人教版選修21拋物線拋物線的幾何性質(zhì)講義

1、案例(二)精析精練課堂 合作 探究重點(diǎn)難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn) 拋物線的幾何性質(zhì)(1)范圍:因?yàn)?，將方程變?yōu)?，知，由此可知，拋物線上的點(diǎn)在軸上或在軸的右側(cè)(不可能在軸的左側(cè))，當(dāng)增大時(shí)，也隨之增大，開口向右并且向右上方和右下方無限伸展。 (2)對稱性 將拋物線中的用代替，方程不變，說明拋物線關(guān)于軸對稱(結(jié)合圖形也可看出)。拋物線的對稱軸也叫做拋物線的軸。 (3)頂點(diǎn) 在方程中，令，得，(0，0)點(diǎn)是拋物線與它的對稱軸(即軸)的交點(diǎn)，我們把拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。由此可見，拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)。 (4)離心率和開口方向 拋物線的離心率：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物

2、線的離心率，仍用表示。由拋物線的定義易知拋物線的離心率。利用可以將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，將距離只用點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))來表示，使問題得以簡化。 拋物線的開口方向:拋物線開口向右；開口向左；開口向上；開口向下。 拋物線的開口大?。涸趻佄锞€中，對于同一個(gè)值，越大，也越大，也就是說拋物線的開口也越大。 給出各種標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線方程，能熟練說出開口方向、燕點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程、對稱軸；反過來，要能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，求出拋物線的方程。看到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要判斷拋物線的對稱軸和開口方向。 四種形式的拋物線的幾何性質(zhì)對比如下: 標(biāo)準(zhǔn)方程圖象性質(zhì)焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍軸軸頂點(diǎn)離心率開口方

3、向向右向左類型圖象類型性質(zhì)焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對稱軸軸頂點(diǎn)離心率開口方向向上向下典型例題分析題型1 拋物線的幾何性質(zhì)應(yīng)用【例1】 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，且與圓相交的公共弦長等于，求這條拋物線的方程。解析 因?yàn)閳A和拋物線都關(guān)于軸對稱，所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于軸對稱，即公共弦被軸垂直平分，于是由弦長等于，可知交點(diǎn)織坐標(biāo)為。答案 設(shè)所求拋物線方程為或。設(shè)交點(diǎn)則，即，由對稱性知:代入上式得。把代入，得，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上，或上，所以拋物線方程為或。規(guī)律總結(jié) 從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個(gè)待定系數(shù)；而從實(shí)際分析，一般需確定和確定開口方向兩個(gè)條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論?！咀兪?/p>

4、訓(xùn)練1】已知拋物線的一個(gè)內(nèi)接三角形的一頂點(diǎn)在原點(diǎn)，三條高線都通過拋物線的焦點(diǎn)，求這個(gè)三角形的外接圓的方程。答案 由題意，三條高都通過拋物線的焦點(diǎn)，則此三角形為以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，如圖。設(shè)，則。 ， ， 又。 。 設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，的中垂線方程為：，當(dāng)時(shí)，外接圓圓心坐標(biāo)為，由正弦定理：，外接圓方程：。 題型2 拋物線的焦點(diǎn)弦問題 【例2】 如圖，過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，求。 解析 設(shè)直線的方程，由直線方程和拋物線方程可得到，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再根據(jù)坐標(biāo)的意義和平面幾何中相似三角形的知識(shí)就很容易求出。答案 直線的傾斜角為，且過焦點(diǎn)，可設(shè)直線。將代入上

5、面的方程，得解得 。點(diǎn)在軸上方，。規(guī)律總結(jié) 由直線方程和曲線方程化為關(guān)于的二次方程比化為關(guān)于的二次方程要好，一是化簡的計(jì)算簡便，二是更容易得出比值?！咀兪接?xùn)練2】 過拋物線的焦點(diǎn)作不垂直于對稱軸的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于，求證:。答案 設(shè)拋物線方程為，的中點(diǎn)為，則。兩式相減并整理得。是的中點(diǎn)，。直線的方程為。令得點(diǎn)的橫坐標(biāo)。又，。題型3 拋物線的最值問題【例3】 試在拋物線上求一點(diǎn)，使到點(diǎn)與到焦點(diǎn)的距離之和最小。解析 如圖所示，易知點(diǎn)在拋物線內(nèi)，由拋物線定義知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，故問題由原來的求最小，轉(zhuǎn)化為求最小，由平面幾何知識(shí)有移動(dòng)到位置，使三點(diǎn)共線時(shí)值變?yōu)樽?/p>

6、小值，此時(shí)的點(diǎn)即為所求。 答案 由已知易得點(diǎn)在拋物線內(nèi)，準(zhǔn)線方程，如圖，過作準(zhǔn)線于，直線交拋物線于，則為滿足題設(shè)的最小值。因?yàn)檩S，坐標(biāo)為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為。又因點(diǎn)在拋物線上，所以即為所求點(diǎn)，此時(shí)最小值為。規(guī)律總結(jié) 本題在解答過程中，充分運(yùn)用了拋物線的定義，在定義的應(yīng)用中將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(或焦點(diǎn))的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)的距離，是一種常用方法。 【變式訓(xùn)練3】 為拋物線上的動(dòng)弦，且(為常數(shù)且)，求弦的中點(diǎn)離軸的最近距離。答案 如右圖，設(shè)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，三點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為，。由拋物線的定義，。，又是線段的中點(diǎn)，。等號(hào)成立的條件是三點(diǎn)共線，即為焦點(diǎn)弦。最近距離為。 【例4】 已知

7、定點(diǎn)，試在拋物線上求一點(diǎn)，使得最小。 解析 在拋物線上任取一點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出，這樣可得到關(guān)于的函數(shù)，然后對這個(gè)函數(shù)進(jìn)行探討。 答案 設(shè)拋物線上任一點(diǎn)為，則有， 。(1)當(dāng)時(shí)，使最小，則； (2)當(dāng)時(shí)，使最小，則。 規(guī)律總結(jié) 在含有參數(shù)時(shí)，要注意對參數(shù)不同取值進(jìn)行討論。 【變式訓(xùn)練4】 拋物線上的點(diǎn)與直線的最短距離為1，求的值。答案 設(shè)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，其到直線的距離為，則。由的判別式得；由得，故由題意應(yīng)有，解得。題型4 與拋物線有關(guān)的定理問題【例5】 已知、是拋物線上的兩點(diǎn)，且。(1)求、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積。(2)求證直線過定點(diǎn)。解析 本題題干較為簡單，由可得等

8、量關(guān)系，可求、兩點(diǎn)橫、織坐標(biāo)之積，寫出直線的參數(shù)方程可得其所過定點(diǎn)。答案 設(shè)，(1)， ，。(2)，直線，。，過定點(diǎn)。方法指導(dǎo) 對于拋物線過焦點(diǎn)的弦，其與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，在求證直線過定點(diǎn)時(shí)，一般是先寫出直線方程，再確定所過的點(diǎn)?！咀兪接?xùn)練5】 已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)。求證:(1)為定值；(2)為定值。解析 應(yīng)用拋物線的定義及直線與拋物線的知識(shí)來轉(zhuǎn)化。答案 (1)拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為。由消去，得。由根與系數(shù)的關(guān)系得五=(定值（定值）。當(dāng)軸時(shí)，也成立。(2)由拋物線的定義知，。（定值）。當(dāng)軸時(shí)，上式成立。規(guī)律 方法 總結(jié) 1.拋物線的離心率為，應(yīng)區(qū)別于橢圓

9、的離心率，雙曲線的離心率為。 2.解決與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的關(guān)健在于充分利用拋物線的定義，并從幾何角度進(jìn)觀察分析，找到簡捷的解題方法。3.求有關(guān)拋物線的最值問題常見的方法：方法一:建立函數(shù)模型，利用函數(shù)性質(zhì)求最值；方法二:利用數(shù)形結(jié)合先確定取得最值時(shí)的情形，進(jìn)而求出最值。定時(shí) 鞏固 檢測基礎(chǔ)訓(xùn)練1.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，則拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是 （ ）A. B. C. D.【答案】D(點(diǎn)撥:拋物線的頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最短。)2.若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A. B.C. D.【答案】B(點(diǎn)撥：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4)3.已知正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)、在拋物線上，且的面積等于，則拋物線的方程是（ ）A. B.C. D.【答案】A(點(diǎn)撥:由條件及對稱性知，即，故有。)4.拋物線上有一點(diǎn)，它到焦點(diǎn)的距離等于4，求與的值?！敬鸢浮?由題意得，且5.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的拋物線截直線所得的弦長，求拋物線的方程。【答案】 設(shè)拋物線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或-6，或。能力提升6.拋物線上到直線的距離最短的點(diǎn)坐標(biāo)是( )A. B（1，1） C. D.(2，4)【答案】B(點(diǎn)撥:用切線平移法處理)7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于，過拋物線上點(diǎn)作于，則梯形的面積是( )A.18 B.16 C.14 D.12【