多面體內(nèi)切外接球問題

1、多面體內(nèi)切外接球問題如何突破此類問題是高考的熱點(diǎn)，主要考查多面體、球的結(jié)構(gòu)特征及有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的理解水平和應(yīng)用能力，考查空間想象能力、計(jì)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和分析問題解決問題的能力. 試題源于教材、高于教材，解決此類問題的關(guān)鍵是找到球心、計(jì)算出球半徑. 筆者在多年的教學(xué)中總結(jié)出解決此類問題的求解策略如下.教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生掌握“球”的體積與表面積的計(jì)算公式的同時(shí)，要幫助學(xué)生掌握“球”的接切問題如何突破. 突破點(diǎn)就是兩個(gè)知識(shí)點(diǎn).其一，球面可以看作空間中到一個(gè)定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合. 其二，用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是一個(gè)圓，圓心與球心連線、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形（垂徑關(guān)系

2、）. 關(guān)鍵點(diǎn)是怎樣幫助學(xué)生學(xué)會(huì)畫球的截面圖.高考命題專家喜歡考球面題目，是因?yàn)榍蛎骖}最能考出所謂的“空間想象能力”，球的題我們永遠(yuǎn)也畫不清楚，除非畫出截面圖，從而將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，能正確分析出圖形中的基本元素及其相互關(guān)系，而這也正是立體幾何教學(xué)的能力要求.關(guān)于球的題都比較難，解題突破點(diǎn)都是：學(xué)生要有能力看到球面就能畫出截面圖，然后尋找與球心的關(guān)系. 因此從知識(shí)層面上來說，都沒有超過我們所說的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn). 但這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)在教科書上又都是沒有的，需要教師引申、拓展. 因此高三階段在復(fù)習(xí)“球”的內(nèi)容時(shí)，需要做一個(gè)專題，球與三棱錐、球與四棱錐，球與三棱柱，球與四棱柱（長方體、正方體），球與圓柱

3、等的內(nèi)接、外切都要研究清楚.一. 掌握確定球心位置、計(jì)算球半徑的常見結(jié)論對于一些規(guī)則的多面體而言，其外接球和內(nèi)切球的球心位置或半徑都有規(guī)律可循.1. 長方體的外接球球心為體對角線的交點(diǎn)；半徑為體對角線長的一半.2. 正方體的外接球、內(nèi)切球及與各棱相切的球外接球：球心是正方體中心；半徑r=a ( a為正方體的棱長）.內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r=a ( a為正方體的棱長）.與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r=a ( a為正方體的棱長）.3. 正四面體的外接球與內(nèi)切球（正四面體可以看作是正方體的一部分）外接球：球心是正四面體的中心；半徑r=a ( a為正四面體的棱長）.內(nèi)切球：球心是

4、正方體中心；半徑r=a ( a為正四面體的棱長）.4. 正棱柱、圓柱的外接球和內(nèi)切球外接球和內(nèi)切球的球心在上、下底面中心連線的中點(diǎn)處 .5. 正棱錐的外接球正棱錐的外接球的球心在其頂點(diǎn)和底面中心的連線上，設(shè)正棱錐的底面四邊形外接圓半徑為r，高為h，則其外接球半徑R=, R2 = r2 +（h - R)2 .對于一般不規(guī)則的外接球球心不好找，放到長方體中不失為一種很好的方法！2. 確定球心位置、計(jì)算球半徑的特殊方法對于某些特殊形狀的多面體，有一些巧妙的方法來解.1. 若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則可將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，長方體的對角線長度、中點(diǎn)即為該外接球的直徑、球心.2. 另一種特殊

5、三棱錐也可補(bǔ)成長方體，如三棱錐D-中，與平面垂直，與垂直，可構(gòu)圖求之3. 正四面體也可補(bǔ)成正方形（如圖）正四面體的棱長為，則正方體的棱長為，外接球的棱長為4. 一般四面體外接球可找相鄰面，過外心與相應(yīng)面垂直的垂線交點(diǎn)即為外接球球心例1. 已知三棱錐P-ABC的正視圖和俯視圖如圖所示，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）A. 4 B. 12 C. D. 例2. 如圖四面體A-BCD中，平面BD平面BCD，若四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為（ ）A. B. 3 C. D. 2例3. 在菱形ABCD中, A=600 ，AB，將ABD沿BD折起到PBD的位置,若二面角P-BD-C的大小為 ，則三棱錐

6、P-BCD的外接球體積為 例4.一個(gè)棱長為的正四面體內(nèi)部有一個(gè)任意旋轉(zhuǎn)的正方體，當(dāng)正方體的棱長取得最大值時(shí)，正方體的外接球的表面積是（ ）A. B. C. D. 練習(xí)：. 2009 年新課標(biāo)I·理科第15 題（5 分）直三棱柱ABCA1B1C1 的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120°，則此球的表面積等于_ 答案為：202. 2010 年新課標(biāo)I·理科第10 題（5 分）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）3. 2011 年新課標(biāo)I·理科第15 題（5 分）（5 分）已知矩形ABC

7、D 的頂點(diǎn)都在半徑為4 的球O 的球面上，且AB=6，BC=2 ，則棱錐 OABCD的體積為 答案：8 4. 2012 年新課標(biāo)I·理科第11 題（5 分） 已知三棱錐SABC 的所有頂點(diǎn)都在球O 的表面上，ABC 是邊長為1 的正三角形，SC 為球O 的直徑，且SC=2，則此三棱錐的體積為（ ） 5. 62015 年新課標(biāo)I·理科第11 題（5 分） 圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為16+20，則r=（ ）A1 B2 C4 D8 答案： 選B72016 年新課標(biāo)I·理科第6 題（5 分） 如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑若該幾何體的體積是 ，則它的表面積