專(zhuān)題研究數(shù)列求通項(xiàng)2017學(xué)生版

1、前言：數(shù)列問(wèn)題是高考的重點(diǎn)，求數(shù)列通項(xiàng)公式又是解決數(shù)列問(wèn)題的第一道門(mén)檻，特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問(wèn)題往往是解決數(shù)列問(wèn)題的瓶頸.一方面需要我們掌握一定應(yīng)試技巧，另外也可以掌握一些規(guī)律性的東西，從而謀定而后動(dòng)，決勝千里之外。研究一個(gè)例題例題 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知.（1）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.分析：題目條件涉及數(shù)列的前項(xiàng)和與，可用公式消，由， 則當(dāng)時(shí)，有 得： .此時(shí)要善于借助命題者搭好的橋梁，構(gòu)造結(jié)構(gòu)求解.（鄭老師將它稱(chēng)為試題的暗示）下一步往哪里去？那就應(yīng)該由橋梁型條件，為了構(gòu)造中的結(jié)構(gòu)，由構(gòu)造，等式兩邊同減 有 ， 由及，有是，公比為

2、的等比數(shù)列（2）由（1）可得，沒(méi)有了暗示，下面怎么辦？認(rèn)真學(xué)習(xí)我們的專(zhuān)題吧。你將學(xué)會(huì)幾個(gè)絕招！ 知識(shí)約定：定義1：若數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)為數(shù)列的特征函數(shù).定義2:方程=x稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)方程，其根稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).專(zhuān)題研究-數(shù)列求通項(xiàng)學(xué)習(xí)目的：掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的規(guī)律性結(jié)論和技巧（一）定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適用于已知數(shù)列類(lèi)型（是等差或等比數(shù)列）的題目. 例1. 等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，. 求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（二）公式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與或與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解.例2. （1）數(shù)列的前n項(xiàng)的和滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2

3、）數(shù)列的前n項(xiàng)的和滿(mǎn)足：求數(shù)列的通項(xiàng)公式點(diǎn)評(píng)：利用公式求解時(shí)，要注意對(duì)n進(jìn)行分類(lèi)討論，但若能合并時(shí)一定要合并.（三）由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通常可以通過(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列.類(lèi)型1：遞推公式為解題思路：對(duì)形如的遞推式利用疊加法，將；各式相加，得到：例3. 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求.練習(xí)1：（08四川文）設(shè)數(shù)列中，則通項(xiàng) _.練習(xí)2數(shù)列中，（），求的通項(xiàng)公式類(lèi)型2：遞推公式為解題思路：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法求解.例4. 已知數(shù)列滿(mǎn)足，求.類(lèi)型3：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）.解題理論1：利用待定系數(shù)的

4、思想將遞推公式轉(zhuǎn)化構(gòu)造為等比數(shù)列，對(duì)進(jìn)行代數(shù)變換：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，再將轉(zhuǎn)化為，與比較系數(shù)得，從而有，知數(shù)列是公比為p的等比數(shù)列.例5. 已知數(shù)列中，求.解題理論2、對(duì)而言，數(shù)列的特征函數(shù)為=，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足=，不動(dòng)點(diǎn)為則，知數(shù)列是公比為p的等比數(shù)列已知數(shù)列中，a1=2，求的通項(xiàng)。類(lèi)型3推廣：型 研究問(wèn)題的基本思想是通過(guò)引入一些尚待確定的系數(shù)轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，經(jīng)過(guò)變形與比較，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成基本數(shù)列（等差或等比數(shù)列）。例6 設(shè)數(shù)列，求通項(xiàng)公式。 解：設(shè)，則， 所以， 即 。 設(shè) 這時(shí)，所以。 由于bn是以3為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以有。 由此得：。 使用待定系數(shù)法運(yùn)算比較大，這里提供一個(gè)小技

5、巧，我們先照顧一次項(xiàng)，先令則的邊同減有整理，呵呵，化成類(lèi)型3了。類(lèi)型4：遞推公式為，其中p，q， r均為常數(shù)）解題理論（1） 當(dāng) pq時(shí)，一般利用待定系數(shù)配項(xiàng)等比法構(gòu)造等比數(shù)列，令，與已知遞推式比較，得，即，從 而轉(zhuǎn)化為是公式為p的等比數(shù)列；（2）當(dāng)p=q時(shí)， ，將遞推式兩邊同時(shí)除以，得，從而轉(zhuǎn)化為是公差為 的等差數(shù)列.例7. 已知數(shù)列中，求.類(lèi)型5：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）.解題理論：對(duì)于形如的二階遞推式，方程，叫做數(shù)列的特征方程?？上壤锰卣鞣匠?，若此方程有兩不相等的實(shí)根，則可構(gòu)造兩數(shù)列等比和，分別解出通項(xiàng)與，再將、看成未知數(shù)，從而解出的表達(dá)式；若此方程有兩相等的實(shí)根，則先解出，再

6、利用“待定系數(shù)法”可解出的表達(dá)式例7. （2005年廣東卷改編）已知數(shù)列滿(mǎn)足，（），求的值。練習(xí)1：已知數(shù)列中，求.提示：.類(lèi)型6：分式遞推式解題理論： 對(duì)于形如的遞推式求解通項(xiàng)，可利用特征方程，若此方程有兩不相等的實(shí)根，則可構(gòu)造數(shù)列等比，若此方程有兩相等的實(shí)根，則可構(gòu)造等差數(shù)列，從而解得的表達(dá)式。已知數(shù)列中，n2時(shí)，求通項(xiàng)公式.練習(xí)1：(2006.重慶.文.22)數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 練習(xí)2、已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式解答后歸納：形如:遞推式可以取倒數(shù)法化歸為型。變式（2006年江西卷）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，且（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：兩邊取倒數(shù)得 ，化簡(jiǎn)可得，又，所以數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，則，因此有。形如的遞推式兩邊取常用對(duì)數(shù)得到：，令，則，求出之后計(jì)算.例7： 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，（n2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.專(zhuān)題練習(xí)1、若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則這個(gè)數(shù)列（ ）A是等差數(shù)列，且 B不是等差數(shù)列，但 C是等差數(shù)列，且 D不是等差數(shù)列，但 2、數(shù)列中，則（ ）A B C D 3、在數(shù)列中，則 ABCD4、在等比數(shù)列中，若，則 ABC或D或5、在等