概率統(tǒng)計(jì)簡明教程 第一章 隨機(jī)事件及其概率

1、第一章 隨機(jī)事件及其概率概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的理論與方法在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.從17世紀(jì)人們利用古典概型來研究人口統(tǒng)計(jì)、產(chǎn)品檢查等問題到20世紀(jì)30年代概率論公理化體系的建立，概率論形成了自己嚴(yán)格的概念體系和嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu).本章重點(diǎn)介紹概率論的兩個(gè)最基本的概念：隨機(jī)事件與概率.主要內(nèi)容包括：隨機(jī)事件與概率的定義，古典概型與幾何概型，條件概率，乘法公式，全概率公式與貝葉斯公式以及事件的獨(dú)立性等.1 隨機(jī)事件1.1 隨機(jī)現(xiàn)象在自然界和人類社會(huì)生活中普遍存在著兩類現(xiàn)象：必然現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象.在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象.例如

2、，沒有受到外力作用的物體永遠(yuǎn)保持原來的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，同性電荷相互排斥等，都是必然現(xiàn)象.在相同的條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.例如，拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面還是出現(xiàn)反面，檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)任意抽取的產(chǎn)品是合格品還是次品等，都是隨機(jī)現(xiàn)象.在對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量重復(fù)觀測時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，一方面，在每次觀測之前不能預(yù)知哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，這是隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性；另一方面，在進(jìn)行了大量重復(fù)觀測之后，其結(jié)果往往會(huì)表現(xiàn)出某種規(guī)律性.例如，拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面，拋擲之前無法預(yù)知哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，但在反復(fù)多次拋擲之后，正面出現(xiàn)的頻率（即正面出現(xiàn)的次數(shù)與拋擲總次數(shù)的比值）在0.5附近擺動(dòng)，這表明隨機(jī)現(xiàn)象存在其

3、固有的量的規(guī)律性.我們把隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)觀測時(shí)所表現(xiàn)出來的量的規(guī)律性稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.表1.1記錄了歷史上研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的最著名的試驗(yàn)拋擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果.表1.1試驗(yàn)者拋擲次數(shù)正面朝上的次數(shù)正面朝上的頻率德摩根（De Morgan）蒲 豐（Buffon）費(fèi)希爾（Fisher）皮爾遜（Pearson）皮爾遜（Pearson）204840401000012000240001061204849796019120120.51810.50690.49790.50160.50051.2 隨機(jī)事件為了研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，我們需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量重復(fù)的觀察、測量或者試驗(yàn).為了方

4、便，將它們統(tǒng)稱為試驗(yàn).如果試驗(yàn)具有以下特點(diǎn)，則稱之為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱為試驗(yàn)：1. 可重復(fù)性 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2. 可觀測性 每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果都是明確的、可觀測的，并且試驗(yàn)的可能結(jié)果有兩個(gè)或更多個(gè)；3. 隨機(jī)性 每次試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的，試驗(yàn)之前無法預(yù)知哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn).我們用字母表示一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，用表示隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)，用表示隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合，稱為樣本空間.例1.1 拋擲一枚硬幣，觀察正面和反面出現(xiàn)的情況（將這兩個(gè)結(jié)果依次記作和）,則試驗(yàn)的樣本空間為 =出現(xiàn)，出現(xiàn) = ,.例1.2 將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面和反面出現(xiàn)的情況，則試驗(yàn)的樣

5、本空間為 .例1.3 將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)，則試驗(yàn)的樣本空間為 =.例1.4 拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則試驗(yàn)的樣本空間為 = .例1.5 記錄某機(jī)場問訊處一天內(nèi)收到的電話次數(shù)，則試驗(yàn)的樣本空間為 = .例1.6 從一批電子元件中任意抽取一個(gè)，測試它的壽命（單位：小時(shí)），則試驗(yàn)的樣本空間為 = .在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們常常關(guān)心試驗(yàn)的結(jié)果是否滿足某種指定的條件.例如，在例1.6中，若規(guī)定電子元件的壽命小于小時(shí)為次品，那么我們關(guān)心試驗(yàn)的結(jié)果是否有.滿足這一條件的樣本點(diǎn)組成的子集，我們稱為該試驗(yàn)的一個(gè)隨機(jī)事件.顯然，當(dāng)且僅當(dāng)子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，有.一般地，我們稱隨機(jī)試驗(yàn)的樣本

6、空間的子集為的隨機(jī)事件，簡稱為事件，用大寫字母,等表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生時(shí)，稱這一事件發(fā)生.特別地，由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)子集，稱為基本事件.樣本空間作為它自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，每次試驗(yàn)總是發(fā)生，稱為必然事件.空集作為樣本空間的子集，不包含任何樣本點(diǎn)，每次試驗(yàn)都不發(fā)生，稱為不可能事件.例1.7 在例1.3中，子集表示事件“三次均不出現(xiàn)正面”， 子集表示事件“三次均出現(xiàn)正面”，與都是基本事件.子集表示事件“正面出現(xiàn)的次數(shù)小于”，子集表示事件“正面至少出現(xiàn)一次” .而事件“正面出現(xiàn)的次數(shù)不大于”為必然事件，事件“正面出現(xiàn)的次數(shù)大于”為不可能事件. 1.3 隨機(jī)

7、事件的關(guān)系及運(yùn)算在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，往往存在很多隨機(jī)事件，每一事件具有各自的特征，彼此之間可能存在某種聯(lián)系.為了通過對(duì)簡單事件的研究來掌握復(fù)雜事件，我們需要研究事件間的關(guān)系及運(yùn)算.由于事件是一個(gè)集合，因此事件的關(guān)系及運(yùn)算與集合的關(guān)系及運(yùn)算是相互對(duì)應(yīng)的.在以下的討論中，試驗(yàn)的樣本空間為，是試驗(yàn)的事件，也是的子集.1. 事件的包含如果事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生，即屬于的每一個(gè)樣本點(diǎn)一定也屬于，則稱事件包含事件，記作.顯然，事件的含義與集合論中的含義是一致的，并且對(duì)任意事件,有 .在例1.7中，有.2. 事件的相等如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，則稱事件與事件相等（或等價(jià)），記作.顯然，事件與事

8、件相等是指和所含的樣本點(diǎn)完全相同，這等同于集合論中的相等，實(shí)際上事件和事件是同一事件.3事件的和“事件和事件至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件稱為事件和事件的和（或并），記作，即=事件發(fā)生或事件發(fā)生=.在例1.7 中，.事件的和可以推廣到多個(gè)事件的情形：=事件中至少有一個(gè)發(fā)生，=事件中至少有一個(gè)發(fā)生.4. 事件的積“事件和事件同時(shí)發(fā)生”這一事件稱為事件與事件的積（或交），記作(或)，即=事件發(fā)生且事件發(fā)生=，這與集合論中的交集的含義一致.在例1.7中，.事件的積可以推廣到多個(gè)事件的情形：=事件同時(shí)發(fā)生，=事件同時(shí)發(fā)生.5. 事件的差“事件發(fā)生而事件不發(fā)生”這一事件稱為事件與事件的差，記作，即 =事件發(fā)生

9、但事件不發(fā)生=.在例1.7中，.6. 事件的互不相容如果事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，也就是說，是不可能事件，即，則稱事件與事件是互不相容的（或互斥的）.在例1.7中，事件與事件是互不相容的.7. 事件的互逆如果在每一次試驗(yàn)中事件與事件都有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生，則稱事件與事件是互逆的（或?qū)α⒌模?，并稱其中的一個(gè)事件為另一個(gè)事件的逆事件（或?qū)α⑹录?記作或.顯然互逆的兩個(gè)事件，滿足 ， .在例1.7中，事件與事件是互逆的.圖1.1（文氏圖）直觀地表示了上述關(guān)于事件的各種關(guān)系及運(yùn)算. 與 互不相容 圖1.1與集合的運(yùn)算類似，事件的運(yùn)算有如下的運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律 ,；（2）結(jié)合律 ,；（3）分配律 ,

10、；（4）對(duì)偶律 ，.上述各種事件運(yùn)算的規(guī)律可以推廣到多個(gè)事件的情形.例. 甲，乙，丙三人射擊同一目標(biāo)，令表示事件“甲擊中目標(biāo)”， 表示事件“乙擊中目標(biāo)”， 表示事件“丙擊中目標(biāo)” .用,的運(yùn)算表示下列事件.（1） 三人都擊中目標(biāo)；（2） 只有甲擊中目標(biāo)；（3） 只有一人擊中目標(biāo)；（4） 至少有一人擊中目標(biāo)；（5） 最多有一人擊中目標(biāo).解 用分別表示上述（1）（5）中的事件.（1）三人都擊中目標(biāo)，即事件,同時(shí)發(fā)生，所以；（2）只有甲擊中目標(biāo)，即事件發(fā)生，而事件和都不發(fā)生，所以；（3）只有一人擊中目標(biāo)，即事件,中有一個(gè)發(fā)生，而另外兩個(gè)不發(fā)生，所以；（4）至少有一人擊中目標(biāo)，即事件,中至少有一個(gè)發(fā)生

11、，所以；“至少有一人擊中目標(biāo)”也就是恰有一人擊中目標(biāo)，或者恰有兩人擊中目標(biāo)，或者三人都擊中目標(biāo)，所以事件也可以表示成 ； （5）最多有一人擊中目標(biāo)，即事件, 或者都不發(fā)生，或者只有一個(gè)發(fā)生，所以 ；“最多有一人擊中目標(biāo)”也可以理解成“至少有兩人沒擊中目標(biāo)”，即事件中至少有兩個(gè)發(fā)生，所以.2 隨機(jī)事件的概率對(duì)于隨機(jī)事件而言，在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，那么我們希望知道一個(gè)隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性有多大，也就是事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的機(jī)會(huì)有多大.我們把用來表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)值稱為事件的概率.2.1 頻率將隨機(jī)試驗(yàn)在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行次，在這次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次

12、數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，而比值稱為事件發(fā)生的頻率，記作，即.容易證明，頻率滿足下列性質(zhì)：(1) 對(duì)于任一事件，；(2) 對(duì)于必然事件，；(3) 對(duì)于兩兩互不相容的事件（即當(dāng)時(shí)，有，），有 .事件的頻率反映了在次試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻繁程度.頻率越大，表明事件的發(fā)生越頻繁，這意味著事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性越大；頻率越小，意味著事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性越小.然而頻率依賴于試驗(yàn)次數(shù)以及每次試驗(yàn)的結(jié)果，而試驗(yàn)結(jié)果具有隨機(jī)性，所以頻率也具有隨機(jī)性.大量試驗(yàn)表明，當(dāng)較小時(shí)，頻率的波動(dòng)性較大，當(dāng)增大時(shí)，頻率的波動(dòng)幅度隨之減小，即頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，穩(wěn)定地在某一常數(shù)附近擺動(dòng)，而且擺動(dòng)幅度越來越小.我們用這一數(shù)

13、值表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大小，稱為事件的概率，記作，即.表1.1是歷史上幾位著名的科學(xué)家重復(fù)拋擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果.不難看出，隨著的增大，“正面朝上”這一事件的頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，在數(shù)值附近擺動(dòng)，所以事件“正面朝上”的概率為.這種用頻率的穩(wěn)定值定義事件的概率的方法稱之為概率的統(tǒng)計(jì)定義.隨著對(duì)概率研究的深入，經(jīng)過近三個(gè)世紀(jì)的漫長探索， 1933年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov）提出了概率的公理化體系，明確定義了基本概念，使得概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，推動(dòng)了概率論研究的發(fā)展.2.2 概率定義2.1 設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對(duì)的每一個(gè)事件，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，并且滿足下列條

14、件：（1）非負(fù)性 對(duì)于任一事件，有；（2）規(guī)范性 對(duì)于必然事件，；（3）可列可加性 對(duì)于兩兩互不相容的事件（即當(dāng)時(shí)，有，（），有 ，則稱為事件的概率. 概率的這一定義稱為公理化定義，它高度抽象因而具有廣泛的適應(yīng)性.在第五章我們將證明，當(dāng)時(shí)，頻率在一定意義下收斂于概率，可見概率的公理化定義涵蓋了概率的統(tǒng)計(jì)定義.根據(jù)定義2.1，我們可以推出概率的重要性質(zhì)，這些性質(zhì)有助于我們進(jìn)一步理解概率的概念，同時(shí)它們也是概率計(jì)算的重要依據(jù).性質(zhì)1 對(duì)于不可能事件，有.證明 令，則是兩兩互不相容的事件，且，根據(jù)概率的可列可加性有.由于實(shí)數(shù)，因此. 性質(zhì)2 對(duì)于兩兩互不相容的事件（即當(dāng)時(shí)，有，），有 .證明 令，根

15、據(jù)概率的可列可加性有 .性質(zhì)3 對(duì)于任一事件，有 .證明 因?yàn)?由概率的規(guī)范性和性質(zhì)2，有 ，于是 .性質(zhì)4 如果事件,則有,且.證明 因?yàn)?，所?且,由性質(zhì)2，有 . 又, 所以，并且 .對(duì)于任意兩個(gè)事件與，由于,且,根據(jù)性質(zhì)4，可得 .上式稱為概率的減法公式.性質(zhì)5 對(duì)任一事件，有 .證明 因?yàn)?，由性質(zhì)4和概率的規(guī)范性，可得 .性質(zhì)6 對(duì)于任意兩個(gè)事件與，有 .證明 因?yàn)?且,由性質(zhì)2和性質(zhì)4，可得 .上式稱為概率的加法公式.加法公式可以推廣到有限個(gè)事件的情形.例如，對(duì)任意三個(gè)事件，有 .例2.1 設(shè) 是同一試驗(yàn)的三個(gè)事件， ,.求：（1）；（2）；（3）. 解 由概率的性質(zhì)，可得 (1)

16、 ；(2) ；(3) 由于,所以,亦即.于是 .例2.2 已知，求：(1) ；（2）.解 （1）由題意， ， 所以 ；（2） 由于,，所以，再由對(duì)偶律，有 .2.3 古典概型 概率的公理化定義只規(guī)定了概率必須滿足的條件，并沒有給出計(jì)算概率的方法和公式.在一般情形之下給出概率的計(jì)算方法和公式是困難的.下面我們討論一類最簡單也是最常見的隨機(jī)試驗(yàn)，它曾經(jīng)是概率論發(fā)展初期的主要研究對(duì)象.如果隨機(jī)試驗(yàn)滿足下列兩個(gè)條件：（1）有限性 試驗(yàn)的基本事件總數(shù)是有限個(gè)；（2）等可能性 每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，則稱試驗(yàn)為古典概型（或等可能概型）.下面我們討論古典概型中事件概率的計(jì)算公式.設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為.

17、顯然基本事件， ，是兩兩互不相容的，且.由于及，根據(jù)概率的性質(zhì)，有 （），即 .如果事件包含個(gè)基本事件，即，其中是中的某個(gè)數(shù)，則有 ， 即 . (2.1)按公式（2.1），要計(jì)算古典概型中事件的概率，只需計(jì)算樣本空間所包含的基本事件總數(shù)以及事件所包含的基本事件個(gè)數(shù).這時(shí)常常要用到加法原理、乘法原理和排列組合公式.例2.3 將一枚硬幣拋擲三次，求“恰有一次出現(xiàn)正面”的概率.解 設(shè)表示事件“恰有一次出現(xiàn)正面” .由于試驗(yàn)的樣本空間為 ，所以,基本事件總數(shù).又, 即所包含的基本事件個(gè)數(shù).因此 . 在例2.3中，我們寫出了試驗(yàn)的樣本空間以及事件的集合表示，從而得到基本事件總數(shù)和事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)

18、，最后算出事件的概率.其實(shí)很多時(shí)候我們并不需要寫出樣本空間來，只要算出基本事件總數(shù)和所包含的基本事件數(shù)，就可以利用（2.1）式計(jì)算事件的概率.例2.4 一只箱子中裝有10個(gè)同型號(hào)的電子元件，其中3個(gè)次品，7個(gè)合格品.(1) 從箱子中任取1個(gè)元件，求取到次品的概率；(2) 從箱子中任取2個(gè)元件，求取到1個(gè)次品1個(gè)合格品的概率.解 （1）從10個(gè)元件中任取1個(gè)，共有種不同的取法，每一種取法所得到的結(jié)果是一個(gè)基本事件，所以. 又10個(gè)元件中有3個(gè)次品，所以取到次品有種不同的取法，即.于是取到次品的概率為； (2) 從10個(gè)元件中任取2個(gè)，共有種不同的取法, 所以.而恰好取到1個(gè)次品1個(gè)合格品的取法有

19、種，即,于是取到1個(gè)次品1個(gè)合格品的概率為 .一般地，在件產(chǎn)品中有件次品，從中任取件，則其中恰有件次品的概率為 .例2.5 某城市電話號(hào)碼從七位數(shù)升至八位數(shù)，方法是在原先號(hào)碼前加6或8，求：（1）隨機(jī)取出的一個(gè)電話號(hào)碼是沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)的概率；（2）隨機(jī)取出的一個(gè)電話號(hào)碼末尾數(shù)是8的概率.解 電話號(hào)碼的第一位數(shù)字只能是6或8，第一位有2種可能結(jié)果，而其余各位數(shù)字都可以是0到9這十個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)，因此，每一位數(shù)字均有10種可能結(jié)果，于是基本事件總數(shù).（1） 取到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)號(hào)碼有種不同的結(jié)果，所以 ； （2）取到尾數(shù)是8的號(hào)碼有種不同的結(jié)果，所以 .例2.6 從中任取三個(gè)數(shù)字，求下

20、列概率：（1） 取到的三個(gè)數(shù)字不含和；（2） 取到的三個(gè)數(shù)字不含或.解 設(shè)表示事件“取到的三個(gè)數(shù)字不含和”，表示事件“取到的三個(gè)數(shù)字不含或”，基本事件總數(shù)為.（1）事件包含了 個(gè)基本事件，所以；（2）設(shè)表示事件“取到的三個(gè)數(shù)字不含”，表示事件“取到的三個(gè)數(shù)字不含”，則 ，所以，事件發(fā)生的概率為 .在例2.6中我們看到，計(jì)算古典概型中事件的概率，有時(shí)需要和概率的性質(zhì)結(jié)合在一起.事實(shí)上，題中事件的概率還有更簡單的計(jì)算方法：表示事件“取到的三個(gè)數(shù)字既含也含”，從而.例2.7 將個(gè)球隨機(jī)地放入（）個(gè)箱子中，其中每個(gè)球都等可能地放入任意一個(gè)箱子，求下列事件的概率：（1）每個(gè)箱子最多放入1個(gè)球；（2）某指

21、定的箱子不空.解 將個(gè)球隨機(jī)地放入個(gè)箱子中，共有種不同的放法，記（1）和（2）中的事件分別為和.（1） 事件相當(dāng)于在個(gè)箱子中任意取出個(gè)，然后再將個(gè)球放入其中，每箱1球，所以共有 種不同的放法，于是；（2） 事件的逆事件表示“某指定的箱子是空的”，它相當(dāng)于將個(gè)球全部放入其余的個(gè)箱子中，所以 ，進(jìn)而 .例2.7的問題可以應(yīng)用到其他不同的情形.例如，某班級(jí)有名學(xué)生，一年按天計(jì)算，則這名學(xué)生生日各不相同的概率為（生日各不相同）= .這里，名學(xué)生的生日相當(dāng)于“個(gè)球”，一年天相當(dāng)于“個(gè)箱子”，那么“名學(xué)生生日各不相同”相當(dāng)于 “每個(gè)箱子中最多放入個(gè)球” .需要指出的是，人們?cè)陂L期的實(shí)踐活動(dòng)中總結(jié)出這樣的事

22、實(shí)：小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.這一事實(shí)通常被稱作實(shí)際推斷原理.由于上述名學(xué)生生日各不相同的概率僅為，所以我們可以預(yù)測這名學(xué)生中至少有人生日相同.例2.8 某商場為促銷舉辦抽獎(jiǎng)活動(dòng)，投放的張獎(jiǎng)券中有張是有獎(jiǎng)的，每位光臨的顧客均可抽取一張獎(jiǎng)券，求第位顧客中獎(jiǎng)的概率.解 設(shè)表示事件“第位顧客中獎(jiǎng)” .到第位顧客為止，試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為，而第個(gè)顧客中獎(jiǎng)可以抽到張有獎(jiǎng)券中的任意一張，其他顧客在剩余的張獎(jiǎng)券中任意抽取，所以事件包含的基本事件數(shù)為,于是 .在上述解題過程中，我們只考慮了前個(gè)顧客的情形.如果把所有顧客的情形都考慮進(jìn)去，那么試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為.第個(gè)顧客中獎(jiǎng)有種取法，其余位顧客將余

23、下來的張獎(jiǎng)券抽完，所以事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)為，進(jìn)而事件的概率為 .例2.8的結(jié)果表明，顧客中獎(jiǎng)與否同顧客出現(xiàn)的次序無關(guān)，也就是說抽獎(jiǎng)活動(dòng)對(duì)每位參與者來說都是公平的，進(jìn)而說明在現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的抽簽活動(dòng)是公平的：一組簽中有若干好簽和若干壞簽，不論是先抽還是后抽，抽到好簽的概率總是相同的.2.4 幾何概型以有限性和等可能性為前提我們討論了古典概型中事件概率的計(jì)算公式，下面我們將其推廣到無限多個(gè)基本事件的情形，而這些基本事件也具有某種等可能性.如果試驗(yàn)相當(dāng)于向面積為的平面區(qū)域內(nèi)任意投擲一點(diǎn)（如圖2.1），而這個(gè)點(diǎn)（稱為隨機(jī)點(diǎn)）落在內(nèi)任意一點(diǎn)的可能性相等，進(jìn)而隨機(jī)點(diǎn)落在內(nèi)任意子區(qū)域的可能性大小與

24、的面積成正比，而與的位置和形狀無關(guān)，我們稱這樣的試驗(yàn)為平面上的幾何概型.設(shè)表示事件“隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)”，為區(qū)域的面積，并且事件的概率為 ，其中為比例系數(shù).由于，所以 , 于是，進(jìn)而有 ， 即 圖2.1 . （2.2）需要指出的是，如果試驗(yàn)相當(dāng)于向直線上的區(qū)間內(nèi)投擲隨機(jī)點(diǎn)，則只需將（2.2）式中的面積改為長度，上述討論依然成立；如果試驗(yàn)相當(dāng)于向空間區(qū)域內(nèi)投擲隨機(jī)點(diǎn)，則只需將面積改成體積.例2.9 某人午覺醒來發(fā)現(xiàn)自己的表停了，便打開收音機(jī)收聽電臺(tái)報(bào)時(shí).已知電臺(tái)每個(gè)整點(diǎn)報(bào)時(shí)一次，求他（她）能在10分鐘之內(nèi)聽到電臺(tái)報(bào)時(shí)的概率.解 由于上一次報(bào)時(shí)和下一次報(bào)時(shí)的時(shí)間間隔為分鐘，而這個(gè)人可能在內(nèi)的任一時(shí)刻

25、打開收音機(jī)，所以這是一個(gè)直線上的幾何概型問題.用表示他（她）打開收音機(jī)的時(shí)刻，表示事件“他（她）能在10分鐘之內(nèi)聽到電臺(tái)報(bào)時(shí)”，則，.于是 .例2.10 甲、乙兩船在某碼頭的同一泊位?？啃敦?，每只船都可能在早晨七點(diǎn)至八點(diǎn)間的任一時(shí)刻到達(dá)，并且卸貨時(shí)間都是分鐘，求兩只船使用泊位時(shí)發(fā)生沖突的概率. 解 因?yàn)榧?、乙兩船都在七點(diǎn)至八點(diǎn)間的分鐘內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)，所以甲到達(dá)的時(shí)刻和乙到達(dá)的時(shí)刻滿足，即為平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，這是一個(gè)平面上的幾何概型問題.設(shè)表示事件“兩只船使用泊位時(shí)發(fā)生沖突”，則（如圖2.2），所以 . 圖2.2 3 條件概率3.1 條件概率假設(shè)和是隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件，那么事件或的概率是確定

26、的，而且不受另一個(gè)事件是否發(fā)生的影響.但是，如果已知事件已經(jīng)發(fā)生，那么需要對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小進(jìn)行重新考慮.例3.1 一只盒子中裝有新舊兩種乒乓球，其中新球有白色4個(gè)和黃色3個(gè)，舊球有白色2個(gè)和黃色1個(gè).現(xiàn)從盒子中任取一球.（1） 求取出的球是白球的概率；（2）已知取出的球是新球，求它是白球的概率.解 設(shè)表示“取出的球是新球”，表示“取出的球是白球” .由古典概型有（1）；（2）是在事件已經(jīng)發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率.由于新球共有7個(gè)，其中有4個(gè)白球，因此，.由此可見，.為了區(qū)別，稱為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率，記作，即.由于表示事件”取出的球是新球并且是白球”，而在10個(gè)

27、球中，是新球并且是白球共有4個(gè)，所以.又,所以有=.容易驗(yàn)證，在一般的古典概型中，只要，總有=.在幾何概型中（以平面的情形為例），如果向平面區(qū)域內(nèi)投擲隨機(jī)點(diǎn)（圖3.1），表示事件“隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)”，表示事件“隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)”，那么 圖3.1=.一般地，我們有下面的定義.定義3.1 設(shè)和是試驗(yàn)的兩個(gè)事件，且，稱 = （3.1）為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率.容易驗(yàn)證，條件概率滿足概率定義中的三個(gè)條件，即(1) 非負(fù)性 對(duì)于任意事件，有；(2) 規(guī)范性 對(duì)于必然事件，有；(3) 可列可加性 對(duì)于兩兩互不相容的事件有 ，進(jìn)而也滿足概率的重要性質(zhì)，例如；.在計(jì)算條件概率時(shí)，有時(shí)可以根據(jù)試驗(yàn)

28、的結(jié)構(gòu)，從條件概率的本質(zhì)含義直接得到條件概率，有時(shí)則需要用定義3.1來計(jì)算條件概率.例3.2 口袋中有10個(gè)乒乓球，3個(gè)黃球，7個(gè)白球，從中任取一球觀察顏色后不放回，然后再任取一球.（1）已知第一次取到的是黃球，求第二次取到的仍是黃球的概率；（2）已知第二次取到的是黃球，求第一次取到的也是黃球的概率.解 設(shè)表示“第次取到黃球”（），則表示“第一次取到白球” .（1）已知發(fā)生，即第一次取到的是黃球，那么第二次就在剩余的2個(gè)黃球和7個(gè)白球中任取一個(gè)，根據(jù)古典概型概率的計(jì)算公式，取到黃球的概率為，即有； （2）已知發(fā)生，即第二次取到的是黃球.由于第一次取球發(fā)生在第二次取球之前，所以問題的結(jié)構(gòu)不像（1

29、）那么直觀，我們采用（3.1）式計(jì)算. =，所以.在例3.2中我們發(fā)現(xiàn)，“已知第一次取到的是黃球，第二次取到的仍是黃球”的概率與“已知第二次取到的是黃球，第一次取到的也是黃球” 的概率相等.事實(shí)上，盡管第一次取球時(shí)，可能取到的是10個(gè)球中的任意一個(gè)，但當(dāng)我們知道第二次取到的是黃球之后，反過來推斷，第一次取到的是2個(gè)黃球和7個(gè)白球中的一個(gè)，從而結(jié)果與（1）相同.例3.2中的這一現(xiàn)象是具有一般性的，作為練習(xí)，讀者可以考慮個(gè)黃球和個(gè)白球的情形.3.2 乘法公式由條件概率的定義3.1可知，對(duì)于任意兩個(gè)事件和，如果，則有 . （3.2）對(duì)稱地，如果，由 有 . （3.3） （3.2）和（3.3）式稱為概

30、率的乘法公式.對(duì)于有限個(gè)事件，當(dāng)時(shí)，有 . 例3.3 某批產(chǎn)品中，甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占，并且甲廠的產(chǎn)品的次品率為.從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率.解 設(shè)表示事件“抽取的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”，表示事件“抽取的產(chǎn)品是次品”，由題意 , .由乘法公式 .例3.4 某人忘記了所要撥打的電話號(hào)碼的最后一位數(shù)字，因而只能隨意撥碼.求他（她）撥碼不超過3次接通電話的概率.解 設(shè)表示事件“不超過3次接通”,表示事件“第次接通”，則 .顯然兩兩互不相容，所以 .3.3 全概率公式 在計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率時(shí)，我們需要將其分解成若干個(gè)兩兩互不相容的比較簡單的事件的和，分別計(jì)算出這些簡單事件的

31、概率，然后根據(jù)概率的可加性求得復(fù)雜事件的概率（見例3.2（2）.設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，事件兩兩互不相容，并且，則稱為試驗(yàn)的完備事件組（或樣本空間的一個(gè)分割）.如果，則對(duì)于 的任一事件，有 ，這里是兩兩互不相容的，由概率的性質(zhì)有 ，根據(jù)乘法公式，得 ， （3.4）（3.4）式稱為全概率公式，它是概率論的基本公式.例3.5 市場供應(yīng)的某種商品中，甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占，乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占，丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占.已知甲、乙、丙廠產(chǎn)品的合格率分別為，求顧客買到的這種產(chǎn)品為合格品的概率.解 設(shè)分別表示事件 “買到的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”，“買到的產(chǎn)品是乙廠生產(chǎn)的”，“買到的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的”，表示事件“買到的產(chǎn)品是合格品

32、”，則是一個(gè)完備事件組，且 , , , ,于是由全概率公式，有 .例3.6 人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢螘r(shí)間內(nèi)價(jià)格的變化，往往會(huì)分析影響股票價(jià)格的因素，比如利率的變化.假設(shè)利率下調(diào)的概率為，利率不變的概率為.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在利率下調(diào)的情況下，該股票價(jià)格上漲的概率為，在利率不變的情況下，其價(jià)格上漲的概率為.求該股票價(jià)格上漲的概率.解 設(shè)表示事件“利率下調(diào)”，表示事件“利率不變”，表示事件“股票價(jià)格上漲” .根據(jù)題意 , ， , ，由全概率公式 .3.4 貝葉斯公式在全概率公式（3.4）中，我們可以把事件看成一個(gè)“結(jié)果”，而把完備事件組理解成導(dǎo)致這一結(jié)果發(fā)生的不同原因（或決定“結(jié)果”發(fā)生的不同情形），是

33、各種原因發(fā)生的概率，通常是在“結(jié)果”發(fā)生之前就已經(jīng)明確的，有時(shí)可以從以往的經(jīng)驗(yàn)中得到，因而稱之為先驗(yàn)概率.當(dāng)“結(jié)果”已經(jīng)發(fā)生之后，再來考慮各種原因發(fā)生的概率，它較比先驗(yàn)概率得到了進(jìn)一步的修正，稱之為后驗(yàn)概率.下面討論它的計(jì)算公式.設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，事件為試驗(yàn)的完備事件組，且.對(duì)于任一事件，如果，.由乘法公式和全概率公式，有 ， ，所以 （）， （3.5）（3.5）式稱為貝葉斯（Bayes）公式,也稱為逆概率公式.例3.7 對(duì)以往數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明，當(dāng)某機(jī)器處于良好狀態(tài)的時(shí)候，生產(chǎn)出來的產(chǎn)品合格率為，而當(dāng)該機(jī)器存在某些故障時(shí)，生產(chǎn)出來的產(chǎn)品合格率為，并且每天機(jī)器開動(dòng)時(shí)，處于良好狀態(tài)的概率為.已

34、知某日生產(chǎn)出來的第一件產(chǎn)品為合格品，求此時(shí)該機(jī)器處于良好狀態(tài)的概率.解 設(shè)表示事件“機(jī)器處于良好狀態(tài)”，表示事件“機(jī)器存在某些故障”，表示事件“生產(chǎn)出來的產(chǎn)品是合格品”，則與是完備事件組，且 , , , ,根據(jù)貝葉斯公式，有 .根據(jù)以往的數(shù)據(jù)，我們知道，機(jī)器處于良好狀態(tài)的概率為，它是所謂的先驗(yàn)概率.而得知“第一個(gè)產(chǎn)品是合格品”這一新的信息之后，我們計(jì)算得出機(jī)器處于良好狀態(tài)的概率為，它是后驗(yàn)概率，它使得我們對(duì)機(jī)器的狀態(tài)有了進(jìn)一步的了解. 例3.8 一項(xiàng)血液化驗(yàn)以概率將某種疾病患者檢出陽性，以概率將沒有患此種疾病的人檢出陰性.設(shè)某地區(qū)此種疾病的發(fā)病率為.求某人檢驗(yàn)結(jié)果呈陽性時(shí)，他（她）確實(shí)患有此種

35、疾病的概率.解 設(shè)表示事件“他（她）患有此種疾病”， 表示事件“他（她）沒有患此種疾病”， 表示事件“他（她）檢驗(yàn)結(jié)果呈陽性”，由題意 , , . 于是,從而由貝葉斯公式，有 . 在例3.8中，如果僅從條件 和 來看，這項(xiàng)血液化檢比較準(zhǔn)確.但是經(jīng)計(jì)算知，這個(gè)概率是比較小的.可見僅憑這項(xiàng)化驗(yàn)結(jié)果確診是否患病是不科學(xué)的.但另一方面，這個(gè)結(jié)果較之該地區(qū)的發(fā)病率 幾乎擴(kuò)大了倍，所以該檢驗(yàn)不失為一項(xiàng)輔助檢驗(yàn)手段.4 事件的獨(dú)立性和伯努利概型4.1 兩個(gè)事件的獨(dú)立性對(duì)同一試驗(yàn)中的兩個(gè)事件和，我們需要討論其中一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率是否存在影響.例4.1 盒子中有只白色和只黃色乒乓球，從中抽取兩

36、次，每次隨機(jī)地抽取1個(gè).（1）第一次任取1球，觀察其顏色后不放回袋中，再從剩余的球中任取1球.這種抽取方式稱為不放回抽樣.（2）第一次任取1球，觀察其顏色后放回袋中，再從中任取1球.這種抽取方式稱為有放回抽樣.設(shè)表示事件 “第一次取到白球”， 表示事件“第二次取到白球”,分別就上述兩種方式求和.解 （1） 不放回抽樣： ,.（2）放回抽樣： ,.從例4.1中可以看出，在不放回抽樣中，事件的發(fā)生肯定要影響到事件發(fā)生的概率，即.而在有放回抽樣中，事件的發(fā)生不會(huì)影響到事件發(fā)生的概率，即 ，進(jìn)而由乘法公式有 ，此時(shí),我們稱事件與事件相互獨(dú)立.一般地，我們有下面的定義.定義4.1 設(shè)和是同一試驗(yàn)的兩個(gè)事

37、件，如果 ,則稱事件與事件相互獨(dú)立.由定義可以進(jìn)一步得出下列結(jié)論：（1）若，則與相互獨(dú)立的充分必要條件為；若，則與相互獨(dú)立的充分必要條件為.證明（以第一種情形為例）：若與相互獨(dú)立, ，由乘法公式，所以 .當(dāng)時(shí)，有.反之，若，則有,所以與相互獨(dú)立.（2）若與相互獨(dú)立，則與，與，與也相互獨(dú)立.證明（以與為例）：因?yàn)? 所以 .若與相互獨(dú)立，則，從而,所以與相互獨(dú)立.需要指出的是，若，則“與相互獨(dú)立”和“與互不相容”不能同時(shí)成立.例4.1 投擲一枚均勻的骰子， 設(shè)表示事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于”，表示事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于”，表示事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”.討論與、與的獨(dú)立性.解 由于 , , ,所以 ，.又

38、 , ，所以有 , ,故與相互獨(dú)立，而與不相互獨(dú)立.4.2 多個(gè)事件的獨(dú)立性定義4.2 設(shè)是同一試驗(yàn)中的三個(gè)事件，如果滿足（1）（此時(shí)稱事件,兩兩獨(dú)立）；（2）,則稱事件相互獨(dú)立.更一般地，設(shè)是同一試驗(yàn)中的個(gè)事件，如果對(duì)于任意正整數(shù)以及這個(gè)事件中的任意個(gè)（）事件，都有等式 成立，則稱個(gè)事件相互獨(dú)立. 與兩個(gè)事件相互獨(dú)立的結(jié)論（2）類似，如果 個(gè)事件相互獨(dú)立，可以證明，將其中任何 個(gè)事件改為相應(yīng)的逆事件，形成的新的個(gè)事件仍然相互獨(dú)立，例如，若相互獨(dú)立，那么或也相互獨(dú)立.例4.2 設(shè)有張相同的卡片，張涂上紅色，張涂上黃色，張涂上綠色，張涂上紅、黃、綠三種顏色.從這張卡片中任取張，用,分別表示事件“

39、取出的卡片上涂有紅色”，“取出的卡片上涂有黃色”，“取出的卡片上涂有綠色”，討論事件,是否相互獨(dú)立.解 顯然 , ,所以有 , , ,根據(jù)定義4.2，事件,是兩兩獨(dú)立的.但 ,所以事件,不相互獨(dú)立. 在實(shí)際問題中，往往是根據(jù)具體情況，按照獨(dú)立性的本質(zhì)含義確定事件的獨(dú)立性，然后利用獨(dú)立性的定義計(jì)算乘積事件的概率.例4.3 甲、乙、丙三人獨(dú)立射擊同一目標(biāo)，已知三人擊中目標(biāo)的概率分別為，求下列事件的概率：（1） 恰有1人擊中目標(biāo)；（2） 至少有1人擊中目標(biāo).解 設(shè)分別表示事件“甲擊中目標(biāo)”，“乙擊中目標(biāo)”，“丙擊中目標(biāo)”，則由題意，相互獨(dú)立,進(jìn)而、都相互獨(dú)立，且 , , .（1） ；(2) .例4.

40、4 一個(gè)電子元件（或由電子元件構(gòu)成的系統(tǒng)）正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性.現(xiàn)有4個(gè)獨(dú)立工作的同種元件，可靠性都是，按先串聯(lián)后并聯(lián)的方式聯(lián)接（如圖4.1）.求這個(gè)系統(tǒng)的可靠性.解 設(shè)表示事件“第個(gè)元件正常工作”，表示事件“系統(tǒng)正常工作” .由題意，相互獨(dú)立，且,.圖4.1 由概率的加法公式和事件的獨(dú)立性，有 .4.3 伯努利（Bernoulli）概型將同一試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行次，如果每次試驗(yàn)中各結(jié)果發(fā)生的概率不受其他各次試驗(yàn)結(jié)果的影響，則稱這次試驗(yàn)是獨(dú)立試驗(yàn)（或相互獨(dú)立的）.如果試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果和，則稱該試驗(yàn)為伯努利試驗(yàn).例如，拋擲一枚硬幣觀察出現(xiàn)正面還是反面，抽取一件產(chǎn)品觀測是合格品還是次品

41、.需要指出的是，有些試驗(yàn)的結(jié)果雖然不止兩個(gè)，但我們感興趣的是某事件發(fā)生與否，因而也可以視為伯努利試驗(yàn).例如，任取一只燈泡觀察其壽命，結(jié)果可以是不小于0的任何實(shí)數(shù).根據(jù)需要，如果把壽命大于等于1000小時(shí)的燈泡認(rèn)定為合格品，而把壽命小于1000小時(shí)的燈泡認(rèn)定為次品，那么試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果:是合格品還是次品，因此是伯努利試驗(yàn).將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次，稱這次試驗(yàn)為重伯努利概型（或重伯努利試驗(yàn)），簡稱為伯努利概型.設(shè)， .下面我們討論在重伯努利概型中，事件恰好發(fā)生次的概率.用表示事件“第次試驗(yàn)中發(fā)生”，那么“次試驗(yàn)中前次發(fā)生，后次不發(fā)生”的概率為 . 類似地，在指定的個(gè)試驗(yàn)序號(hào)上發(fā)生，在其余的

42、個(gè)試驗(yàn)序號(hào)上不發(fā)生的概率都是，而在試驗(yàn)序號(hào)中指定個(gè)序號(hào)的不同方式共有種，所以在重伯努利概型中，事件恰好發(fā)生次的概率為 . （4.1）（4.1）式通常稱為二項(xiàng)概率公式.例4.5 箱子中有10個(gè)同型號(hào)的電子元件，其中有3個(gè)次品7個(gè)合格品.每次從中隨機(jī)抽取一個(gè)，檢測后放回.（1）共抽取10次，求10次中“恰有3次取到次品”和“能取到次品”的概率；（2）如果沒取到次品就一直取下去，直到取到次品為止，求“恰好要取3次”和“至少要取3次”的概率.解 設(shè)表示事件“第次取到次品”,則.（1）設(shè)表示事件“恰有3次取到次品”，表示事件“能取到次品”,則有 ；（2）設(shè)表示事件“恰好要取3次”，表示事件“至少要取3次

43、”，則有 .例4.6 某車間有5臺(tái)同類型的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床配備的電動(dòng)機(jī)功率為10千瓦.已知每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)，平均每小時(shí)實(shí)際開動(dòng)12分鐘，且各臺(tái)機(jī)床開動(dòng)與否相互獨(dú)立.如果為這5臺(tái)機(jī)床提供30千瓦的電力，求這5臺(tái)機(jī)床能正常工作的概率.解 由于千瓦的電力可以同時(shí)供給臺(tái)機(jī)床開動(dòng)，因此在臺(tái)機(jī)床中，同時(shí)開動(dòng)的臺(tái)數(shù)不超過臺(tái)時(shí)能正常工作，而有臺(tái)或臺(tái)同時(shí)開動(dòng)時(shí)則不能正常工作.因?yàn)槭录懊颗_(tái)機(jī)床開動(dòng)”的概率為，所以臺(tái)機(jī)床能正常工作的概率為 .在例4.6中，這5臺(tái)機(jī)床不能正常的工作的概率大約為，根據(jù)實(shí)際推斷原理，在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，因此,可以認(rèn)為提供千瓦的電力基本上能夠保證5臺(tái)機(jī)床正常工作. 習(xí)題一 （A）1. 用三個(gè)事件的運(yùn)算表示下列事件：（1）中至少有一個(gè)發(fā)生；（2）中只有發(fā)生；（3）中恰好有兩個(gè)發(fā)生；（4）中至少有兩個(gè)發(fā)生；（5）中至少有一個(gè)不發(fā)生；（6）中不多于一個(gè)發(fā)生.2. 在區(qū)間上任取一數(shù)， 記 ，求下列事件的表達(dá)式：（1）； （2）； (3).3. 已知，求.4. 已知，求與.5. 將13個(gè)分別寫有的卡片隨意地排成一行，求恰好排單詞“”的概率.6. 從一批由45件正品、5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求其中恰好有1件次品的概率.7. 某學(xué)生研究小組共有12名同學(xué)，求這12名同學(xué)的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率.8.