習題詳解第4章微分中值定理與導數(shù)的應用

1、習題4-11驗證下列各題的正確性，并求滿足結論的的值：(1) 驗證函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理；(2) 驗證函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理；(3) 驗證函數(shù)在區(qū)間上滿足柯西中值定理.解：(1) 顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，又，可見在內(nèi)，存在一點使(2)在上連續(xù)，即知在內(nèi)可導，由得，即在內(nèi)存在使拉格朗日中值公式成立.(3) 顯然函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且于是滿足柯西中值定理的條件.由于令得取則等式成立.這就驗證了柯西中值定理對所給函數(shù)在所給區(qū)間上的正確性.2不求導數(shù)函數(shù)的導數(shù), 判斷方程有幾個實根，并指出這些根的范圍. 解因為所以在閉區(qū)間和上均滿足羅爾定理的三個條件，從而，在內(nèi)至少存在一點使

2、即是的一個零點；又在內(nèi)至少存在一點使即是的一個零點.又因為為二次多項式，最多只能有兩個零點，故恰好有兩個零點，分別在區(qū)間和.3設函數(shù)是定義在處處可導的奇函數(shù)，試證對任意正數(shù)a，存在, 使 .證因處處可導，則在上應用拉格朗日中值定理：存在，使.由是奇函數(shù)，則上式為, 故有.4應用拉格朗日中值定理證明下列不等式：(1)當時,;(2) 若,則.證(1)當時,設則在上滿足拉格朗日定理的條件.故由且得：.(2) 若,不妨設，令則在上滿足拉格朗日定理的條件.故從而.5應用拉格朗日中值定理的推論證明下列恒等式：(1);(2) .證(1)設,又即(2)設,因為，所以,是常數(shù).又, 即故.6設函數(shù)在0, 1上連

3、續(xù), 在(0, 1)內(nèi)可導. 試證明至少存在一點, 使證作輔助函數(shù)則在上滿足柯西中值定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點使即習題4-21寫出函數(shù)在處的四階泰勒公式.解， 于是所求泰勒公式為其中在1與之間.2. 寫出函數(shù)在處的帶皮亞諾余項的階泰勒公式.解， 于是所求的帶皮亞諾余項的階泰勒公式為3求下列函數(shù)的帶皮亞諾余項的階麥克勞林公式：(1) ； (2) .解(1)因為所以.(2) 由 知故.4. 用泰勒公式計算下列極限：(1) ； (2) . 解(1)又從而(2)又從而.5. 利用四階泰勒公式計算下列各數(shù)的近似值，并估計誤差：(1) ； (2) . 解(1) 上式中，取得以代入得，(取小數(shù)點后四位)

4、其誤差.(2) .取得(取小數(shù)點后四位)其誤差習題4-31計算下列極限：(1)； (2); (3) ； (4) ；(5)； (6)；(7); (8);(9) ; (10);(11); (12);(13); (14);(15); (16);(17) ; (18) ; 解(1)； (2)=-2; (3) ； (4) =1；(5)； =3(6)=-1；(7); (8);(9) ; (10);(11); (12);(13); (14);(15),又故=; (16)=,又,故=1;(17) ; (18) .2. 設,，,求.解.習題4-41判斷函數(shù)的單調(diào)性.解又在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.2

5、判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性. 解,在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)減少.3求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) ； (2) ； (3) ；(4) .解 (1) 解方程得當時，在上單調(diào)增加；當時，上單調(diào)減少；當時，在上單調(diào)增加.(2) ,解方程得，在內(nèi)，在內(nèi)單調(diào)減少；在內(nèi)，在單調(diào)增加.(3) 令解得在處不存在.在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加；故函數(shù)在內(nèi)函數(shù)單調(diào)增加；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.(4) ,令解得在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.4當時，應用單調(diào)性證明下列不等式成立：(1)；(2) .證(1)令, 則.當時,在上單調(diào)增加，當時，即，故.(2)設則

6、在上連續(xù)，且在內(nèi)可導，在上單調(diào)增加，當時，即又設因為在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且當時，又故當時，所以綜上，當時，有，證畢.5證明方程有且只有一個小于1的正根.證令，因在閉區(qū)間連續(xù)，且.根據(jù)零點定理在內(nèi)有一個零點,即方程至少有一個小于1的正根.在內(nèi)，所以在內(nèi)單調(diào)增加，即曲線在內(nèi)與軸至多只有一個交點.綜上所述，方程有且只有一個小于1的正根.6求下列曲線的凹凸區(qū)間及拐點：(1) ； (2) ； (3)；(4).解 (1)函數(shù)的定義域為令得0+00+凹的拐點凸的拐點凹的所以，曲線的凹區(qū)間為,凸區(qū)間為拐點為和(2)函數(shù)的定義域為函數(shù)在處不可導，但時，曲線是凸的，時，曲線是凹的.故凹區(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點為；(

7、3)函數(shù)的定義域為,令得在，曲線是凹的；在，曲線是凸的；在，曲線是凹的.因此凹區(qū)間為,，凸區(qū)間為，拐點為和.(4)函數(shù)的定義域為, , ,令得在處不存在，在，曲線是凸的；在，曲線是凹的；在，曲線是凹的；故凹區(qū)間為,，凸區(qū)間為，拐點為.7利用函數(shù)的凹凸性證明：若，則不等式成立.證令()，則所要證明的不等式改寫為.因此問題轉化為要證明在內(nèi)為凹.由，因，故在內(nèi)為凹，于是不等式成立.習題4-51求下列函數(shù)的極值：(1) ；(2) ; (3) ; (4) ;(5) ; 解(1) ,令得駐點列表討論如下：00極大值極小值所以, 極大值極小值.(2),令得駐點列表討論如下：100極小值極大值所以, 極小值極

8、大值.(3) 函數(shù)的定義域為，令得駐點，在內(nèi)，在內(nèi)單調(diào)減少；在內(nèi)，在單調(diào)增加.所以,有極小值.(4)令解得在處不存在.在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少； 在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.因此，有極大值極小值.(5)由得駐點因故在處取得極小值，極小值為因考察一階導數(shù)在駐點及左右鄰近的符號:當取左側鄰近的值時,當取右側鄰近的值時,因的符號沒有改變，故在處沒有極值.同理，在處也沒有極值.2. 設是函數(shù)的極值點，則為何值？此時的極值點是極大值點還是極小值點？并求出該值. 解由,因是極值點，故,得=2,又,所以，是極大值點，極大值為：3. 求下列函數(shù)在指定區(qū)間的最大值與最小值：(1) ,

9、;(2) , ;(3),.解(1)解方程得計算.比較得最大值,最小值.(2) ,令得，計算，.從而得最大值,最小值.(3)，令在得駐點計算，.故得到，最大值為，最小值為 .4.求下列曲線的漸近線：(1) ;(2) .解(1)因, 得水平漸近線因得鉛直漸近線(2)因, 得水平漸近線因, 得鉛直漸近線5. 作出下列函數(shù)的圖形：(1) ；(2) ;(3) ;(4) .解(略)AB甲變壓器CD輸電干線2km3km6km6. 設A、B兩個工廠共用一臺變壓器，其位置如右下圖所示，問變壓器設在輸電干線的什么位置時，所需電線最短？解設變壓器設在輸電干線距C點x km處，由已知條件可得電線的總長度為求導，令，在

10、內(nèi)，得為唯一駐點,容易判斷，此時，函數(shù)有最小值，故變壓器設在輸電干線距C點2.4km處，所需電線最短.習題4-61某鐘表廠生產(chǎn)某類型手表日產(chǎn)量為件的總成本為(元)， (1) 日產(chǎn)量為100件的總成本和平均成本為多少？ (2) 求最低平均成本及相應的產(chǎn)量；(3) 若每件手表要以400元售出，要使利潤最大，日產(chǎn)量應為多少？并求最大利潤及相應的平均成本？解(1) 日產(chǎn)量為100件的總成本為(元)平均成本為(元). (2)日產(chǎn)量為件的平均成本為，令，因，故得唯一駐點為.又，故是的極小值點，即當日產(chǎn)量為200件時，平均成本最低，最低平均成本為 (元).(3) 若每件手表要以400元售出，此時利潤為，令，

11、得唯一駐點為，此時，因此，要使利潤最大，日產(chǎn)量應為400件，此時的最大利潤為(元)相應的平均成本為(元).2設大型超市通過測算，已知某種手巾的銷量(條)與其成本C的關系為(元),現(xiàn)每條手巾的定價為6元, 求使利潤最大的銷量.解利潤函數(shù)為，求導，令，因，故得唯一駐點為，此時，因此，要使利潤最大，銷量應為2000條，此時的最大利潤為(元).3. 設某種商品的需求函數(shù)為, 求當需求量時的總收入, 平均收入和邊際收入，并解釋其經(jīng)濟意義. 解設需求量件價格為的產(chǎn)品收入為由需求函數(shù) 得代入得總收入函數(shù)平均收入函數(shù)為 邊際收入函數(shù)為當時的總收入為平均收入為邊際收入為，其經(jīng)濟意義是：當需求量為300件時，每增

12、加1個單位商品的需求，將增加4元的收入.4設某工藝品的需求函數(shù)為 (P是價格，單位：元, 是需求量，單位：件), 成本函數(shù)為 (元).(1) 求邊際利潤函數(shù), 并分別求和時的邊際利潤，并解釋其經(jīng)濟意義. (2) 要使利潤最大，需求量應為多少?解(1)已知，則有邊際利潤函數(shù)為當時的邊際利潤為當時的邊際利潤為可見銷售第201個產(chǎn)品，利潤會增加20元，而銷售第401個產(chǎn)品后利潤將減少20元.(2) 令得故要使利潤最大，需求量件，此時最大利潤為(元).5設某商品的需求量與價格P的關系為(1) 求需求彈性，并解釋其經(jīng)濟含義; (2) 當商品的價格(元)時, 若價格降低1%, 則該商品需求量變化情況如何？

13、解(1) 需求彈性為需求彈性為負, 說明商品價格上漲1%時, 商品需求量將減少1.39%.(2) 當商品價格(元)時,這表示價格(元)時, 價格上漲1%,商品的需求量將減少13.9%.若價格降低1%,商品的需求量將增加13.9%.6某商品的需求函數(shù)為(是需求量，P是價格)，求：(1) 需求彈性； (2) 當商品的價格時的需求彈性, 并解釋其經(jīng)濟意義.解(1) 需求彈性為；(2) ,說明當時，價格上漲1%, 需求減少0.67 %；，說明當時，價格與需求變動幅度相同；,說明當時，價格上漲1%, 需求減少1.33 %.7已知某商品的需求函數(shù)為(是需求量，單位：件，P是價格，單位：元).(1) 求時的

14、邊際需求, 并解釋其經(jīng)濟含義. (2) 求時的需求彈性, 并解釋其經(jīng)濟含義.(3) 當時, 若價格P上漲1%, 總收益將變化百分之幾?是增加還是減少?(4) 當時, 若價格P上漲1%, 總收益將變化百分之幾?是增加還是減少?解設需求彈性刻劃了當商品價格變動時需求變動的強弱.(1) 當時的邊際需求它說明當價格為5元,每上漲1元,則需求量下降10件.(2) 當時的需求彈性它說明當時, 價格上漲1%, 需求減少1%.(3)由.又 ,于是由，得所以當時,價格上漲1%,總收益不變，此時總收益取得最大值.(4)由所以當時,價格上漲1%,總收益將減少0.85%.復習題4（A）1設函數(shù)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，

15、在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，則下式中不一定成立的是A. ；B.；C. ()；D. ().答：C2當x=時，函數(shù)取得極值，則a=A-2BCD2答：B3若在區(qū)間I上，則曲線在I是A單調(diào)減少且為凹弧；B單調(diào)減少且為凸弧；C單調(diào)增加且為凹弧；D單調(diào)增加且為凸弧.答：D4曲線y=A既有水平漸近線，又有垂直漸近線；B只有水平漸近線；C有垂直漸近線x=1；D沒有漸近線.答：C5用中值定理證明下列各題：(1) 設函數(shù)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，且在(a, b)內(nèi)，試證：對任意實數(shù)k, 存在使得.(2) 設函數(shù)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，試證：存在，使得證(1)對

16、任意實數(shù)k，設，顯然在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，且，故在a, b應用羅爾定理，存在使，即，整理得，即.(2)設，在閉區(qū)間a, b上應用拉格朗日中值定理，即令，故有 ，.6求函數(shù)的麥克勞林公式.解=7. 計算下列極限：(1)； (2); (3) ； (4) .解(1)；(2)；(3) 而，所以 原式=；(4) 所以 原式=.8問為何值時，點(-1,1)是曲線的拐點，且是駐點？解，由已知，得，得，點(-1,1)代入曲線方程：，得9. 證明方程 在區(qū)間內(nèi)有兩個實根.證令，（1）當時，即函數(shù)單調(diào)增加，而，例如，因此，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，即方程在內(nèi)有且只有一個根；（2）當時

17、，即函數(shù)單調(diào)減少，又，即于是，因此，所以函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，即方程在內(nèi)有且只有一個根；綜上，即證方程 在區(qū)間內(nèi)有兩個實根.10確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間的極值與最值.解,令得駐點列表討論如下：100極大值極小值所以, 函數(shù)在，單調(diào)增加，在單調(diào)減少，極小值，極小值；又，因此得最大值,最小值.（B）1. 設，則有（）A是極大值；B是極小值；C是的極值；D點是曲線的拐點.答： D2. 設，則（）A是極值點，但(0, 0)不是曲線的拐點；B是極值點，且(0, 0)不是曲線的拐點；C不是極值點，但(0, 0)是曲線的拐點；D不是極值點，且(0, 0)也不是曲線的拐點.答：B3. 設，證明方程有且只有一個小于的正根.證：因，則，即令，顯然在連續(xù)，由，所以方程在內(nèi)至少有一實根，又，在內(nèi)，所以，于是，即函數(shù)在單調(diào)增加，至多與x軸有一個交點；因此，方程有且只有一個小于的正根.4. 設,，證明對任意，恒有.證由，知單調(diào)減少，對任意，在上應用拉氏定理知,使在上應用拉氏定理知，使單調(diào)減少,所以. 證畢.5. 當時，證明不等式成立.證令，當時，