二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)與最值問題

1、一、二次函數(shù)中的最值問題：例1：在平面直角坐標(biāo)系中，全等的兩個(gè)三角形RtAOB與Rt AOC如圖放置，點(diǎn)B、C 的坐標(biāo)分別為（1，3），（0，1），BO 與A C相交于D,若AOC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90至AOC，如圖所示（1）若拋物線過C、 A、A，求此拋物線的解析式及對(duì)稱軸； y=-x2+2x+3（2）、若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線線上的一動(dòng)點(diǎn)，問P在何處時(shí)AP A的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)。（3）、設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為N,在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使 AAN與 AAP的面積相等?,若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。例 2、（2012攀枝花）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO

2、y中，四邊形ABCD是菱形，頂點(diǎn)ACD均在坐標(biāo)軸上，且AB=5，sinB=（1）求過ACD三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）記直線AB的解析式為y1=mx+n，（1）中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c，求當(dāng)y1y2時(shí)，自變量x的取值范圍；（3）設(shè)直線AB與（1）中拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，P點(diǎn)為拋物線上AE兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，PAE的面積最大？并求出面積的最大值解答：解：（1）四邊形ABCD是菱形，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；RtOCD中，OC=CDsinD=4，OD=3；OA=ADOD=2，即：A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）、D（3，0）；設(shè)拋物

3、線的解析式為：y=a（x+2）（x3），得：2（3）a=4，a=；拋物線：y=x2+x+4（2）由A（2，0）、B（5，4）得直線AB：y1=x；由（1）得：y2=x2+x+4，則：，解得：，；由圖可知：當(dāng)y1y2時(shí)，2x5（3）SAPE=AEh，當(dāng)P到直線AB的距離最遠(yuǎn)時(shí)，SABC最大；若設(shè)直線LAB，則直線L與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)為點(diǎn)P；設(shè)直線L：y=x+b，當(dāng)直線L與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x+b=x2+x+4，且=0；求得：b=，即直線L：y=x+；可得點(diǎn)P（，）由（2）得：E（5，），則直線PE：y=x+9；新 課 標(biāo) 第一網(wǎng)則點(diǎn)F（，0），AF=OA+OF=；PAE的

4、最大值：SPAE=SPAF+SAEF=（+）=綜上所述，當(dāng)P（，）時(shí)，PAE的面積最大，為針對(duì)訓(xùn)練：1、（2013宜賓）如圖，拋物線y1=x21交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，將此拋物線向右平移4個(gè)單位得拋物線y2，兩條拋物線相交于點(diǎn)C（1）請(qǐng)直接寫出拋物線y2的解析式；（2）若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足CPA=OBA，求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在第四象限內(nèi)拋物線y2上，是否存在點(diǎn)Q，使得QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及h的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由解答：解：（1）拋物線y1=x21向右平移4個(gè)單位的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），所以，拋物線y2的解析式為y2=

5、（x4）21；（2）x=0時(shí)，y=1，y=0時(shí)，x21=0，解得x1=1，x2=1，所以，點(diǎn)A（1，0），B（0，1），OBA=45，聯(lián)立，解得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），CPA=OBA，點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時(shí)，坐標(biāo)為（1，0），在點(diǎn)A的右邊時(shí)，坐標(biāo)為（5，0），所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（5，0）；（3）存在點(diǎn)C（2，3），直線OC的解析式為y=x，設(shè)與OC平行的直線y=x+b，聯(lián)立，消掉y得，2x219x+302b=0，當(dāng)=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值，此時(shí)x1=x2=（）=，此時(shí)y=（4）21=，存在第四象限的點(diǎn)Q（，），使得QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值，

6、此時(shí)=19242（302b）=0，解得b=，過點(diǎn)Q與OC平行的直線解析式為y=x，令y=0，則x=0，解得x=，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為E，則E（，0），過點(diǎn)C作CDx軸于D，根據(jù)勾股定理，OC=，則sinCOD=，解得h最大=2、如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求拋物線的解析式；（2）試探究的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)是線段下方的拋物線上一點(diǎn)，求的面積的最大值，并類型一、最值問題：類型一、最值問題：（2013瀘州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，），已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過三點(diǎn)A、B、O（O為原

7、點(diǎn)）（1）求拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)C，使BOC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如果點(diǎn)P是該拋物線上x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由（注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào)）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題3338333分析：（1）直接將A、O、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式的一般式，可求解析式；（2）因?yàn)辄c(diǎn)A，O關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接AB交對(duì)稱軸于C點(diǎn)，C點(diǎn)即為所求，求直線AB的解析式，再根據(jù)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，求縱坐標(biāo)；（3）設(shè)P（x，y）（2x0，y0），用割補(bǔ)法可表示PAB的面積，

8、根據(jù)面積表達(dá)式再求取最大值時(shí)，x的值解答：解：（1）將A（2，0），B（1，），O（0，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c（a0），可得：，解得：，故所求拋物線解析式為y=x2x；（2）存在理由如下：如答圖所示，y=x2x=（x+1）2+，拋物線的對(duì)稱軸為x=1點(diǎn)C在對(duì)稱軸x=1上，BOC的周長(zhǎng)=OB+BC+CO；OB=2，要使BOC的周長(zhǎng)最小，必須BC+CO最小，點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于直線x=1對(duì)稱，有CO=CA，BOC的周長(zhǎng)=OB+BC+CO=OB+BC+CA，當(dāng)A、C、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C為直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，BC+CA最小，此時(shí)BOC的周長(zhǎng)最小設(shè)直線AB的解析式為y=kx+t，則

9、有：，解得：，直線AB的解析式為y=x，當(dāng)x=1時(shí)，y=，所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）；（3）設(shè)P（x，y）（2x0，y0），則y=x2x 如答圖所示，過點(diǎn)P作PQy軸于點(diǎn)Q，PGx軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AFPQ軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BEPQ軸于點(diǎn)E，則PQ=x，PG=y，由題意可得：SPAB=S梯形AFEBSAFPSBEP=（AF+BE）FEAFFPPEBE=（y+y）（1+2）y（2+x）（1x）（+y）=y+x+ 將代入得：SPAB=（x2x）+x+=x2x+=（x+）2+當(dāng)x=時(shí)，PAB的面積最大，最大值為，此時(shí)y=+=，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）類型二、探索三角形的存在性。例1、（2013綿陽(yáng)）如圖，二

10、次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A（1，0），直線l：x=m（m1）與x軸交于D（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標(biāo)；（2）在直線l上找點(diǎn)P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，使BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）由于拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），所以拋物線的對(duì)稱軸為y軸，且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，即b=0，c=

11、2，再將A（1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此確定該拋物線的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）由于PDB=BOC=90，則D與O對(duì)應(yīng)，所以當(dāng)以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況討論：OCBDBP；OCBDPB根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得出n與m的關(guān)系式，進(jìn)而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）假設(shè)在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q（x，2x22），使BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形過點(diǎn)Q作QEl于點(diǎn)E利用AAS易證DBPEPQ，得出BD=PE，DP=EQ再分兩種情況討論：P（m，）；P（m，

12、2（m1）都根據(jù)BD=PE，DP=EQ列出方程組，求出x與m的值，再結(jié)合條件x0且m1即可判斷不存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，使BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形解答：解：（1）拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，2），b=0，c=2；y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（1，0），0=a+02，a=2，拋物線的解析式為y=2x22當(dāng)y=0時(shí)，2x22=0，解得x=1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；（2）設(shè)P（m，n）PDB=BOC=90，當(dāng)以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，分兩種情況：若OCBDBP，則=，即=，解得n=由對(duì)稱性可知，在x軸上方和下方均有一點(diǎn)滿足條件，此時(shí)點(diǎn)

13、P坐標(biāo)為（m，）或（m，）；若OCBDPB，則=，即=，解得n=2m2由對(duì)稱性可知，在x軸上方和下方均有一點(diǎn)滿足條件，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，2m2）或（m，22m）綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（m，），（m，），（m，2m2）或（m，22m）（3）假設(shè)在拋物線上存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q（x，2x22），使BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形如圖，過點(diǎn)Q作QEl于點(diǎn)EDBP+BPD=90，QPE+BPD=90，DBP=QPE在DBP與EPQ中，DBPEPQ，BD=PE，DP=EQ分兩種情況：當(dāng)P（m，）時(shí)，B（1，0），D（m，0），E（m，2x22），解得，（均不合題意舍去）；當(dāng)P（m，2（

14、m1）時(shí)，B（1，0），D（m，0），E（m，2x22），解得，（均不合題意舍去）；綜上所述，不存在滿足條件的點(diǎn)Q類型三、探究二次函數(shù)與圓：（2013巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作P的正半軸交于點(diǎn)C（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（3）試說明直線MC與P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解二元一次方程組；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切

15、線的判定245761 專題：計(jì)算題分析：（1）求出半徑，根據(jù)勾股定理求出C的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=a（x4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；（2）求出M的坐標(biāo)，設(shè)直線MC對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程組，求出方程組的解即可；（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和勾股定理分別求出PC、DC、PD的平方，根據(jù)勾股定理的逆定理得出PCD=90，即可求出答案解答：解：（1）A（4，0），B（1，0），AB=5，半徑是PC=PB=PA=，OP=1=，在CPO中，由勾股定理得：OC=2，C（0，2），設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=a（x4）（x+1

16、），把C（0，2）代入得：2=a（04）（0+1），a=，y=（x4）（x+1）=x2+x+2，答：經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=x2+x+2（2）y=x2+x+2=+，M（，），設(shè)直線MC對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得：，解得：k=，b=2，y=x+2，y=x+2答：直線MC對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=x+2（3）MC與P的位置關(guān)系是相切證明：設(shè)直線MC交x軸于D，當(dāng)y=0時(shí)，0=x+2，x=，OD=，D（，0），在COD中，由勾股定理得：CD2=22+=，PC2=，PD2=，CD2+PC2=PD2，PCD=90，PCDC，PC為半徑，MC與P的位置關(guān)系是相切針對(duì)

17、訓(xùn)練：1、）（2013湘西州）如圖，已知拋物線y=x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（2，0）（1）求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷AOC與COB是否相似？并說明理由；（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（5）、點(diǎn)M 是拋物線上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BCM的面積達(dá)到最大值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及最大值？（6）、求BAC的外接圓圓心E點(diǎn)的坐標(biāo)？（7）、求證圓E與直線：y=3x/4+4相切。在該直線上找一點(diǎn)

18、F，使BCF為直角三角形，求F的坐標(biāo)？（8）、l是過點(diǎn)A且平行于BC的直線，在該直線上找一點(diǎn)D，使A,B,C,D所在的四邊形為平行四邊形，求D的坐標(biāo)？（9）、將BAC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到BAC，求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)及線段BC所掃過的區(qū)域的面積？（10）、在x軸上找一點(diǎn)G，使CFG的周長(zhǎng)最小，求G點(diǎn)坐標(biāo)及周長(zhǎng)最小值？求此時(shí)CFG的面積？（11）、在拋物線上找一點(diǎn)H，使ABH的面積=AOC的面積.。求點(diǎn)H的坐標(biāo)？（12）、求拋物線關(guān)于直線：x=10,對(duì)稱的拋物線的解析式？（13）、N是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過點(diǎn)N作NPAC交線段BC于點(diǎn)P，連接CN，記CNP

19、的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對(duì)稱軸方程；（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0，可求出點(diǎn)B坐標(biāo)再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；（3）根據(jù)，AOC=BOC=90，可以判定AOCCOB；（4）本問為存在型問題若ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計(jì)算，避免漏解解答：解：（1）拋物線y=x2+bx+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），（2）2+b（2）+4=0，解得：b=，拋物線解析式為 y=x2+x+4，又

20、y=x2+x+4=（x3）2+，對(duì)稱軸方程為：x=3（2）在y=x2+x+4中，令x=0，得y=4，C（0，4）；令y=0，即x2+x+4=0，整理得x26x16=0，解得：x=8或x=2，A（2，0），B（8，0）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐標(biāo)分別代入解析式，得：，解得k=，b=4，直線BC的解析式為：y=x+4（3）可判定AOCCOB成立理由如下：在AOC與COB中，OA=2，OC=4，OB=8，又AOC=BOC=90，AOCCOB（4）拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=3，可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），則可求得：AC=，AQ=，CQ=i）當(dāng)AQ=CQ時(shí)，有=，25+t2=t28t+16+9，解得t=0，Q1（3，0）；ii）當(dāng)AC=AQ時(shí)，有=，t2=5，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，此時(shí)ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；iii）當(dāng)AC=CQ時(shí)，有=，整理得：t28t+5=0，解得：t=4，點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q2（3，4+），Q3（3，4）綜上所述，存在點(diǎn)Q，使ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4）2、（2013四川南充，21，8分）如圖，二次函