人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)圓242 點(diǎn)和圓直線和圓的位置的關(guān)系切線長(zhǎng)定理講義

1、合作探究探究點(diǎn)1 直線與圓的三種位置關(guān)系及實(shí)際應(yīng)用知識(shí)講解 (1)直線和圓的三種位置關(guān)系:相離:一條直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn).相切: 一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).相交:一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交,這條直線叫做圓的割線.(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系:設(shè)的半徑為,圓心到直線的距離為.直線和相交；直線和相切；直線和相離.注意 要判斷一條直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法:一看直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);二看圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關(guān)系.典例剖析例1 如下圖，在中，以為圓心，為半徑的圓與直線有何位置關(guān)系？為什么？（1）

2、；（2）；（3）.解析 過(guò)作,垂足為，求出的長(zhǎng)，比較與的大小即可判斷與直線的位置關(guān)系.答案 如圖，過(guò)作于.在中，則.又,所以.即,所以.（1） 當(dāng)時(shí)，與直線相離.（2） 當(dāng)時(shí)，與直線相切.（3） 當(dāng)時(shí)，與直線相交.類(lèi)題突破1 的半徑為，圓心到直線的距離為，且是方程的兩根，則直線為的位置關(guān)系是_.答案 相交或相離點(diǎn)撥 方程的兩根為，或.當(dāng)時(shí)，直線為相交；當(dāng)時(shí)，直線為相離.探究點(diǎn)2 切線的判定定理知識(shí)講解（1） 定理 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（2） 在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中明確指出圓與直線公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線.典型剖析

3、例2 如下圖，是的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在圓上，直線是的切線嗎？為什么？解析 運(yùn)用切線的判定方法，連接，說(shuō)明答案 如圖，連接是的直徑，且，即為等邊三角形，又.根據(jù)經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線可知直線是的切線.規(guī)律總結(jié) 若已知一直線經(jīng)過(guò)圓上某一點(diǎn)，那么連接這點(diǎn)和圓心，說(shuō)明該直線與半徑垂直即可判定該直線與圓相切.類(lèi)題突破2 如下圖，為平分線上一點(diǎn)，于、為圓心、為半徑作.求證：與相切.答案 如圖，過(guò)作于.又為平分線上一點(diǎn)，,即點(diǎn)到的距離等于的半徑.與相切.點(diǎn)撥 如果不知直線與圓有無(wú)公共點(diǎn)，則過(guò)圓心作已知直線的垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑，從而證明直線為圓的切線.這是證明切線的另一

4、種情形.要證與相切，只需證明點(diǎn)到的距離等于半徑即可.探究點(diǎn)3 切線的性質(zhì)定理知識(shí)講解(1)切線的性質(zhì)圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn).經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下:如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿(mǎn)足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是:a.直線過(guò)圓心;b.直線過(guò)切點(diǎn);c.直線與圓的切線垂直.典例剖析例3 如下圖,是的直徑,為上一點(diǎn)，和過(guò)點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為,求證:平分.解析 是的切線，連接，則,再結(jié)合,問(wèn)題即可解決.答案 如圖，連接. 是的切線,又，,即平分.類(lèi)題突破3 如圖，是的兩條切線，是切點(diǎn)，連接，與直線交

5、于,請(qǐng)你根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，寫(xiě)出中的三個(gè)正確的結(jié)論.結(jié)論（1）：_;結(jié)論（2）：_;結(jié)論（3）：_;答案 （1）是等腰三角形 （2）是軸對(duì)稱(chēng)圖形 （3）平分（4）垂直平分線段等（只寫(xiě)三個(gè)即可）點(diǎn)撥 根據(jù)切線定理和等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，即可得到結(jié)論.探究點(diǎn)4 切線長(zhǎng)定理知識(shí)講解圓的切線長(zhǎng):定義:經(jīng)過(guò)圓外-點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角，注意:切線長(zhǎng)不是切線的長(zhǎng)度，圓的切線是直線，無(wú)法度量長(zhǎng)度.典例剖析例4 如下圖所示，是的切線，切于點(diǎn),交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若,試求的周長(zhǎng).解析

6、 過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線很容易得出,求的周長(zhǎng)也就轉(zhuǎn)化為求的長(zhǎng).答案 根據(jù)切線長(zhǎng)定理,所以的周長(zhǎng)為類(lèi)題突破4 如圖所示，四邊形的邊和分別相切于點(diǎn).求證：答案 因?yàn)槎寂c相切，是切點(diǎn)，所以所以,即點(diǎn)撥 直接利用切線長(zhǎng)定理，得出，進(jìn)而得出結(jié)論.探究點(diǎn)5 三角形的內(nèi)切圓知識(shí)講解與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn).注意 任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形.典例剖析例5 如圖所示，已知的內(nèi)心為點(diǎn),求的大小.解析 此例容易混淆了內(nèi)心和外心的概念，把點(diǎn)當(dāng)成了的外心

7、,要注意把內(nèi)心和外心這兩個(gè)概念區(qū)分開(kāi)來(lái):三角形的內(nèi)心是三角形的內(nèi)切圓的圓心，它是三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，三角形的外心是三角形的外接圓的圓心，它是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)。答案 因?yàn)辄c(diǎn)為的內(nèi)心，所以,所以.又因?yàn)椋?所以.類(lèi)題突破5 如右圖所示，是的內(nèi)切圓，為三個(gè)切點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（ ）A. B. C. D.答案 A重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)1 直線和圓的位置關(guān)系的判定及性質(zhì)設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為,直線和相交，直線和 相切，直線和相離.(1)“”左邊是直線和圓的位置關(guān)系，右邊是圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系;(2)直線和圓的位置關(guān)系和圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的;

8、(3)從左邊推出右邊是直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)，從右邊推出左邊是直線和圓的位置關(guān)系的判定.例1 已知的圓心到直線上一點(diǎn)的距離等于的半徑，則直線和的位置關(guān)系是_.解析 要判斷直線和的位置關(guān)系，必須先弄清的圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，此題有兩個(gè)可能:一是直和相切;二是直線和相交.答案 相切或相交易錯(cuò)警示 區(qū)分開(kāi)的長(zhǎng)度不一定是圓心到直線的距離.類(lèi)題突破1 在 中，為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），的半徑，則在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，直線與相交?相切?相離?思路圖示 過(guò)圓心作垂線計(jì)算OD的長(zhǎng)比較OD的長(zhǎng)與r的大小關(guān)系結(jié)論答案 如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則.當(dāng)，即時(shí)，直線與相交；當(dāng)，即時(shí)，直線與相切；當(dāng)，即時(shí)，直線與相

9、離.重難點(diǎn)2 切線的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用(1)在應(yīng)用判定定理時(shí)注意:切線必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件: (i)經(jīng)過(guò)半徑的外端;(ii)垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線，切線的判定定理實(shí)際上是從“圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切”這個(gè)結(jié)論直接得出來(lái)的，在判定條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”;當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”。(2) 在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)應(yīng)注意:切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)

10、;圓心到切線的距離等于半徑;經(jīng)過(guò)圓心并垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn);經(jīng)過(guò)切點(diǎn)并垂直于切線的直線必過(guò)圓心.例2 如圖所示，已知中，以為直徑作，交于，交于，過(guò)作于.（1） 求證：是的切線；（2） 求四邊形的面積.解析 （1）由題意知，與有公共點(diǎn)，故只需證即可.（2)用,得.答案 (1)如圖，連接.是的直徑，.又，又.又.即是的切線.（2）在中,.設(shè),則,即，解得規(guī)律總結(jié)在切線的三種判定方法中，常用的有兩種;當(dāng)題目中未出現(xiàn)直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，一般過(guò)圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑;當(dāng)題目中出現(xiàn)了公共點(diǎn)時(shí)，往往連接該點(diǎn)與圓心，證明這條半徑與直線垂直即可，類(lèi)題突破2 直線切于點(diǎn),為的任一條直徑，點(diǎn)

11、在直線上，且與不在同一條直線上),畫(huà)出圖形，試判斷四邊形是怎樣的特殊四邊形，證明你所得到的結(jié)論。答案 如圖(1)，當(dāng)與直線不平行時(shí)，四邊形是直角梯形證明如下:在中,又，與直線相切于點(diǎn)，又與直線不平行，四邊形為直角梯形.如圖(2),當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，證明如下:同(1)可證得.，四邊形為矩形，又,四邊形為正方形.點(diǎn)撥 本題可根據(jù)題意先畫(huà)出與它的切線,再畫(huà)直徑,最后根據(jù)來(lái)確定點(diǎn)的位置，在探索四邊形的形狀時(shí)，可轉(zhuǎn)動(dòng)直徑,畫(huà)出幾個(gè)不同位置的圖形進(jìn)行觀察和猜想，發(fā)現(xiàn)在一般情況下，四邊形是直角梯形，而當(dāng)時(shí)，四邊形就變成了正方形，所以在解題時(shí)須分兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論。重難點(diǎn)3 切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用(1)切線長(zhǎng)

12、要與切線區(qū)別開(kāi)，切線是直線，不可以度量;切線長(zhǎng)是切線上一條線段的長(zhǎng)，可以度量，不要理解為切線長(zhǎng)就是切線的長(zhǎng)度.(2)經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)，可以作兩條直線與該圓相切.(3)切線長(zhǎng)的性質(zhì)與切線的性質(zhì)聯(lián)系非常密切，切線的所有性質(zhì)仍然適合切線長(zhǎng).(4)切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論:垂直關(guān)系三處;全等關(guān)系三對(duì);弧相等關(guān)系兩對(duì),在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到.例3 如圖，都為的切線，切點(diǎn)分別為，則（1）求的周長(zhǎng)；（2）求的度數(shù).解析 (1)根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到,于是得到,即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到,即可得到結(jié)論.答案 (1)都為O的切線，即的周長(zhǎng)為12.(2)如圖，連接OF.分別切

13、0于A、B、F三點(diǎn)，類(lèi)題突破3 如圖所示，為外一點(diǎn),切于切于是直徑,請(qǐng)問(wèn):與平行嗎?為什么?答案 平行，理由:連接AB交OP于D.為的切線，是直徑，,易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1 判斷直線和圓的位置關(guān)系時(shí)出錯(cuò)例1 的圓心到直線的距離為,的半徑為,若,是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則直線和的位置關(guān)系是_.錯(cuò)解 相交錯(cuò)因 分析產(chǎn)生錯(cuò)解的原因是判斷直線和圓的位置關(guān)系時(shí)考慮問(wèn)題不全面，求出一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以判斷相交，而沒(méi)有考慮到,的值有兩種情況.正解 相交或相離糾錯(cuò)心得 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要注意分類(lèi)討論，對(duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行正確判斷.易錯(cuò)點(diǎn)2 對(duì)三角形的外心、內(nèi)心、垂心的概念混淆而導(dǎo)致出錯(cuò)例2  在中，若，點(diǎn)分別為的內(nèi)心外心、垂心時(shí)，則的度數(shù)分別為_(kāi).錯(cuò)解  80°,80°,80°錯(cuò)因分析 不能正確理解三角形的外心、內(nèi)心、垂心的概念，正解  110°,80°,140° 糾錯(cuò)心得 要注意三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心;三條邊垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心;三條高線的交點(diǎn)叫做三角形