二階RLC諧振電路的研究

1、（1）下圖所示為二階RLC串聯(lián)電路，當(dāng)外加正弦電壓源的為某一個(gè)頻率時(shí)，端口阻抗呈現(xiàn)為純電阻性，稱電路對(duì)外加信號(hào)頻率諧振。諧振角頻率為。,理論值：v=1V， i=1/R,，vL=j10k×0.001×i，vC=-vL，vR=iRR=5時(shí)，vL=12.56V,vC=-12.56V,vR=1VR=10時(shí)，vL=6.28V,vC=-6.28V,vR=1VR=20時(shí)，vL=3，14V,vC=-3.14V,vR=1VvL=90º，vC=-90º，vR=0º仿真：（2）諧振時(shí)，電感或電容上的電壓有效值與電阻有效值的比值等于Q稱為電路的品質(zhì)因數(shù)，又稱為Q值。Q

2、值有明顯的物理意義，它反映了電路在諧振時(shí)存儲(chǔ)能量與消耗能量的比值。試用下述定義計(jì)算諧振時(shí)電路Q值。推導(dǎo)過程如下：（3）分析此二階電路固有響應(yīng)形式與Q值關(guān)系：Q>1/2：欠阻尼；Q=1/2:臨界阻尼；Q<1/2:過阻尼仿真電路如圖：下圖為R=5，10，20情況下, VR的階躍響應(yīng)：（4）正弦穩(wěn)態(tài)電路的頻率特性用輸出相量與輸入相量的比值來表示，稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。例如，對(duì)圖中電阻電壓輸出，可以寫出電壓比當(dāng)信號(hào)頻率變化時(shí)，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅度和相位隨之變化，分別稱為電路的幅度頻率特性和相位頻率特性。該電路的AC頻率特性是帶通特性，使一部分頻率的信號(hào)通過而抑制了其他頻率的信號(hào)。 下圖為帶通特性曲線。，

3、（5）在幅度頻率特性曲線中，幅度下降為最大值的倍對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頻率之間的頻率差稱為通帶寬度。R值ff0/fQ值58366Hz1.1912.59109159Hz1.096.292010077Hz0.993.15由仿真數(shù)據(jù)可知，隨著R的增加，帶寬增加而Q值下降.Q值越大，電路的頻率選擇性越好。（6）設(shè)輸入電壓中有兩個(gè)頻率成分 f1=10kHz和f2=20kHz，有效值均為1V，在上述給定電路中：(a) 要求輸出電壓中f2 頻率成分有效值小于0.1V ，則R的最大值是10.489.計(jì)算過程：此時(shí)輸出電壓的頻率應(yīng)與f1=10kHz相等，即T=0.1ms.仿真電路如圖：EWB仿真波形圖如下（R=10）：(b

4、) 若R值不變, 要求輸出電壓中f1成分被抑制掉，應(yīng)該如何獲取輸出電壓？因?yàn)殡娐芬鬄V掉諧振頻率，所以設(shè)計(jì)該輸出的AC頻率特性為帶阻特性。此時(shí)輸出電壓的頻率應(yīng)與f2=20kHz相同，即T=0.05ms.仿真電路如圖：得到的波形圖如下：RLC串聯(lián)電路如圖-1所示。改變電源頻率或在特定條件下改變電路參數(shù)，可使XL=XC,這時(shí)電路發(fā)生串聯(lián)諧振。諧振頻率為0= ,它由電路參數(shù)L和C決定。如果電源的頻率一定，可以通過調(diào)節(jié)L或C的大小來實(shí)現(xiàn)諧振。諧振后的RLC串聯(lián)電路中的：阻抗是最小的：Z=R   (XL=XC0)；     

5、    電流是最大的：I0= , I0稱為諧振電流；電流與電壓同相位：=arctg=0。周紹敏主編的職業(yè)高中電工基礎(chǔ)教材中對(duì)以上諸點(diǎn)都做了詳細(xì)的論述。但對(duì)諧振電壓是否為電壓極大值的問題并未涉及。因此容易將學(xué)生帶入一個(gè)誤區(qū)認(rèn)為不論電路參數(shù)如何，只要RLC電路處于諧振狀態(tài)時(shí)，電感、電容兩端的電壓就是極大值。筆者對(duì)此問題略有薄見。其實(shí)RLC串聯(lián)電路諧振時(shí)，電感、電容兩端的電壓達(dá)到最大值的頻率是偏離了諧振點(diǎn)頻率的。這是因?yàn)橹C振時(shí)：   XL = XC，于是有：UL = UC = I0XC = I0XL  

6、0; 且  U = I0Z = I0R = UR即電路的總電壓等于電阻R上的電壓降。如果電路參數(shù)滿足XL=XC R 的條件，則各元件兩端電壓的關(guān)系是：UL = UC  UR = U于是出現(xiàn)電路的局部電壓大于電源電壓U的現(xiàn)象，甚至大出許多倍。RLC串聯(lián)電路諧振時(shí)電感和電容兩端的電壓有效值分別為：UL0 = I0XL =0L = . = .UC0 = I0XC = . = . = 令Q = . ,則UL0 = UC0 = QU 。    上式表明、RLC串聯(lián)電路諧振時(shí)，電感與電容兩端電壓的有效值相等，且為總電

7、壓有效值的Q倍。Q值由電路參數(shù)R、L、C決定，稱為RLC串聯(lián)電路的品質(zhì)因素。一般Q可達(dá)100左右。Q的意義在于表示諧振時(shí)L或C元件上的電壓是電源電壓的多少倍。它是諧振電路的一個(gè)重要指標(biāo)。由于Q =  =  =  (其中為諧振角頻率)所以線圈的電阻R越小,電路消耗的能量也越少,則表示電路品質(zhì)好,品質(zhì)因數(shù)高；若線圈的電感L越大，儲(chǔ)存的能量也就越多，而損耗一定時(shí)，同樣也說明電路品質(zhì)好，品質(zhì)因數(shù)高。Q值越大，關(guān)于i的曲線就越尖銳，諧振電路的選頻性能就越好。那么RLC串聯(lián)電路諧振時(shí)，電感與電容兩端電壓到底在什么情況下獲極大值呢？可從以下幾個(gè)方面

8、進(jìn)行分析:一、電路參數(shù)R、L、C一定，調(diào)節(jié)電源角頻率：我們知道RLC串聯(lián)電路的：阻抗為： Z =  =   電流的有效值為：I =  = 電感兩端的電壓為：UL = IXL =  .(1)看來UL是的函數(shù)。用求極值的方法，可求出UL的極大值。令=0，則有：=  = 0可得：=L=>0即電感元件兩端的電壓在諧振點(diǎn)之后獲得極大值。    進(jìn)一步的計(jì)算可得 < 0，所以 UL在=L時(shí)取的是極大值。由L = 可知： 當(dāng)1->0，即Q&g

9、t;,且=L時(shí)，電感兩端的電壓達(dá)極大值。將L代入（1）式可得極大值ULm為：         ULm =  = 同理電容兩端的電壓為:Uc = IXc = . .(2)Uc是的函數(shù).將Uc對(duì)求導(dǎo),并令=0,由此可得到使Uc為最大值的角頻率為:C  = 0  <0，即電容元件兩端的電壓在諧振點(diǎn)之前獲得極大值。進(jìn)一步的計(jì)算可得 < 0，所以 UC在=C時(shí)取的是極大值。由C  = 0  可知： 當(dāng)1-

10、>0，即Q>,且=L時(shí)，電容兩端的電壓達(dá)極大值。將C代入（2）式可得極大值UCm為：         UCm=二、電源角頻率0、電路參數(shù)R、C一定，調(diào)節(jié)電感使UL最大：由式UL = IXL = 可知 ，UL 也是電感L的函數(shù)，將UL對(duì)L求導(dǎo)，并令=0，則有：=  = 0可得使UL為最大值的電感量為：L =  = R2C +  而諧振時(shí)，由于L=，故可得諧振電感為LQ=。顯然L>LQ，說明電感元件兩端的電壓在諧振點(diǎn)之后獲得極大值。

11、與調(diào)節(jié)角頻率得到的結(jié)論相符。三、電源角頻率0、電路參數(shù)R、L一定，調(diào)節(jié)電容使Uc最大：由式Uc = IXc = . 可知，Uc是C的函數(shù)，將Uc對(duì)C求導(dǎo)，并令=0，可得使Uc為最大值的電容量為：C = 而諧振時(shí)，由于L=，故可得諧振電容為CQ = 。顯然C<CQ ，說明電容元件兩端的電壓在諧振點(diǎn)之前獲得極大值。與調(diào)節(jié)角頻率得到的結(jié)論相符。由以上分析可以得出結(jié)論：1.在RLC串聯(lián)電路中，如果Q >，則電感元件兩端電壓在角頻率L=>0時(shí)，即在諧振點(diǎn)之后獲極大值為：ULm= > QU 。2.在RLC串聯(lián)電路中，如果Q >，則電容元件兩端電壓          在角頻率C=0 < 0時(shí)，,即在諧振點(diǎn)之前獲極大值為：UCm =  > QU 。3.在L=，C=0 的表達(dá)式中，如果電路&