淺談線性和非線性

1、淺談“線性”和“非線性”鹽城市第四中學(xué) 李芹摘 要：本文主要比較了線性和非線性的區(qū)別。在高中數(shù)學(xué)課本中提到線性與非線性，但并未詳細(xì)解釋，因此有必要作個(gè)說(shuō)明。本文首先簡(jiǎn)述了從線性到非線性的發(fā)展過(guò)程，然后探討線性與非線性的區(qū)別，最后對(duì)兩者的未來(lái)發(fā)展作了展望。關(guān)鍵詞：線性 非線性不等式是高中數(shù)學(xué)中的重要章節(jié)，其中線性規(guī)劃問(wèn)題與許多實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系緊密，有一天課堂上學(xué)生問(wèn)什么是線性??？是不是還有非線性？問(wèn)題一出，學(xué)生們立即產(chǎn)生了濃厚的興趣。對(duì)呀，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材對(duì)此并無(wú)詳細(xì)說(shuō)明，當(dāng)時(shí)我解釋說(shuō)，“線性”兩字往往代之為“一次”，如“一次方程”和“一次函數(shù)”，“二次函數(shù)”等等即為“非線性”。課后反思覺得學(xué)生一

2、定還是云里霧里，有必要講清楚，便做了一些探討，似有收獲，現(xiàn)以下文與大家共勉。線性原是數(shù)學(xué)上線性函數(shù)的簡(jiǎn)稱，是指因變量與自變量成比例地變化，或者說(shuō)變化過(guò)程中二者的比值不變的函數(shù)，線性概念就是從線性函數(shù)中抽象出來(lái)的，是線性函數(shù)特征的抽象化和泛化。近代西方科學(xué)，就是以牛頓力學(xué)為基礎(chǔ)的線性科學(xué)，線性化方法在一定條件下，可以近似地甚至準(zhǔn)確地反映客觀事物，這種線性思維把世界描述成了一個(gè)穩(wěn)定、規(guī)則、有秩序的世界。就像我們熟悉的城市，現(xiàn)代建筑的結(jié)構(gòu)體系等。20世紀(jì)下半葉，許多自然科學(xué)家在各自領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)大量不同形式的現(xiàn)象或問(wèn)題，例如風(fēng)中擺動(dòng)的旗幟、復(fù)雜不定的天氣變化等，這些迫切需要科學(xué)上得出答案，非線性科學(xué)因而產(chǎn)

3、生。它的誕生，宣布了牛頓經(jīng)典決定論的局限性，其理論作為科學(xué)的一個(gè)分支，如同量子力學(xué)和相對(duì)論一樣，將我們引入了全新的思想。另外，關(guān)于“非線性”還有個(gè)美麗的俗稱，即“蝴蝶效應(yīng)”，這源于1979年12月，洛倫茲（Lorenz）在華盛頓的美國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)的一次講演，他的結(jié)論是一只蝴蝶在巴西煽動(dòng)翅膀，有可能在美國(guó)的得克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)?？梢?，非線性不但具有大膽的想象力和迷人的美學(xué)色彩，更具有深刻的科學(xué)內(nèi)涵和豐富的哲學(xué)魅力。 中學(xué)數(shù)學(xué)可分為線性數(shù)學(xué)和非線性數(shù)學(xué)。線性方程、線性函數(shù)、線性規(guī)劃、向量和矩陣、立體幾何的點(diǎn)線面關(guān)系都是線性的。二次方程、二次函數(shù)、指數(shù)方程、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)函數(shù)，以及三角函

4、數(shù)等初等函數(shù)則是非線性的。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展來(lái)看，線性數(shù)學(xué)已經(jīng)基本成熟，非線性數(shù)學(xué)是當(dāng)今數(shù)學(xué)發(fā)展的重點(diǎn)，從線性到非線性是質(zhì)變，混沌、分形、小波等等都是非線性數(shù)學(xué)的成就。線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基礎(chǔ)課。然而，我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育里，線性數(shù)學(xué)的觀念并不強(qiáng)。究竟何為“線性”？何為“非線性”？簡(jiǎn)單講，線性指量與量之間按比例、成直線的關(guān)系，在空間和時(shí)間上代表規(guī)則和光滑的運(yùn)動(dòng)；而非線性則指不按比例、不成直線的關(guān)系，代表不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)和突變。我們說(shuō)，線性關(guān)系是互不相干的獨(dú)立關(guān)系，非線性則是相互作用，而正是這種相互作用，使得整體不再是簡(jiǎn)單地等于部分之和，而可能出現(xiàn)不同于"線性疊加"的增益或虧損

5、。如問(wèn)：兩個(gè)眼睛的視敏度是一個(gè)眼睛的幾倍？很容易想到的是兩倍，可實(shí)際是 610倍！這就是非線性：11不等于2。再比如，激光的生成就是非線性的！當(dāng)外加電壓較小時(shí)，激光器猶如普通電燈，光向四面八方散射；而當(dāng)外加電壓達(dá)到某一定值時(shí)，會(huì)突然出現(xiàn)一種全新現(xiàn)象：受激原子好像聽到“向右看齊”的命令，發(fā)射出相位和方向都一致的單色光，就是激光。具體從相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)角度來(lái)看，線性滿足了兩點(diǎn)，其一：疊加原理成立；其二：物理變量間的函數(shù)關(guān)系是直線，變量間的變化率是恒量。相應(yīng)地非線性概念就可以界定為：其，“定義非線性算符為對(duì)一些、或、不滿足的算符”，即疊加原理不成立，這意味著與間存在著耦合，對(duì)的作，等于分別對(duì)和的作外，

6、再加上對(duì)與的交叉項(xiàng)(耦合項(xiàng))的作，或者、是不連續(xù)(有突變或斷裂)、不可微(有折點(diǎn))的。其二，作為等價(jià)的另種表述，我們可以從另一個(gè)角度來(lái)理解非線性：在用于描述個(gè)系統(tǒng)的一套確定的物理變量中，一個(gè)系統(tǒng)的個(gè)變量最初的變化所造成的此變量或其它變量的相應(yīng)變化是不成比例的，換言之，變量間的變化率不是恒量，函數(shù)的斜率在其定義域中有不存在或不相等的地方，概括地說(shuō)，就是物理變量間的一級(jí)增量關(guān)系在變量的定義域內(nèi)是不對(duì)稱的?？梢哉f(shuō)，這種對(duì)稱破缺是非線性關(guān)系的最基本的體現(xiàn)，也是非線性系統(tǒng)復(fù)雜性的根源。對(duì)非線性概念的這兩種表述實(shí)際上是等價(jià)的，其疊加原理不成立必將導(dǎo)致其二物理變量關(guān)系不對(duì)稱；反之，如果物理變量關(guān)系不對(duì)稱，那么疊加原理將不成立。之所以采用了兩種表述，是因?yàn)樵诓煌膱?chǎng)合，對(duì)于不同的對(duì)象，兩種表述有各自的方便之處，如前者對(duì)于考察系統(tǒng)中整體與部分的關(guān)系、微分方程的性質(zhì)是方便的，后者對(duì)于考察特定的變量間的關(guān)系(包括變量的時(shí)間行為)將是方便的。當(dāng)然，對(duì)于線性規(guī)劃問(wèn)題，我們已有通用解法，而非線性規(guī)劃的各種算法大多有自己特定的適用范圍，都有一定的局限性，到目前為止還沒(méi)有適合于各種非線性規(guī)劃問(wèn)題的一般算法。這正是需要人們進(jìn)一步研究的課題?？傊?，線性與非線性的提法，事關(guān)數(shù)學(xué)常識(shí)，用向量處理立體幾何，使得線性數(shù)學(xué)的觀念更加深入人心。數(shù)學(xué)常識(shí)的