九江三中高中數(shù)學(xué)競賽專題講座立體幾何

1、競賽試題選講之六：立體幾何一、選擇題部分1. （2006吉林預(yù)賽）正方體ABCDA1B1C1D1中，過頂點(diǎn)A1作直線l，使l與直線AC和直 線BC1所成的角均為60°，則這樣的直線l的條數(shù)為 （ C ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于32.（2006陜西賽區(qū)預(yù)賽）如圖2，在正方體中，P為棱AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P在空間作直線l，使l與平面ABCD和平面AB均成角，則這樣的直線l的條數(shù)為（B） A. 1 B .2 C. 3 D .43(集訓(xùn)試題)設(shè)O是正三棱錐P-ABC底面是三角形ABC的中心，過O的動平面與PC交于S，與PA、PB的延長線分別交于Q、R，則和式（ ）A有最大值而無最

2、小值B有最小值而無最大值C既有最大值又有最小值，兩者不等D是一個(gè)與面QPS無關(guān)的常數(shù)解：設(shè)正三棱錐P-ABC中，各側(cè)棱兩兩夾角為，PC與面PAB所成角為，則vS-PQR=SPQR·h=PQ·PRsin)·PS·sin。另一方面，記O到各面的距離為d，則vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，SPQR·d=PRS·d+SPRS·d+PQS·d=PQ·PRsin+PS·PRsin+PQ·PS·sin，故有：PQ·PR·PS·sin=d

3、(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常數(shù)。故選D。4（2006年江蘇）過空間一定點(diǎn)的直線中，與長方體的12條棱所在直線成等角的直線共有（C）A0條B1條C4條D無數(shù)多條5.（2006天津）已知為四面體的側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到底面的距離，那么在側(cè)面內(nèi)，動點(diǎn)的軌跡是某曲線的一部分，則該曲線一定是（ D ）A圓或橢圓 B橢圓或雙曲線 C雙曲線或拋物線 D拋物線或橢圓6（2006年南昌市）四棱錐的底面是單位正方形(按反時(shí)針方向排列),側(cè)棱垂直于底面,且,記,則（C）ABCD7（2005年浙江）正方體的截平面不可能是： (1) 鈍角三角形 (2)

4、 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五邊形 (5) 正六邊形； 下述選項(xiàng)正確的是（B）A(1)(2)(5) B(1)(2)(4) C(2)(3)(4) D(3)(4)(5) 【解】 正方體的截平面可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形，直角三角形（證明略）；對四邊形來講，可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（證明略）；對五邊形來講，可以是任意五邊形，不可能是正五邊形（證明略）；對六邊形來講，可以是六邊形（正六邊形）。 選 【 B 】8(2005全國)如圖，為正方體。任作平面與對角線垂直，使得 與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面

5、多邊形的面積為S，周長為.則（ ）AS為定值，不為定值 BS不為定值，為定值CS與均為定值 DS與均不為定值解：將正方體切去兩個(gè)正三棱錐后，得到一個(gè)以平行平面為上、下底面的幾何體V，V的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側(cè)面沿棱剪開，展平在一張平面上，得到一個(gè)，而多邊形W的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，故為定值.當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，多邊形W為正六邊形，而當(dāng)移至處時(shí)，W為正三角形，易知周長為定值的正六邊形與正三角形面積分別為與，故S不為定值。選B.9.（2006浙江?。┰谡?006邊形中，與所有邊均不平行的對角線的條數(shù)為（C）A2

6、006 B CD.解： 正2n邊形，對角線共有 條.計(jì)算與一邊平行的對角線條數(shù)，因，與平行的對角線的端點(diǎn)只能取自2n-4個(gè)點(diǎn)，平行線共n-2條。故與某一邊平行的對角線共n(n-2)條。由此可得與任何邊都不平行的對角線共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)條。 因此正確選項(xiàng)是 C.1,3,510（2005四川）如圖，一個(gè)立方體，它的每個(gè)角都截去一個(gè)三棱錐，變成一個(gè)新的立體圖形。那么在新圖形頂點(diǎn)之間的連線中，位于原立方體內(nèi)部的有120條.解：據(jù)題意新的立體圖形中共有24個(gè)頂點(diǎn)，每兩點(diǎn)連一條線，共，其中所有的棱都在原立方體的表面，有36條.原立方體的每個(gè)面上有8個(gè)點(diǎn)，除去棱以外，還可以連條，

7、6個(gè)面共120條都在原立方體的表面，除此之外的直線都在原立方體的內(nèi)部.1,3,51,3,5二、填空題部分1（2006年南昌市）棱長為1的正四面體在水平面上的正投影面積為,則的最大值為_.2（2006天津）在一個(gè)棱長為5的正方體封閉的盒內(nèi)，有一個(gè)半徑等于1的小球，若小球在盒內(nèi)任意地運(yùn)動，則小球達(dá)不到的空間的體積的大小等于 3（2006年上海）在ABC中，已知，過邊AC上一點(diǎn)D作直線DE，與邊AB或者BC相交于點(diǎn)E，使得，且DE將ABC的面積兩等分，則 4（2006年上海）在直三棱柱中，已知底面積為s平方米，三個(gè)側(cè)面面積分別為m平方米，n平方米，p平方米，則它的體積為 立方米5（2006陜西賽區(qū)預(yù)

8、賽）用6根等長的細(xì)鐵棒焊接成一個(gè)正四面體形框架，鐵棒的粗細(xì)和焊接誤差不計(jì)設(shè)此框架能容納得下的最大球的半徑為，能包容此框架的最小球的半徑為，則等于 .6（2006年江蘇）長方體中，已知，則對角線的取值范圍是 第7題圖7(2005全國)如圖，四面體DABC的體積為，且滿足 則.解：即又等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，這時(shí)面ABC，.8（2004 全國）如圖、正方體中，二面角的度數(shù)是_.解：連結(jié)，垂足為E，延長CE交于F，則， 連結(jié)AE，由對稱性知是二面角的平面角.連結(jié)AC，設(shè)AB=1，則中，在.的補(bǔ)角，.【原創(chuàng)】2008年高考立體幾何問題研究綜述直線、平面、簡單幾何體是高考的必考內(nèi)容。一般以客觀題的形式考查基

9、礎(chǔ)知識，以解答題的形式考查綜合問題。2008年高考立體幾何的考點(diǎn)主要包括：空間位置關(guān)系的判斷與論證，空間角與距離的計(jì)算，直線、平面、簡單幾何體與其它知識的交匯與運(yùn)用等。試題設(shè)置形式和數(shù)量不一：有12份試卷是“兩小一大”共三道題、4份試卷是“一小一大”共兩道題、全國和四川卷是“三小一大”共四道題、江蘇卷僅一道大題，分值由1327不等，平均分不足22，題目難度一般仍在中等左右。1、客觀題的考查研究11、線面位置關(guān)系的判斷問題例1. （湖南5）設(shè)有直線m、n和平面、.下列四個(gè)命題中，正確的是( )A.若m,n,則mn B.若m,n,m,n,則C.若，m,則m D.若，m，m,則m解析 對每個(gè)選支逐一

10、分析判斷，可得正確答案（D）。評注 本題綜合考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，同類的還有天津5、安徽4。線面位置關(guān)系的判斷是立體幾何的基本知識和基本技能，是高考的必考內(nèi)容，多出現(xiàn)在填空、選擇題中。12、幾何元素的計(jì)數(shù)問題abcEFG圖1例2.（遼寧11）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（ ）A不存在B有且只有兩條C有且只有三條D有無數(shù)條解析 方法1：易知三條異面直線A1D1，EF，CD平行于同一平面，記它們依次為a,b,c,在直線a上任取一點(diǎn)E，過E作直線（如圖1）。設(shè)直線確定平面，直線

11、確定平面，又兩平面有公共點(diǎn)E，故它們必交于過E的一條直線。在內(nèi)直線與交于E，則必與的平行線b相交，記交點(diǎn)為F；同理記直線與c的交點(diǎn)為G，則直線與直線a,b,c分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G。因?yàn)辄c(diǎn)E是任取的，故這樣的直線有無數(shù)條。方法2：過直線a的平面旋轉(zhuǎn)掃過全空間時(shí)，除去與b,c都平行的平面外，其余位置上的平面都與b,c同時(shí)相交（記交點(diǎn)為M，N），這些同時(shí)與b,c相交的平面中，除一個(gè)會出現(xiàn)MNa外，其余的直線MN都與直線a相交，因此這樣的直線有無數(shù)條。方法3：在直線EF上任取一點(diǎn)P，則P與直線A1D1確定一個(gè)平面，該平面與直線CD必有交點(diǎn)，記為Q，直線PQ與直線A1D1共面且不平行，故它們必有交點(diǎn)，這

12、樣直線PQ與直線A1D1，EF，CD都相交，又直線PQ隨P的變化而變化，故這樣的直線有無數(shù)條。評注 本題以正方體為載體研究三條異面直線有公共交線的問題，有一定的難度，極易錯選為（C）（3條直線為DE，），同類的試題還有四川。例2源于“1997年全國高中聯(lián)賽題：如果空間三條直線a,b,c兩兩成異面直線，那么，與直線a,b,c都相交的直線有（D）（A）0條，（B）1條，（C）多于1的有限條，（D）無窮多條”。此賽題中的直線a,b,c可以不共面，故可“不妨構(gòu)造平行六面體”求解，而例2不可用這種方法求解。幾何元素的計(jì)數(shù)問題可較好地考查空間想象能力和思維的發(fā)散能力。13、組合體問題例3.（1）（江西16

13、）如圖2，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P。如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)（圖3）。有下列四個(gè)命題：圖2圖3A正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn)C任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)D若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿其中真命題的代號是： （寫出所有真命題的代號）圖4（2）（海南15）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，那么這個(gè)球的體積為 _（3）（重慶 9)如圖4，體積為V的大球內(nèi)有4個(gè)小球

14、，每個(gè)小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個(gè)交點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn).V1為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是（ ）（A）V1= (B) V2= （C）V1> V2（D）V1< V2解析 （1）、圖2中設(shè)底面積為S，正四棱錐的高為h，則a=，故A錯；側(cè)放時(shí)，有一半的水填在空白，而水的體積與上面空白體積相等，故B對；任意擺放時(shí)，如水面與正四棱錐的側(cè)面平行時(shí)，水面不會恰好是側(cè)面，因而水面不會恰好過點(diǎn)；由兩次操作可知D正確，因此填B,D。（2）、設(shè)該六棱柱的高為h。由底面正六邊形的周長為

15、3，得底面邊長為，過底面中心的對角線長為1，底面正六邊形面積為，則有。過底面中心和球心的六棱柱的截面矩形的對角線即球的直徑為2，故球的體積為。（3）、設(shè)小球半徑為r，則大球半徑為2r， ， ，故選（D）。評注 （1）是多面體與多面體的組合，其過程和結(jié)果都具有開放性；（2）是多面體與球的組合，關(guān)鍵是找準(zhǔn)最佳截面；（3）是球與球的組合，無需求出具體的V1與V2。球的知識在2008年的高考中考查相當(dāng)多，理科19套數(shù)學(xué)卷中有12套考查了球的問題，主要考查求距離（如安徽16、湖南9等考球面距離）、面積（如四川、山東6等）和體積等。它們有的單獨(dú)考查，有的以球?yàn)檩d體綜合考查。組合體問題有利于考查學(xué)生的解題目

16、標(biāo)意識、運(yùn)動變化思想、問題或圖形的分解與重組能力，以及綜合解決問題的能力。14、交匯性問題高考命題以能力立意，注重在知識的交匯處命制試題。因而交匯型試題在近年的高考中頻繁出現(xiàn)， 2008年高考立體幾何中的交匯型客觀試題有如下特點(diǎn)。141、與簡易邏輯交匯例5 （天津4）設(shè)是兩條直線，是兩個(gè)平面，則的一個(gè)充分條件是（）（A） （B） （C） （D）解析 題設(shè)條件比較零散，宜逐一檢驗(yàn)：A和D中a與b的位置關(guān)系不確定；B中a與b平行；C中a b，故選（C）評注 簡易邏輯知識年年考，這是直接考查（還如上海13），但多是融入大題中隱性考查。142、與平面幾何知識類比交匯例6.（全國卷16）平面內(nèi)的一個(gè)四邊

17、形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件 ；充要條件 （寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件）解析 可對平行四邊形的兩個(gè)具體的充要條件進(jìn)行類比推廣，如答案可為：兩組相對側(cè)面分別平行；一組相對側(cè)面平行且全等；對角線交于一點(diǎn)；底面是平行四邊形等評注 本題是有限度的開放性問題，它將平面幾何中平行四邊形的判定定理類比推廣到立體幾何的四棱柱中。不過并非所有平面幾何中的性質(zhì)都可以類比推廣到立體幾何中，這需要考生具有較好的基礎(chǔ)知識和敏銳的洞察力。143、與函數(shù)交匯例7.（北京8）如圖5，動點(diǎn)在正方體的對角線上過點(diǎn)作垂直于平面的直線，與正方

18、體表面相交于設(shè)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO解析 設(shè)的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連結(jié)BE，EF，則點(diǎn)N在折線BE上，且當(dāng)N在BE上時(shí)有，故，所以，又正方體中的為定值，故的軌跡為直線，排除C，D；又y的最大值只在x=BF時(shí)取得，故選（B）。評注 本題將一次函數(shù)寓于正方體中，考查最基本的三角形相似、三角函數(shù)、直線方程等知識，將數(shù)與形較好地結(jié)合在一起。2008年高考理科立幾客觀題中，還有與三角函數(shù)（都是正弦或余弦）的交匯題5道，如全國16、全國10、福建6等。144、與不等式交匯例8 （海南12）某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投

19、影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a + b的最大值為（ ）A. B. C. 4 D. ABCD圖6解析 假設(shè)這條棱是長方體ABCD-的體對角線A，如圖6，設(shè)AB=x,BC=y,C=z,則其在正視圖、側(cè)視圖與俯視圖中的投影分別是D、B與AC,故有，又，代入整理得，所以，故選C。評注 本題以三視圖為載體，將長方體的體對角線與三條互不相等的面對角線巧妙地聯(lián)系在一起，考查三視圖知識以及運(yùn)用不等式知識求線段和的最值問題，三視圖試題還有廣東5和山東6。145、與解析幾何交匯ABP圖7例9（浙江10）如圖7，是平面的斜線段，為斜足，若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，使得的面積為定值，則動點(diǎn)的軌跡是（ ）A圓 B