抽象性常常被說成數(shù)學(xué)最為基本的一個特性幫助學(xué)生較好

1、抽象性常常被說成數(shù)學(xué)最為基本的一個特性。幫助學(xué)生較好地理解與掌握抽象的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)理論，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項基本任務(wù)。實現(xiàn)這個目標(biāo)的一個基本手段就是恰當(dāng)?shù)嘏e例會舉例，善于舉例。這應(yīng)當(dāng)被看成數(shù)學(xué)教師的一個基本功。 應(yīng)當(dāng)指明，就高度抽象的數(shù)學(xué)概念而言，舉例并非一件易事。以下就是筆者在南京大學(xué)執(zhí)教時的一個親身體驗：由于函數(shù)是數(shù)學(xué)中最為重要的基本概念之一，因此，作為 大學(xué)微積分學(xué)課程的開端，筆者首先對學(xué)生關(guān)于函數(shù)概念的掌握情況進行了解。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：盡管當(dāng)時的教學(xué)對象是文科學(xué)生，但大部分人都能正確地表述出函數(shù)概念的“三個要素”，即自變量、因變量和對應(yīng)關(guān)系。進而，筆者又要求學(xué)生聯(lián)系實際生活舉出函數(shù)的若干實例

2、，這一任務(wù)對學(xué)生來說應(yīng)當(dāng)不會有任何困難，因為在中學(xué)的全部學(xué)習(xí)過程 中，他們已經(jīng)接觸到了各種各樣的函數(shù)，教材中也已給出了這個函數(shù)的若干實例。另外，在物理和化學(xué)等課程的教學(xué)過程中學(xué)生也常常會遇到各種各樣的函數(shù)，如彈簧的長度與拉力的關(guān)系、炮彈的射程與發(fā)射角的關(guān)系，等等。然而，出乎意料的是，學(xué)生卻普遍表現(xiàn)出了一定的困難。當(dāng)時有一個學(xué)生舉出了這樣的例子：“一個人的年齡與他所消耗的食品以及與他所消耗的衣物之間的關(guān)系?！薄斑@能否被看成函數(shù)的實例?”筆者組織學(xué)生對此進行了簡短討論。以下的“修正”很快為全班一致接受了：我們在此應(yīng)當(dāng)首先實行必要的量化，因為，在目前的水平上，函數(shù)所涉及的只是數(shù)量之間的關(guān)系。然而，當(dāng)

3、教師提出以下問題后，大部分同學(xué)卻陷入了思想混亂：“但是，一個人所消耗的食品或衣物與他的年齡之間并不存在必然的聯(lián)系。這就是說，當(dāng)他20歲時，他所消耗的食品可能是X噸，也完全可能是(X1)噸或(X1)噸。這種不確定性是否與函數(shù)定義中所說的確定的對應(yīng)關(guān)系相矛盾?”由于筆者沒有立即提供相應(yīng)的解答，而是讓學(xué)生自己去思考，因此，在這一堂課后就有不少同學(xué)反映：“對于函數(shù)概念我們原來是懂的，現(xiàn)在反而不懂了!”當(dāng)然，這些學(xué)生所說的“原來是懂的”，其實并不是真懂；另外，就我們目前的論題而言，這也就十分清楚地表明：舉例特別是舉出適當(dāng)?shù)睦訉嵎且患资?。對于上述的例子，相信一些教師會認為：您這是就較為高深的數(shù)學(xué)概念而

4、言的，如果是初等數(shù)學(xué)就不存在這樣的問題。例如，通過1個蘋果、兩只桔子等實例我們就可順利地幫助學(xué)生掌握1、2、3等概念及其運算；再例如，只需借助木制的三角尺與黑板上所畫出的各種三角形等，我們就可幫助學(xué)生順利地建立起三角形的概念 上面的看法應(yīng)當(dāng)說有一定道理，但是，作為問題的另一方面，我們又應(yīng)強調(diào)指出：盡管數(shù)學(xué)教學(xué)中時時都在用到各種各樣的例子，但例子又有“好”與“壞”，或者說“恰當(dāng)”與“不恰當(dāng)”的區(qū)分。作出這種區(qū)分的一個重 要標(biāo)志是：這些例子是否真正有利于學(xué)生很好地去掌握相應(yīng)的抽象概念。“會舉例、善于舉例”的一個具體內(nèi)涵，就是應(yīng)當(dāng)有利于學(xué)生較好地實現(xiàn)由具體實例向抽象數(shù)學(xué)概念的重要過渡。顯然，從這樣的

5、角度去分析，我們也就可以立即看出以下論述的不足之處：“數(shù)學(xué)，對學(xué)生來說，就是利用自己的生活經(jīng)驗對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的一種解讀?！币驗?，如果采用皮亞杰的術(shù)語，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非僅僅是一種“同化”(用建構(gòu)主義的話來說，就是意義賦予”)，而且也是一個順應(yīng)”的過程，即如何能夠超出生活經(jīng)驗并學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，特別是數(shù)學(xué)抽象。下面這個四年級的教學(xué)實例能給予我們直接的啟示。任課教師要求學(xué)生求解這樣一個問題：“52型拖拉機，一天耕地150公畝，問12天耕地多少公畝?”一位學(xué)生是這樣解題的：52×50×2=(略)。接下來就出現(xiàn)了這樣的師生對話：“告訴我，你為什么這么列式?” “老師，我錯了。” “好的，告訴我

6、，你認為正確的該怎么列式?” “除?！?“怎么除?” “大的除以小的。” “為什么是除呢?” “老師，我又錯了。” “你說，對的該是怎樣呢?” “應(yīng)該把它們加起來。” 顯然，這位學(xué)生是在瞎猜。 “我們換一個題目，比如你每天吃兩個大餅，5天吃幾個大餅?” “老師，我早上不吃大餅的?！?“那你吃什么?” “我經(jīng)常吃粽子。” “好，那你每天吃兩個粽子，5天吃幾個粽子?” “老師，我一天根本吃不了兩個粽子?！?“那你能吃幾個粽子?” “吃半個就可以了?！?“好，那你每天吃半個(小數(shù)乘法沒學(xué))粽子，5天吃幾個粽子?” “兩個半?！?“怎么算出來的?” “兩天一個，5天兩個半?！睂υ掃M行到這里就很有點“搞

7、笑”了!但是，如果要對這個學(xué)生的問題進行診斷，我想大家都會得出這樣的結(jié)論：他所缺乏的并不是生活經(jīng)驗，而是數(shù)學(xué)抽象的能力。盡管這個學(xué)生已經(jīng)上到了四年級，但在由“日常數(shù)學(xué)”上升到“學(xué)校數(shù)學(xué)”這一方向上并未獲得真正的進展。在此我們應(yīng)清楚地認識到：數(shù)學(xué)抽象事實上是一個模式化的過程。作為數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)概念(與命題)所反映的不只是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質(zhì)這就是所謂的“模式”，它與通常所說的“模型”是不同的，模型從屬于某個特定的事物或現(xiàn)象，也就不具有模式那樣的普遍意義。模式化的一個重要特征，就是“去情境化、去時間化和去個性化”，這意味著與現(xiàn)實原型在一定程度上

8、的分離。由此可見數(shù)學(xué)教學(xué)中對于例子的恰當(dāng)應(yīng)用的重要性。 最后，從更為廣泛的角度看，恰當(dāng)舉例不僅適用于數(shù)學(xué)教學(xué)，也適用于數(shù)學(xué)教材的編寫；不僅適用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而且也適用于任何一種抽象理論甚至是“研究傳統(tǒng)”的學(xué)習(xí)或繼承：例如，著名科學(xué)哲學(xué)家?guī)於髑宄刂该髁恕胺妒健睂τ诳茖W(xué)活動的特殊重要性：常規(guī)情況下的科學(xué)研究就可被看成范式指導(dǎo)下的解疑活動：進而，就范式的學(xué)習(xí)而言，庫恩又突出地強調(diào)了這樣一點：只有借助于范例我們才能真正掌握相應(yīng)的范式?！白罨镜氖牵妒绞侵改承┚唧w的科學(xué)成就事例，是指某些實際的問題解答，科學(xué)家認真學(xué)習(xí)這些解答，并仿照它們進行自己的工作。”顯然，這事實上也就更為清楚地表明了在具體與抽象之

9、間所存在的重要的辯證關(guān)系。 另外，現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的研究也為以上的論述提供了重要的論據(jù)。研究表明，就數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)而言，我們應(yīng)對“概念定義”與“概念意象”作出明確的區(qū)分，因為，在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)概念的心理對應(yīng)物(心理表征)并非相應(yīng)的形式定義，而是一個由多種成分組成的復(fù)合體，其中例子占據(jù)了十分重要的地位，它為主體獲得適當(dāng)?shù)男睦韴D像(視覺形象，對此不應(yīng)簡單地等同于直觀形象)提供了直接的基礎(chǔ)。 由此可見，我們不能停留于各個具體的例子，特別是不能停留于學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，而應(yīng)努力幫助學(xué)生由具體實例上升到抽象的數(shù)學(xué)概念。但是，我們?nèi)绾尾拍軒椭鷮W(xué)生很好地實現(xiàn)所說的“抽象”呢? 先來看一個真實的故事。

10、 20世紀(jì)60年代，一個數(shù)學(xué)家的女兒由幼兒園放學(xué)回到了家中，父親問她今天學(xué)到了什么?女兒高興地回答道：“我們今天學(xué)了集合?！睌?shù)學(xué)家覺得要學(xué)習(xí)這樣一個高度抽象的數(shù)學(xué)概念，女兒的年齡實在太小了，因此就關(guān)切地問道：“你懂嗎?”女兒肯定地回答道：“懂!一點也不難?！薄斑@樣抽象的概念會這樣容易懂嗎?”聽了女兒的回答，作為數(shù)學(xué)家的父親仍然放不下心，因此就追問道：“你們的老師是怎么教你們的?”女兒回答道：“女教師首先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；然后，她又讓所有的女孩子站起來，并說這是女孩子的集合；接下來，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合最后，教師問全班：大家是否都懂了?她得到

11、了肯定的答復(fù)?！憋@然，這個教師所采用的教學(xué)方法并沒有什么問題，甚至可以說相當(dāng)不錯。因此，父親就決定用以下的問題作為最后的檢驗：“那么，我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個集合?”遲疑了一會兒，女兒最終作出了這樣的回答： “不行!除非它們都能站起來!”由此可見，學(xué)生的認知發(fā)展水平正是實現(xiàn)上述目標(biāo)的一個必要條件。 從教學(xué)的角度看，比較應(yīng)被看成實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象最為重要的一個手段。從這樣的角度去分析，現(xiàn)行數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)?？梢钥吹降囊韵伦龇ú⒎鞘智‘?dāng)，因為這完全忽視了數(shù)學(xué)思維的特殊性，從而對于學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)抽象就不是很有利： “分類”的教學(xué)常常是這樣組織的：教師首先拿出事先準(zhǔn)備好的一些模塊其中不僅呈現(xiàn)

12、出了各種不同的形狀，如三角形、四邊形、圓形等，也被涂成了各種不同的顏色，它們是用一些不同的材料制成的，包括木制的、硬紙片的、塑料的等教師要求學(xué)生對這些模塊進行分類，在一般情況下學(xué)生往往會給出多種不同的分類方法，教師對此往往也會普遍地加以肯定，甚至還會積極地鼓勵學(xué)生去提出新的、更多的分類方法與此相對照，以下教學(xué)方法不僅有利于學(xué)生順利地求解所面對的“水池問題”，而且也包含了由“表層結(jié)構(gòu)”向“深層結(jié)構(gòu)”的重要過渡，達到了更高的抽象層次：“學(xué)生在解決有關(guān)往水池里注水的問題時，會認為水池一邊開進水管，一邊開出水管，不論經(jīng)過多長時間，都不會注滿水池。在教學(xué)時，教師可以不急于講解，而是引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中類似

13、的實例。(1)追及問題。客車每小時行40千米，小汽車每小時行50千米?，F(xiàn)在客車在小汽車前25千米的地方，同時沿筆直的公路行駛，多長時間小汽車能追上客車?(2)儲蓄問題。爸爸每月工資420元，媽媽每月工資300元，每月平均支出450元，余下的錢存在銀行，幾個月后能購買一臺價格1350元的電視機?通過小汽車追上客車、家庭每月收支情況的實例，學(xué)生就容易弄明白，只要進水量大于出水量，經(jīng)過一段時間水池就一定能注滿水?！?另外，為了幫助學(xué)生很好地掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，我們在教學(xué)中不僅應(yīng)當(dāng)十分重視以所謂的“非標(biāo)準(zhǔn)變式”作為“標(biāo)準(zhǔn)變式”的必要補充，而且也應(yīng)通過“概念變式”與“非概念變式”的必要對照，幫助學(xué)生切實避免或糾正各種可能的錯誤。具體地說，在通過某些具體實例引出數(shù)學(xué)概念的同時，為了防止學(xué)生將相關(guān)實例的某些特殊性質(zhì)誤認為相應(yīng)概念的本質(zhì)屬性，我們在教學(xué)中就不應(yīng)局限于平時所經(jīng)常用到的一些實例(這就是所謂的“標(biāo)準(zhǔn)變式”)，也應(yīng)當(dāng)有意識地去引人一些“非標(biāo)準(zhǔn)變式”。 例如，以下就是在教學(xué)中經(jīng)?？梢钥吹降囊恍╁e誤觀念，而學(xué)生之所以會形成這些錯誤觀念，往往就與我們在教學(xué)中所使用的只是“標(biāo)準(zhǔn)變式”有著直接的關(guān)系：角必定有一條水