩人測量的平均值是相同的，這時僅用數(shù)學(xué)期望比較不出甲、乙兩人測量技術(shù)的好壞。但從以上列表分布大致可以看到，取值比取值更集中于數(shù)學(xué)期望附近，說明甲的測量技術(shù)比乙好。為了定量表示這種集中程度，需要

7、用一個數(shù)值來刻劃隨機變量取值與其數(shù)學(xué)期望偏差的大小。為此，我們引入方差這一概念。定義 設(shè)是一個隨機變量，若存在，則稱為的方差，記為或，即，還引入與具有相同量綱的量，記為，稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。 顯然方差的大小反映了隨機變量取值的分散程度：方差越大，則取值越分散；方差越小，則取值越集中。對離散型隨機變量。對連續(xù)型隨機變量。對于方差，常用以下公式計算：?！纠?】 設(shè)隨機變量表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，求的期望和方差。解 的分布律為 ，()。由期望的定義有 對于方差的計算：方法1直接由方差的定義式， 。方法2應(yīng)用方差的常用公式，因為 所以 。一般來說，用方法2計算更方便些?！纠?設(shè)隨機變量分布，求?！纠?/p>

8、2設(shè)隨機變量分布，求?！纠?設(shè)隨機變量分布，求?！纠?設(shè)隨機變量分布，求。二、方差的性質(zhì) 性質(zhì) (為常數(shù))。性質(zhì) (為常數(shù))，更一般有， (為常數(shù))。性質(zhì)3 若相互獨立，則 。一般地，設(shè)是任意兩個隨機變量，則有。性質(zhì)4 的充要條件是以概率1取常數(shù)，即【例5設(shè)隨機變量分布，求?！纠?設(shè)隨機變量分布，求?！纠?求活塞能裝入汽缸的概率。【例設(shè)隨機變量相互獨立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差，令，求。三、切比雪夫不等式 定理 設(shè)隨機變量具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對于任意正數(shù)，不等式成立。 這不等式稱為切比雪夫不等式，它也可寫成如下形式；?！纠烙嬕归g同時使用的燈的盞數(shù)在6800與7200之間的概率。§

9、;3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差 定義1 稱為隨機變量與的協(xié)方差，記為，即。由定義知，對于任意兩個隨機變量和，有，。協(xié)方差有如下性質(zhì)：（1）；（2）；（3），為任意常數(shù)；（4），為任意常數(shù)；（5）；（6）如果與相互獨立，則。二、相關(guān)系數(shù) 定義2 設(shè)隨機變量、的數(shù)學(xué)期望、方差都存在，稱為隨機變量與的相關(guān)系數(shù)，是一個無量綱量。令 ，稱為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量。易知，。又稱為標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差。相關(guān)系數(shù)有如下性質(zhì)：（1）；（2）的充要條件為，存在常數(shù)，使得。當(dāng)時，稱與不相關(guān)；當(dāng)時，稱與完全相關(guān)【例證明二維隨機變量與不相關(guān),但不是相互獨立。【例設(shè)服從上的均勻分布，求。§4矩、協(xié)方差矩陣 定義 設(shè)和是隨機變量

10、，若，存在，稱它為的階原點矩，簡稱階矩。若，存在，稱它為的階中心矩。若，存在，稱它為和的階混合原點矩。若，存在，稱它為和的階混合中心矩。 二維隨機變量有四個二階中心矩 將它們排成矩陣形式稱為二維隨機變量的協(xié)方差矩陣。§5 二維正態(tài)分布定義 設(shè)二維連續(xù)性隨機變量的聯(lián)合概率密度為 ,其中都是常數(shù)，且，則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布，記為可以證明，二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度分別為 和 。進而不難證明：分別是的數(shù)學(xué)期望，分別是它們的標(biāo)準(zhǔn)差，是它們的相關(guān)系數(shù)。二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布，且都不依賴于相關(guān)系數(shù)。這表明單由關(guān)于和的邊緣分布，一般不能確定和的聯(lián)合分布。但當(dāng)，即和互不相關(guān)時，就有即和相互獨立。此時，由關(guān)于和的邊緣分布，能唯一確定和的聯(lián)合分布。下面列出二維正態(tài)隨機變量的四條十分有用的性質(zhì)：（1）當(dāng)時，；反之，如果和相互獨立，且，則。（2）當(dāng)時，對任意不全為零的常數(shù)，有。特別，當(dāng)和相互獨立，