專題橢圓的離心率解法大全

1、專題：橢圓的離心率一，利用定義求橢圓的離心率（ 或 ）1，已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的離心率 2，橢圓的離心率為，則 解析當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，； 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，綜上或33，已知橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是4，已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為 解析由，橢圓的離心率為5，已知?jiǎng)t當(dāng)mn取得最小值時(shí)，橢圓的的離心率為6，設(shè)橢圓=1（ab0）的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為l1，若過F1且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到l1的距離，則橢圓的離心率是。二，運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義結(jié)合橢圓的定義求離心率1，在ABC中，如果一個(gè)橢圓過A、B兩

2、點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為C，另一個(gè)焦點(diǎn)在AB上，求這個(gè)橢圓的離心率 2， 如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為( ) 解析 3，以橢圓的右焦點(diǎn)F2為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為F1，直線MF1與圓相切，則橢圓的離心率是變式（1）：以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F為圓心作一個(gè)圓，使該圓過橢圓的中心O并且與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，如果MF=MO，則橢圓的離心率是4,橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 、F2 ，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？解：F1F2=2c BF1=c BF2=

3、c c+c=2a e= = -1 變式（1）：橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 、F2 ，點(diǎn)P在橢圓上，使OPF1 為正三角形，求橢圓離心率？ 解：連接PF2 ,則OF2=OF1=OP,F1PF2 =90°圖形如上圖，e=-1 變式（2） 橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 、F2 ，AB為橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1 X軸，PF2 AB,求橢圓離心率？ 解：PF1= F2 F1=2c OB=b OA=a PF2 AB = 又 b= a2=5c2 e=變式(3):將上題中的條件“PF2 AB”變換為“(為坐標(biāo)原點(diǎn))” 相似題：橢圓 +

4、=1(a>b >0)，A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，ABF=90°，求e? 解：AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 兩邊同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)變式(1):橢圓 +=1(a>b >0)，e=, A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，求ABF？點(diǎn)評(píng)：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案：90°引申：此類e=的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)：（1）ABF=90°（2）假設(shè)下端點(diǎn)為B1 ,則ABF

5、B1 四點(diǎn)共圓。（3）焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。變式(2): 橢圓(ab0)的四個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C、D，若四邊形ABCD的內(nèi)切圓恰好過橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率e = 提示：內(nèi)切圓的圓心即原點(diǎn)，半徑等于c，又等于直角三角形AOB斜邊上的高，由面積得：，但4，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使，求離心率e的取值范圍。解：設(shè)法1：利用橢圓范圍。由得，將這個(gè)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得。由橢圓的性質(zhì)知，得。附：還可以用參數(shù)的方法也能求出離心率的范圍（與法1類似）法2：判別式法。由橢圓定義知，又因?yàn)?，可得，則，是方程的兩個(gè)根，則解法3：正弦定理設(shè)記 又因?yàn)?，?則 則，

6、 所以解法5：利用基本不等式由橢圓定義，有平方后得解法6：巧用圖形的幾何特性由，知點(diǎn)P在以為直徑的圓上。又點(diǎn)P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點(diǎn)P，故有變式(1)：圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且PF1F2 =5PF2F1 ,求橢圓的離心率e分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。解：由正弦定理： = 根據(jù)和比性質(zhì)：= 變形得： =ePF1F2 =75°PF2F1 =15° e= =點(diǎn)評(píng)：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知e=變式(2)：橢圓 +=1(a>b &

7、gt;0)的兩焦點(diǎn)為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是橢圓上一點(diǎn)，且F1PF2 =60°，求橢圓離心率e的取值范圍？分析：上題公式直接應(yīng)用。解：設(shè)F1F2P=，則F2F1P=120°- e= e<1變式(3)：過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率e的值解析：因?yàn)?，再由有從而得變?4)：若為橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，使，求此橢圓離心率的最小值。變式(5)：8、橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則橢圓的離心率的取值范圍為 解析：設(shè)為橢圓左焦點(diǎn)，因?yàn)閷?duì)角線互相平分，所以四邊形為平行四邊形且為矩形，所以

8、，由得。xyA1B2A2OTM6，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 .直線的方程為，直線的方程為，兩式聯(lián)立得T的坐標(biāo)，所以中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，代人方程得 則 所以7，橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，滿足1·2 =0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則e的取值范圍？F2MF1O分析：1·2 =0以F1F2 為直徑作圓，M在圓O上，與橢圓沒有交點(diǎn)。解：c<b a2=b2+c2 >2c2 0<e<如圖所示,

9、畫圖可知點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，則它在橢圓內(nèi)部,故,8，橢圓 +=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P為右準(zhǔn)線L：x=上一點(diǎn)，F(xiàn)1P的垂直平分線恰過F2 點(diǎn)，求e的取值范圍？分析：思路1,如圖F1P與 F2M 垂直，根據(jù)向量垂直，找a、b、c的不等關(guān)系。MPF2F1O 思路2：根據(jù)圖形中的邊長(zhǎng)之間的不等關(guān)系，求e解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)既(, ) 則1 =-( +c, y0 ) 2 =-( -c, ) 1·2 =0( +c, y0 ) ·( -c, )=0 ( +c)·( -

10、c)+ =0a2-3c20 e<1解法2：F1F2=PF2=2c PF2-c 則2c-c 3c 3c2a2 則e<1總結(jié)：對(duì)比兩種方法，不難看出法一具有代表性，可謂通法，而法二是運(yùn)用了垂直平分線的幾何性質(zhì)，巧妙的運(yùn)用三角形邊的大小求解的妙法。所以垂直平分線這個(gè)條件經(jīng)常在解析幾何中出現(xiàn)，對(duì)于它的應(yīng)用方法，值得大家注意。9，如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A、D為一橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，其余四個(gè)頂點(diǎn)B、C、E、F均在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍是解：以AD所在直線為X軸，AD中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為r，則橢圓的半焦距，易知AOF為等邊三角形，F(xiàn)（，代入橢圓方程中，得：，

11、即：，又法二：如圖，連結(jié)AE，易知，設(shè)，由橢圓定義，有：， 10，橢圓 +=1(a>b >0)，過左焦點(diǎn)F1 且傾斜角為60°的直線交橢圓與AB兩點(diǎn)，若F1A=2BF1,求橢圓的離心率e的值解：設(shè)BF1=m 則AF2=2a-am BF2=2a-m在AF1F2 及BF1F2 中，由余弦定理得：兩式相除 =e=練習(xí)題：1，橢圓上有一點(diǎn)M，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，求橢圓的離心率.解析: 由橢圓的定義，可得 又，所以是方程的兩根，由， 可得，即所以，所以橢圓離心率的取值范圍是2，在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 解析3，已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若, 則此橢圓的離心率為 _. 解析 三角形三邊的比是4，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 解析5， 在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率解析 ，6，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為 解析 在中，由正弦定理得，則由已知，得，即，由橢圓的定義知 ，即，由解法三知橢圓的離