雅可比行列式的應(yīng)用

1、雅可比行列式的應(yīng)用摘要：:本文討論了雅可比行式的定義和性質(zhì)在熱力學(xué)的推導(dǎo)及證明中的應(yīng)用，同時(shí)給出了雅可比行列式在應(yīng)用中的解題步驟.關(guān)鍵詞：雅可比行列式；孤立的均勻物質(zhì)系統(tǒng)；平衡穩(wěn)定性條件.1 引言雅可比行列式就是行列式在物理學(xué)中的一個(gè)最重要的作用，它是熱力學(xué)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的一個(gè)有效工具。在這個(gè)體系中利用不同的數(shù)學(xué)手段和方法尋找理論推導(dǎo)過程總會(huì)得到殊途同歸的效果。在熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理中，雅可比行列式是熱力學(xué)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的一個(gè)有效工具，是循環(huán)關(guān)系、鏈?zhǔn)疥P(guān)系、倒數(shù)關(guān)系，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)這些方法及它們之間的綜合運(yùn)用是一種等價(jià)形式。因此，雅可比行列式廣泛應(yīng)用于各種熱力學(xué)關(guān)系式的推導(dǎo)及證明中。在我們采用雅可比行列

2、式變換的方法來解決熱力學(xué)關(guān)系式證明問題時(shí)，可以明顯感覺到雅可比行列式這一有效工具的運(yùn)用能大大減化推導(dǎo)步驟，更加明確推導(dǎo)思想且易于掌握。我們可以采用雅可比變換的方法解決所有的熱力學(xué)一階偏導(dǎo)的轉(zhuǎn)換及其熱力學(xué)關(guān)系式的證明問題。2 雅可比行列式的定義及其性質(zhì)2.1 雅可比行列式的定義雅可比行列式不同于其他行列式，它的構(gòu)成元素是偏微分。設(shè)獨(dú)立變量的函數(shù)x，y有：用J(x，y)表示x，y的行列式, 即：則稱為雅可比行列式。雅可比行列式的另一種表示形式為：.2.2 雅可比行列式的性質(zhì) 性質(zhì)2.2.1 . 性質(zhì)2.2.2 . 性質(zhì)2.2.3 . 性質(zhì)2.2.4 設(shè)有，則 . 證明：可看作是x，y的隱函數(shù)，則

3、（2-1）故由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得： （2-2）為了求出（2-2）式中的對（2-1）式求的偏導(dǎo)： （2-3）由（2-3）得：將所求得的代入（2-3）式得：同理有：故： . 性質(zhì)2.2.5 將雅可比行列式應(yīng)用于全微分關(guān)系式： 中，有： . 證明：對全微分式兩邊同時(shí)除以，有 由性質(zhì)4有： 故： 由于： =故 性質(zhì)5又可以寫成： .2.3 基本熱力學(xué)等式和基本偏導(dǎo)關(guān)系 （1）熱力學(xué)基本等式:其中，內(nèi)能U的特性參量是；焓H的特性參量是；自由能F的特性參量是；自由焓的特性參量是。從上面的 4個(gè)基本等式以及從數(shù)學(xué)上已知的全微分性質(zhì)，立刻可得到8個(gè)偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系。例如，從（1）式可得和，其余以此類推。 （2）單位

4、雅可比式.證明： 根據(jù)全微分的性質(zhì)，由熱力學(xué)基本方程式（1）式，可得,所以。單位雅可比式一經(jīng)證明，以后便可直接使用。 （3）基本偏導(dǎo)數(shù)熱力學(xué)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，最終應(yīng)該用可測量來表示，可測量有：定壓膨脹系數(shù) 定容壓強(qiáng)系數(shù)等溫壓縮系數(shù)定壓熱容量定容熱容量其中，滿足關(guān)系，與滿足關(guān)系。所以中只有兩個(gè)是獨(dú)立的；與之中只有一個(gè)量是獨(dú)立的。在上述5個(gè)物理量中，有3個(gè)是最易測量的，它們是。我們就選與之相聯(lián)系的3個(gè)偏導(dǎo)數(shù)、及作為基本的熱力學(xué)偏導(dǎo)數(shù)。2.4 雅可比行列式解題步驟1 根據(jù) ，將偏導(dǎo)數(shù)寫成雅可比式。2 進(jìn)行變量變換。分為兩類進(jìn)行討論： （1）第一類偏導(dǎo)數(shù)以各代表中的任一變量，若等式兩端只含一項(xiàng)，則進(jìn)行一個(gè)

5、變量代換： .這樣，可直接寫成偏導(dǎo)數(shù)，從而避免了雅可比式的展開。若等式的一端含有2項(xiàng)及2項(xiàng)以上，則變換的目的應(yīng)使其能按雅可比行列式的定義式展開成兩項(xiàng)： 且. （2）第二類偏導(dǎo)數(shù) 這一類偏導(dǎo)數(shù)的特點(diǎn)是內(nèi)能U，焓H，自由能F和自由焓均是某一對特定獨(dú)立變量的特性函數(shù)。為了便于應(yīng)用上面敘述的8個(gè)偏導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系，故變換的中間變量應(yīng)為該特性函數(shù)相應(yīng)的特性參量。設(shè)代表中的任一函數(shù)，為相應(yīng)的特性參量，又設(shè)表示中的任一變量。若出現(xiàn)在偏導(dǎo)數(shù)分子上，則用 進(jìn)行變換： 若不在偏導(dǎo)數(shù)分子上，則可以用變換為 .3 雅可比行列式的應(yīng)用在應(yīng)用雅可比行列式推導(dǎo)熱力學(xué)關(guān)系或推證熱力學(xué)結(jié)論時(shí),關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地選取中間參量，掌握中間參

6、量的選取方法,從而簡化運(yùn)算過程。下面,我們將應(yīng)用雅可比行列式，根據(jù)熵判據(jù)和內(nèi)能判據(jù)詳細(xì)推證孤立系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件及其多種表達(dá)形式。下面先來介紹一些雅可比行列式的應(yīng)用的例子：3.1 根據(jù)熵判據(jù) ,推求孤立的均勻物質(zhì)系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件.熵判據(jù)是指系統(tǒng)在內(nèi)能 U和體積 V不變的情形下,穩(wěn)定平衡態(tài)的熵 S最大. 假設(shè)我們研究的是一個(gè)由子系統(tǒng)和媒質(zhì)構(gòu)成的孤立系統(tǒng),以不帶下標(biāo)的量表示子系統(tǒng)的熱力學(xué)量,帶有下標(biāo) 0的量表示媒質(zhì)的熱力學(xué)量,如圖 1所示:圖3-1 由子系統(tǒng)和媒質(zhì)構(gòu)成的孤立系統(tǒng)對于整個(gè)孤立系統(tǒng)中的內(nèi)能和體積保持不變, 它的穩(wěn)定平衡狀態(tài)滿足: （3-1） （3-2）當(dāng)?shù)囊患壸兊扔诹憧傻孟到y(tǒng)的平

7、衡條件這里不再贅述.在保持不變的情形下,發(fā)生虛變動(dòng)時(shí)有 由熵判據(jù)可知,如果整個(gè)系統(tǒng)熵函數(shù)的二級微分小于零,即 （3-3）則熵函數(shù)將具有極大值,系統(tǒng)將處于穩(wěn)定平衡態(tài)。由于媒質(zhì)比子系統(tǒng)大得多 (),當(dāng)發(fā)生虛變動(dòng)使子系統(tǒng)的內(nèi)能和體積有改變時(shí),有 因此,可以忽略，（3-3）式近似為。將S看作U,V的函數(shù)S=S(U,V),對S作二元泰勒展開，并取二次項(xiàng)為 （3-4）將（3-4）式化為標(biāo)準(zhǔn)二次型得： （3-5）由于U,V是獨(dú)立變量，要使（3-5）式成立必同時(shí)滿足 （3-6） （3-7）由關(guān)系式顯然有 （3-8） （3-9）將（3-8）式代入（3-6）式得 （3-10）考慮到則 （3-11）根據(jù)（3-6）式

8、，（3-7）式變?yōu)?（3-12）用矩陣表示（3-12）式為 （3-13）由(3-11)和(3-13)式得: (3-14)綜合考慮（3-11）和（3-14）式，要使對于各種可能的虛變動(dòng)都小于零,必有： (3-15) 則(3-15)式稱為均勻系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件。與傳統(tǒng)方法相比, 這種應(yīng)用雅可比行列式的推導(dǎo)過程簡明思路清晰,易于理解。3.2 根據(jù)內(nèi)能判據(jù), 推求平衡穩(wěn)定性條件 .內(nèi)能判據(jù)指系統(tǒng)在熵 S和體積 V不變的情形下, 穩(wěn)定平衡態(tài)的內(nèi)能 U最小。 將內(nèi)能判據(jù)用于同樣的，由子系統(tǒng)和媒質(zhì)構(gòu)成的系統(tǒng),在整個(gè)系統(tǒng)的熵和體積保持不變的條件下，它的穩(wěn)定平衡狀態(tài)滿足： （3-16） （3-17）在不變的情

9、形下，發(fā)生虛變動(dòng)時(shí)，有 （3-18） （3-19）整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)能為極小要求： (3-20)由于媒質(zhì)比子系統(tǒng)大得多(),當(dāng)發(fā)生虛變動(dòng)使子系統(tǒng)的熵和體積有改變時(shí)有 .因此，可以忽略，（3-20）式近似為 (3-21)將U看作S,V的函數(shù)，作二元泰勒展開 （3-22）可以證明（3-22）式恒為正的條件為 (3-23) (3-24)根據(jù)熱力學(xué)基本方程得 (3-25) (3-26)由（3-25）式得 (3-27)將（3-27）式代入（3-23）式，則 (3-28)結(jié)合（3-23）式，則（3-24）式為 (3-29)用矩陣表示（3-29）式為 (3-30)其中(3-30)式給出了系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性條件的另一種表

10、達(dá)式。另外，（3-30）式還可以通過（3-14）式直接推導(dǎo)。由（3-14）式引入雅可比行列式作變換 (3-31)由于代入（3-31）式 (3-32)由此得證。3.3 推求平衡穩(wěn)定性條件的另一種表達(dá)式.將雅可比行列式引入（3-32）式得 = (3-33)其中運(yùn)用到考慮到則（3-33）可寫為 (3-34)則（3-34）是關(guān)于熱平衡穩(wěn)定性的另一種表達(dá)式。3.4 利用雅可比行列式推導(dǎo)麥?zhǔn)详P(guān)系式1 由于熱力學(xué)函數(shù)是態(tài)函數(shù)，是全微分，有全微分條件給出的四個(gè)麥?zhǔn)详P(guān)系式： （3-35）下面用雅可比行列式來證明麥?zhǔn)系年P(guān)系式: 首先證明公式 （3-36）其中是任意兩個(gè)獨(dú)立變量。 證明：由于是兩個(gè)獨(dú)立變量，我們可令

11、均為的函數(shù) 由熱力學(xué)基本方程得： = = （3-37） 又因?yàn)?（3-38） 由（1），（2）比較系數(shù)我們可以得到： （3-39） （3-40） 由是全微分的充要條件， （3-41）（3-39）式對y求偏導(dǎo)數(shù)。（3-40）式對x求偏導(dǎo)數(shù)，利用（3-41）式得到：即得到（3-36）式：2 將（3-36）式中的變量x,y用變量S,P,T,V代換: 令x=S,y=V代入（3-36）式得到：.令x=P,y=S代入（3-36）式得到：.令x=T,y=V代入（3-36）得到：.令x=T,y=P代入（3-36）得到： .由此得到了四個(gè)麥?zhǔn)详P(guān)系（3-35）。3.5 證明能態(tài)方程. 證明： = = =.3.6

12、求偏微分的可測量表達(dá)式 1 2 解：1 上式中,可以測量，故為我們所要求的表達(dá)式。 2 上式中,可以測量，故為我們所要求的表達(dá)式。4 小結(jié)本文介紹了雅可比行列式的定義及其性質(zhì)，講述了雅可比行列式的定義、性質(zhì)和根據(jù)熵判據(jù)以及內(nèi)能判據(jù)詳細(xì)推求了孤立的均勻物質(zhì)系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性的條件及其他表達(dá)形式。引用雅可比行列式的優(yōu)點(diǎn)是：雅可比行列式使得熱力學(xué)推導(dǎo)由微分運(yùn)算變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算，推證方法簡便，過程快捷，思路明確，易于掌握。參考文獻(xiàn)：1汪志誠.熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理M.北京:高等教育出版社,2003:1527.2潘麗云,潘麗娜.雅可比建立橢圓函數(shù)理論的歷史分析J.西南電子科大大學(xué)學(xué)報(bào),2006:149152.3陳銀興.雅可比行列式及其在熱力學(xué)中的應(yīng)用J.黃石教育學(xué)院學(xué)報(bào),1994:66744歐陽容百.熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理M.3版.北京:科學(xué)出版社,2007:1315鄭瑞倫,陳洪.熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理學(xué) 教學(xué)大綱的編寫J.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào),1997：5763.6顧納萊.熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)力學(xué)M.1版.北京